2024-2025学年河南省驻马店高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省驻马店高级中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的公比为，若，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在上的所有实根之和为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，若函数图象上存在点且图象上存在点，使得点和点关于坐标原点对称，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则( )
A.
B.
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递减
9.电子通讯和互联网中，信号的传输、处理和傅里叶变换有关傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数正弦和或余弦函数的线性组合例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则( )
A. 为周期函数，且最小正周期为 B. 为奇函数
C. 的图象关于直线对称 D. 的导函数的最大值为
10.如图所示，在边长为的等边三角形中，，且点在以中点为圆心，为半径的圆上，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知向量不共线，，若，则 ______．
12.已知数列满足，其前项中某项正负号写错，得前项和为，则写错的是数列中第______项
13.在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上，若的面积为，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，，且．
求角的大小；
若，点在边上，且平分，求的长度．
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，是边上的高，且，求．
16.本小题分
对于数列，，的前项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：
为什么可以裂项相消？是因为此数列的第，项有一定关系，即第项的后一部分与第项的前一部分和为零；
不妨将，也转化成第，项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数；
将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可
聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．
巩固基础请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前项和；
创新意识请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前项和．
17.本小题分
已知函数．
若在处取得极小值，求实数的取值范围；
讨论的零点个数．
18.本小题分
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示平面向量又称为二维向量，一般地，元有序实数组称为维向量，它是二维向量的推广，类似于二维向量，对于维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度模等：设，则已知向量满足，向量满足．
求的值；
若，其中．
求证：；
当且时，证明：．
参考答案
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14.解：由正弦定理及，得，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，
因为，
所以．
由可知，，
所以，解得，
设，
因为平分，所以，
因为，所以，
解得，
故AD的长度为．
15.解：因为，
所以由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，所以；
因为在上，且，
所以，所以，
在中，由余弦定理有：，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即，，所以．
16.解：因为，
所以，
则，
所以得
，
所以；
因为，
设，
比较系数得：，得，所以，
所以．
17.解：函数的定义域为，，
当时，，当时，，在上递减，
当时，，在上递增，此时在时取得极小值，符合题意；
当时，由可得或，
若，则由可得或；由可得，
即在和上递增；在递减，此时函数在取得极小值，符合题意；
若，，当时，恒成立，即在上恒为增函数，不符合题意；
若，由可得或；由可得，
即在和上递增，在上递减，此时函数在时取得极大值，故不符合题意．
综上可得，实数的取值范围为；
由知，当时，在上递减，在上递增，
则在时取得极小值，也是最小值，为，此时函数无零点；
当时，在和上递增；在递减，
故当时，取得极小值，当时，取得极大值 ，
当时，，故此时函数在上有一个零点；
当时，在上恒为增函数，又，故此时函数在上有一个零点；
当时，在和上递增，在上递减，
故当时有极大值为，当时，有极小值为，
且当时，，故此时函数在上只有一个零点．
综上所述，当时，函数在上没有零点，当时，函数在上只有一个零点．
18.解：依题，，，
则 ，
，
，得，
即，
．
证明：，，
，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，即当时，，
即，
故，．
，
，
．
综上可得，当且时，．
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