2024-2025学年山东省济南市济南一中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若，则实数( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
6.已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 线性回归直线不一定经过样本点的中心
B. 设，若，，则
C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且
10.已知的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 在内有个极值点
D. 在区间上的最大值为
11.已知抛物线：的焦点为，准线为，，是上异于点的两点为坐标原点则下列说法正确的是( )
A. 若、、三点共线，则的最小值为
B. 若，则的面积为
C. 若，则直线过定点
D. 若，过的中点作于点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知工厂库房中的某种零件来自甲公司，正品率为；来自乙公司，正品率为，从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为______．
13.古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为______．
14.已知是，的等差中项，直线与圆交于，两点，则的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设．
Ⅰ当时，求；
Ⅱ当变化时，求四边形面积的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，平面，，，分别是棱，的中点．
证明：平面．
求平面与平面的夹角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，
(ⅰ)求的极值；
(ⅱ)若的极小值小于，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列满足，且对任意正整数，都有．
写出，，并求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；
设，是数列的前项和，求证：．
参考答案
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15.解：Ⅰ，，，
由余弦定理可得：；
Ⅱ由余弦定理可得，
因为为正三角形，所以，
，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
故四边形面积的最大值为．
16.解：证明：因为，分别为，的中点，
所以，，
又因为，
所以，
又，
所以，，
所以，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又面，面，
所以面．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，，，
平面的法向量为，
又，，
设面的法向量，
所以，
令，则，，
所以面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
，，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
17.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，
所以，
又椭圆过点，
所以，解得，，
故椭圆的方程为．
Ⅱ由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，，，
联立，消去，得，
所以，，恒成立，
所以的面积，
整理得，即，
解得或舍，
所以，
所以直线的斜率．
18.解：当时，则，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
易知，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，极小值，无极大值；
(ⅱ)易知，
因为，
所以，
设，函数定义域为，
可得，
所以在上单调递增，
因为，
此时要求不等式，
即求，
解得．
则的取值范围为．
19.解：由对任意正整数，都有，
令，可得，
所以，
则，，
当时，，
当时，符合上式，
所以；
由得，
当为偶数时，
；
当为奇数时，为偶数，，
综上所述，，
若为偶数，则为奇数，由，
得，整理得，解得舍去或；
若为奇数，则为偶数，由，即，
整理得，解得或，均不合题意，舍去．
综上，的值为．
证明：由
，
证明时，，
令，，
求导得，
所以，单调递增，
所以，，
结合当时，，有，
所以．
故．
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