2024-2025学年广东省肇庆市德庆县香山中学、四会中学高三（上）联考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年广东省德庆县香山中学、四会中学高三（上）联考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
3.在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，，均有成立，则下列函数中符合条件的是( )
A. B. C. D.
5.已知圆柱的高为，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为( )
A. B. 的最小正周期
C. 有个零点 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，为复数，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.如图是函数的部分图像，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是函数的一条对称轴
C. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数在上有且仅有两个零点，则
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则( )
A. 存在点，使，，，四点共面
B. 存在点，使平面
C. 三棱锥的体积为
D. 经过，，，四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等比数列的前项和，若，，则______．
13.曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为______．
14.已知若函数有两个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，满足．
求；
已知点在边上，且是的平分线，，求的最小值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且．
证明：面面；
若，，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求的极值；
对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
设数列的前项和为，已知．
证明：数列是等比数列；
若数列满足，，求数列的前项的和．
19.本小题分
记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
证明：函数与不存在“点”；
若函数与存在“点”，求实数的值；
已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以．
因为是的平分线，所以，
又，所以，
化简得，所以，
所以
当且仅当时，等号成立．
即的最小值为．
16.解：证明：设与交于，连接，
因为侧面是菱形，所以，，
又，所以，又，，平面，
故AB平面，又平面，
故平面平面；
由，，故C，又由知，且，，平面，
故平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
则，，，，
由，得，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
故，又二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
17.解：的定义域为，
当时，恒成立，此时单调递增，无极值，
当时，令，得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时在处取到极小值，无极大值；
对任意时，恒成立，代入化简即恒成立，
令，则，
令，则，
即在区间上单调递减，又，
所以当时，，即，此时单调递增，
当时，，即，此时单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为．
18.解：证明：设数列的前项和为，已知，
当时，得，解得；
由，得，
两式相减可得，
即，又，
所以，即，
所以是首项为，公比为的等比数列．
，，即，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以
．
19.证明：，，
则由定义得，得方程无解，
则与不存在“点”；
解：，，，
由得，，得，
，得；
解：，，，
由，假设，得，得，
由，得，得，
令，，
设，，
则，，得，
又的图象在上不间断，
则在上有零点，
则在上有零点，
则存在，使与在区间内存在“”点．
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