2024-2025学年福建省南平市某校高三（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省南平市某校高三（上）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.某班有名男同学，名女同学报名参加辩论赛，现从中选取名同学组成一个辩论队，要求辩论队不能全是男同学也不能全是女同学，则满足要求的辩论队数量是( )
A. B. C. D.
4.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加，信噪比从提升至，则大约增加了( )
附：
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，已知三个向量，，共线，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形．
C. 有一个角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.定义在上的函数，是的导函数，且成立，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知向量，，，且，则与夹角的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点是的中线上一点不包含端点且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值是
10.设函数，则下列结论正确的是( )
A. ，在上单调递增
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11.已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是( )
A. 的取值范围是 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知，，则在方向上的投影向量坐标为______．
13.若的展开式中各项系数的和为，则 ______，该展开式中的常数项为______．
14.对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，其中，若函数的最小正周期为．
求的值，并求的单调递增区间；
将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移个单位，得到的图象若，求满足的的取值集合．
16.本小题分
已知函数，．
若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；
若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若为锐角三角形且，求面积的取值范围．
18.本小题分
为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：
近视情况 每天看电子产品的时间 合计
超过一小时 一小时内
近视 人 人 人
不近视 人 人 人
合计 人 人 人
．
根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
在该班近视的同学中随机抽取人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
若，求的图象在处的切线方程；
若恰有两个极值点，
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：已知，，其中，
又，
则，
，
所以，
解得，
所以，
令，，
所以，，
所以函数的单调递增区间为．
将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，
再将得到的图象上所有点向右平移个单位，得，
即，
由，，
得或，
所以或，
故的取值集合．
16.解：，定义域为，
则，
因为函数在处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时为极小值点，不合要求，
当时，，
令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
此时为极大值点，满足要求，
综上，，有极大值，无极小值，
单调递增区间为，，单调递减区间为；
，定义域为，
则，
因为，所以，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，
令得，，解得，
故实数的取值范围是．
17.解：由，得，即，
而，结合正弦定理得，
由为三角形的内角，可知，所以，可得，结合，所以；
由正弦定理，得，所以，
，
因此，的面积
，
因为锐角三角形中，，可得，
所以当时，的面积取得最大值，且的面积的最小值大于，
综上所述，面积的取值范围为
18.解：零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
计算可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
每天看电子产品超过一小时的人数为，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是；
依题意，，，
事件包含两种情况：
其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是，
所以．
19.解：当时，，，
，则，
则的图象在处的切线方程为，即；
，
令，由恰有两个极值点，，
则有两个不同实数根，，且，
则有，即，即的取值范围是；
证明：由知，，且，，
则
，
则要证，即证，
即，
令，
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由，则，
即，即，
即可得证：．
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