广东省深圳中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（A卷）（PDF版，含答案）

广东省深圳中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷（A 卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3 + 4 5 = 0的斜率为( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 4 3
2.已知等比数列{ }，若 4 = 2， 6 = 3，则 2 =( )
3 2 4 3
A. B. C. D.
4 3 3 2
2 2
3.若椭圆 + = 1的右焦点坐标为(1,0)，则 的值为( )
4
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
4.设两直线 1：( + 1) 3 = 0， 2：2 + + 1 = 0相互垂直，则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
2 2
5.已知 1， 2是椭圆 + = 1的两个焦点， 是椭圆上的任意一点，则| 1| | 2 |的最大值是( ) 25 9
25
A. 9 B. 16 C. 25 D.
2
6.设等差数列{ }的前 项和为 ，且满足 1 < 0， 7 = 17，则当 取得最小值时， 的值为( )
A. 10 B. 12 C. 15 D. 24
7.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过
有限步后，必然进入循环1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”.如取正整数 = 5，根据上述
运算法则得出5 → 16 → 8 → 4 →.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{ }满足： 1 = ( 为正整数
,当 为偶数时,
)， = { 2 +1 当 = 3时， 1 + 2 + 3 + + 20 =( )
3 + 1,当 为奇数时,
A. 72 B. 77 C. 82 D. 87
8.“ 2 + 2 < 2”是“圆( )2 + ( )2 = 2与坐标轴有四个交点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分必要条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两椭圆 2 + 4 2 = 1和4 2 + 2 = 4，则( )
A. 两椭圆有相同的焦点 B. 两椭圆的离心率相等
C. 两椭圆有4个交点 D. 两椭圆有相同的对称轴和对称中心
10.已知数列{ }，{ }满足 = + 1，且 +1 = 2 ，则( )
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A. 当 1 ≠ 0时，{ }是等比数列 B. 3 = 4 1 + 2
C. 当 1 = 0时，{ }是等差数列 D. 当 1 = 2时，{ }是递增数列
11.已知实数 ， 满足方程 = √ 1 2，则( )
+2 3
A. ( 2)2 + 2的取值范围是[0,5] B. 的取值范围是[ , 3]
+1 4
C. 2 的取值范围是[ 1, √ 5] D. | + 5|的取值范围是[5 √ 2, 6]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线2 + ( + 3) = 0， + 1 = 0，3 1 = 0交于一点，则 = ______．
1
13.已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = + 1，若 = ，则数列{ }的前 项和 = ______． √ +√ +1
2 2
14.已知椭圆 ： + = 1( > > 0)的左右焦点分别为
2 2 1
， 2，过 2的直线与 交于 ， 两点.若| 2| =

3| 2 |，| | = 2| 1|，且△ 1的面积为4√ 15，则椭圆 的方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2 2
已知椭圆的方程为 + = 1，设椭圆的左右焦点分别为 ， ，与 轴正半轴的交点为 ．
5 4 1 2
(1)求△ 1 2的周长；
(2)设过椭圆的右焦点 2，且斜率为1的直线 与椭圆交于 ， 两点，求弦 的长．
16.(本小题12分)
已知圆 ： 21 +
2 4 = 0，圆 ： 22 +
2 + 6 6 + 8 = 0．
(1)求证：两圆 1， 2相交；
(2)设两圆交于 ， 两点，求四边形 1 2 的面积．
17.(本小题12分)
1
已知数列{ }中， 1 = 1， +1 =
+ ．
2 2 1
(1)求证：数列{2 1 }为等差数列，并求 ；
(2)求{ }的前 项和 ．
18.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)， (0, 2)， (√ 6, √ 2)在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若斜率存在的直线 交椭圆 于 ， 两点，且线段 的中点 的横坐标为 2，过 作新直线 ′ ⊥ ，
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①求直线 和直线 的斜率之积；
②证明新直线 ′恒过定点，并求出该定点的坐标．
19.(本小题12分)
在所有不大于 ( , ∈ , ≥ 2)的正整数中，记既不能被2整除也不能被3整除的个数记为 ( ). (注：一
个自然数能被 和 整除当且仅当其能被 ， 的最小公倍数整除，如能被5和3整除等价于能被15整除)
(1)求 6 (1)， 6 (2)的值(不需说明)；
(2)求 6 ( )关于 的表达式；
5 11 1 28
(3)若数列{ }满足 = ，记数列{ }的前 项和为 ，求证：对于 ∈
，均有 ≤ < ． 6( ) 1 2 2×6 1 5
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】√ + 2 √ 2
2 2
14.【答案】 + = 1
25 15
15.【答案】解：(1)由题， = √ 5， = 1，
所以 △ = | 1 2| + | 1| + | 2| = 2 + 2 = 2√ 5 + 2； 1 2
(2)由题，右焦点为 2 (1,0)，直线 的斜率为1，
所以直线 的方程为： = 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 1
联立{ 2 2 ，化简得9 2 10 15 = 0，
+ = 1
5 4
10 5
所以 1 + 2 = , 1 2 = ， 9 3
所以| | = √ 1 + 2| 2 21 2| = √ 1 + √ ( 1 + 2) 4 1 2
10 5 16√ 5
= √ 1 + 1 × √ ( )2 4 × ( ) = ．
9 3 9
16.【答案】证明：(1)圆 1：
2 + 2 4 = 0的圆心 1(0,0)，半径 = 2，
圆 2：
2 + 2 + 6 6 + 8 = 0，即 2：( + 3)
2 + ( 3)2 = 10的圆心 2( 3,3)，半径 = √ 10，
可得| 2 21 2 | = √ ( 3 0) + (3 0) = 3√ 2 < 2 + √ 10，即 < | 1 2| < + ，
所以两圆相交．
解：(2)设 ( , )，则其同时满足两圆的方程： 2 + 2 = 4，( + 3)2 + ( 3)2 = 10，
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故其也满足两式之差： 2 + 2 [( + 3)2 + ( 3)2] = 4 10，化简得一直线方程 ： + 2 = 0，
即 在直线 上，同理点 也在直线 上，因此 ： + 2 = 0就是直线 的方程．
2
1到直线 的距离 = = √ 2，由垂径定理可得| | = 2√ 2 2 = 2√ 2． √ 1+1
1 1
因为 1 2 ⊥ ，四边形 1 2 的面积 = | | | 2 1 2| = × 2√ 2 × 3√ 2 = 6． 2
1
17.【答案】解：(1)因为 1 +1 = + 1，所以2 +1 = 2 + 2， 2 2
故2 2 1 +1 = 2，
即数列{2 1 }是以 1为首项，2为公差的等差数列，
故2 1 = 1 + 2( 1) = 2 3，
2 3
所以 = 1； 2
1 3 5 2 5 2 3
(2)依题意可得 = 1 + + 2 + 3 + + 2 + 1， 2 2 2 2 2
1 1 1 3 5 2 5 2 3
= +2 2 22
+ + + +
23 24 2 1
+ ， 2
1 1
(1 )
1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 2 +1
两式相减可得 = 1 + 1 + + + +
2
2 2 2 2 2
= 1 = 1 ，
2 2 1 2 2

2
2 +1
所以 = 2 1． 2
= 2 = 2
18.【答案】解：(1)由题可得{ 6 2 {
2 + 2 = 1
,解得： ，
= 2√ 3
2 2
故椭圆 的方程为： + = 1；
12 4
(2)①由题，设 ( 2, 0)， ( 1, 1)、 ( 2, 2)，显然 1 ≠ 2，如图，
2 21 + 1 = 1
{12 4 1
2 1+ 2 1
联立 2 ，两式作差变形得 = ， 2 + 32 2 1 2 1 2+ = 1
12 4
+
因为 为线段 的中点，所以 0 = 1 2，
2 1+ 2
1 2 +
又 1 = = ， =
0 = 1 2
1
，
2 2 1+ 2
1
所以 = ， 3
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1
即直线 和直线 的斜率之积为 ；
3
1 2 2
②证明：由①可得直线 的斜率为 1 = =3 ， 0 3 0
3
又 ′ ⊥ ，所以直线 ′的方程为 0 =
0 ( + 2)，
2
3 0 4即 = ( + )，
2 3
4
所以新直线 ′过定点，坐标为( , 0)．
3
19.【答案】解：(1)在不大于6的所有正整数中，既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，共2个，
即有 6(1) = 2；
在不大于36的所有正整数中，能被2整除的共有18个，能被3整除的奇数个数为6，
6(2) = 36 18 6 = 12；
6 6
(2)在不大于6 的所有正整数中，能被2整除的数有 个，能被3整除的数有 个，
2 3
6
能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有 个，
6

6 6 6

所以满足题意的表达式为 6( ) = 6 + = 2 × 6
1；
2 3 6
5 5
(3)证明：由(2)知，当 = 1时， 1 = = = 5，所以 = 5， 6(1) 1 2 1 1
5 5 5 6 1 6 1
当 ≥ 2时， < = = < = 3 × ，
2×6 1 6( ) 1 2×6 1 1 2×6 1 1 2×6 1 6 1
+
(上式放缩用到了不等式性质，若 > > 0， > 0，则 < ))
+
5 1 1 1 1 1 1 1 1
则 ≥ 2时，5 + ( +
2 6 62
+ + ) < < 5 + 3( + + +
6 1 6 62 6 1
) = 5 + 3( 1)， 5 5×6
5 1 1 28
也即5 + ( 1) < 2 5 < ， 5×6 5
11 1 28
综上可得， 1 ≤ < 对于 ∈
成立，即证．
2 2×6 5
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