浙江省台州市六校联盟2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省台州市六校联盟 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3,4}， = { | 2 5 + 6 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4} B. {1,4} C. {2,3} D. {0,1,4}
2.命题“ ∈ ， 2 > ”的否定是( )
A. ∈ ， 2 < B. ∈ ， 2 <
C. ∈ ， 2 ≤ D. ∈ ， 2 ≤
√ 2
3.函数 = 的定义域为( )

A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 0) ∪ (0,2] C. (0,2] D. [2, +∞)
4.已知 ∈ ，则“ < 2”是“ 2 < 2 ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 1
.已知 =
1
5 31 2 ， 2 = 3 3， 3满足( ) = 3，则( ) 3
A. 1 < 2 < 3 B. 1 < 3 < 2 C. 2 < 1 < 3 D. 3 < 1 < 2
6.已知 = ( 1) + 1为奇函数，则 ( 4) + ( 3) + ( 2) + ( 1) + (0) + (1) + (2) =( )
A. 14 B. 14 C. 7 D. 7
7.已知 ( ) = 2(√
2 + 2 + )， ( ) = √ 3， ( ) =( )
A. 1 B. √ 3 C. √ 3 D. 1 √ 3
(2 1) + 4 , < 1 ( 1) ( )
8.已知函数 ( ) = { 2 满足：对任意 1， 2 ∈ ，当 1 ≠ 2时，都有
2 > 0成立，
+ 1, ≥ 1 2 1
则实数 的取值范围是( )
1 1 1 1
A. [ , ) B. [ 2, ) C. [ 2, +∞) D. [ ∞, )
7 2 2 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合 = {1,2,3,4}， = {1,2}， = {2,4}，则下列结论正确的是( )
A. ∈ ( ∩ ) B. ∪ = {1,2,4}
C. ( ∩ ) = {1,3,4} D. ( ) ∩ = {2,3,4}
10.下列选项正确的是( )
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A. 若 > ，则 > 1 B. 若 > ， > ，则 >

1 1
C. 若 2 > 2，则 > D. 若 > ，则 <

11.有以下判断，其中是正确判断的有( )
| | 1, ≥ 0
A. ( ) = 与 ( ) = { 表示同一函数
1, < 0
B. 函数 = ( )的图象与直线 = 1的交点最多有1个
C. ( ) = 2 2 + 1与 ( ) = 2 2 + 1是同一函数
3
D. 函数 = ( + 1)的定义域为[1,2]，则函数 = (2 1)的定义域为[ , 2]
2
12.已知 ( ) = 2 +
1
( < 0)与 ( ) = 2 + ln( + )的图象上存在关于 轴对称的点，则 的取值可能
2
是( )
A. B. 1 C. 1 D.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 , ≤ 0
13.设函数 ( ) = { 6 ，则 ( (2)) ______．
+ 5, > 0
+1

14.已知函数 ( ) = 2 + 5 1的图象经过点(2,0)，其中 > 0且 ≠ 1.则 ( )在(0, +∞)的最小值为______．
1
15.函数 ( ) = 在 ∈ (1, +∞)的值域是______．
2 +1
16.若函数 = ( )在区间[ , ]上同时满足：① ( )在区间[ , ]上是单调函数，②当 ∈ [ , ]，函数 ( )的
值域为[ , ]，则称区间[ , ]为函数 ( )的“保值”区间，若函数 ( ) = 2 + 存在“保值”区间，求
实数 的取值范围______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
化简求值．
3 27 2 1 1
(1)(3 )0 + √ + (0.008) 3 × ( )2；
8 4
(2)lg225 + 25 × 16 ( 32 + 9 2)( 23 + 83) + lg
24．
18.(本小题12分)
已知全集 = ，集合 = { | 2 ≤ 3 2 ≤ 4}， = { | ≤ ≤ + 3}．
(1)当 = 1时，求 ∪ 与( ) ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
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19.(本小题12分)
随着环保观念深入人心，自本世纪10年代开始新能源汽车开始加速发展，得益于钱学森等老一批科学家的
战略眼光及中国汽车人的不懈努力，目前中国正在重新塑造全球汽车行业的格局，在电池、电机、智能化
方面具有压倒性优势，成为世界新能源的领导者. 2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分
析，全年需投入固定成本8000万元，每生产 (百辆)，需另投入成本 ( )(万元)，且 ( ) =
40 2 + 400 , 0 < < 40
{ 40000 .已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销
2004 + 18000, ≥ 40

售完．
(1)求出2024年的利润 ( )(万元)关于年产量 (百辆)的函数关系式；
(2)2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
20.(本小题12分)
+
已知函数 ( ) =
2
为奇函数，且其定义域为( 2,2)．
4
(1)求出 的值，并利用单调性的定义证明： ( )在(0,2)上单调递减；
(2)解不等式 (2 ) + (4 2) < 0．
21.(本小题12分)
已知正实数 、 和实数 满足4 2 + 2 + 2 = 4．
1 2
(1)若 = 2，求 + 的最小值；

(2)若2 + 存在最大值，求 的取值范围．
22.(本小题12分)
黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德 黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用.黎曼函
1
, = ( , ∈ +, 为既约真分数)
数定义在[0,1]上， ( ) = { ．
0, = 0 或 1 或(0,1)内的无理数
1 2 √ 3
(1)求 ( ), ( ), ( )．
3 3 3
(2)请用描述法写出满足方程 ( ) = ，( ≠ 0)的解集；
1 1
(3)解不等式 ( ) > + ．
5 5
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】1
1
14.【答案】
2
1
15.【答案】(0, )
2
3 1
16.【答案】[ , 1) ∪ [ , 0)
4 4
3 1000 2 1
17.【答案】(1)原式= 1 + ( )3 ×
2 8 2
1 1
= + 25 × = 12；
2 2
1
(2)原式= 4 25 + 8 5 × 2 (1 + 9 3 + 9 2 ×
2
83 + ) + 4 2 3
2 4 1 1= 4(lg 5+ 2 5 × 2 + lg22) ( + + )
3 2 6
= 4( 5 + 2)2 2
= 2．
18.【答案】解：全集 = ，集合 = { | 2 ≤ 3 2 ≤ 4}， = { | ≤ ≤ + 3}．
(1)当 = 1时， = { | ≤ ≤ + 3} = { | 1 ≤ ≤ 2}，
= { | 2 ≤ 3 2 ≤ 4} = { |0 ≤ ≤ 2}，全集 = ，
所以， ∪ = { | 1 ≤ ≤ 2}， = { | < 0或 > 2}，
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故( ) ∩ = { | 1 ≤ < 0}．
{ ≤ 0(2)因为 ∩ = ，则 ，所以， ，解得 1 ≤ ≤ 0．
+ 3 ≥ 2
因此，实数 的取值范围是{ | 1 ≤ ≤ 0}．
19.【答案】解：(1)2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本8000
万元，
40 2 + 400 , 0 < < 40
每生产 (百辆)，需另投入成本 ( )(万元)，且 ( ) = { 40000 ，
2004 + 18000, ≥ 40

已知每辆车售价20万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完，
当0 < < 40时， ( ) = 2000 (40 2 + 400 ) 8000 = 40 2 + 1600 8000，
当 ≥ 40时，
40000 40000
( ) = 2000 (2004 + 18000) 8000 = 4 + 10000，

40 2 + 1600 8000,0 < < 40
所以 ( ) = { 40000 ；
4 + 10000, ≥ 40

(2)当0 < < 40时， ( ) = 40 2 + 1600 8000 = 40( 20)2 + 8000，
所以当 = 20时， ( )有最大值，为8000；
当 ≥ 40时，
40000 40000
( ) = (4 + ) + 10000 ≤ 2√ 4 × + 10000 = 9200，

40000
当且仅当4 = ，即 = 100时， ( )有最大值为9200，

所以当 = 100时， ( )有最大值为9200．
综上所述：2024年生产量为100百辆时，企业所获得利润最大，最大利润为9200万元．

20.【答案】解：(1)根据奇函数的性质可知， (0) = = 0，即 = 0， ( ) = 2 ，满足 ( ) = ( )， 4 4
所以 = 0，
设0 < 1 <
2 2
2 < 2， 2 1 > 0， 1 4 < 0， 2 4 < 0， 1 2 + 4 > 0，
( )( +4)
则 ( ) ( 1 2 2 1 1 21 2) = 2 = > 0， 1 4 2 4 ( 22 1 4)( 22 4)
即 ( 1) > ( 2)，
所以 ( )在(0,2)上单调递减；
(2) (2 ) + (4 2) < 0 (2 ) < (4 2) = ( 2 4)，
因为函数 ( )是奇函数，且在区间(0,2)上单调递减， (0) = 0，
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所以函数 ( )在区间( 2,2)上单调递减，
2 < 2 < 2
所以{ 2 < 4 2 < 2，解得：√ 2 < < 2，
2 > 2 4
所以不等式的解集为(√ 2, 2)．
21.【答案】解：(1)当 = 2时，则4 2 + 4 + 2 = (2 + )2 = 4，
又因为 、 为正实数，则2 + = 2，
1 2 1 1 2 1 4 1 4
所以 + = (2 + )( + ) = (4 + + ) ≥ (4 + 2√ ) = 4，
2 2 2
1 1 2
当且仅当 = 2 且2 + = 2，即当 = 1， = 时等号成立，故 + 的最小值为4．
2
(2)因为正实数 、 和实数 满足4 2 + 2 + 2 = (2 + )2 + (2 4) = 4，
当 = 2时，则2 + = 2，此时2 + 的最大值为2；
2
(2 + ) +2
当 > 2时，4 = (2 + )2 + ( 2) × 2 ≤ (2 + )2 + ( 2) = × (2 + )2，
4 4
16 4
可得(2 + )2 ≥ ，即2 + ≥ ，不合乎题意；
+2 √ +2
2
(2 + ) +2
当 < 2时，4 = (2 + )2 + ( 2) × 2 ≥ (2 + )2 + ( 2) = × (2 + )2，
4 4
若2 + 存在最小值，则 + 2 > 0，可得 > 2，即 2 < < 2时，
16 4
则(2 + )2 ≤ ，2 + ≤ ，此时2 + 存在最大值．
+2 +2
综上所述，若2 + 存在最大值，则 的取值范围是( 2,2]．
1 1 2 1 √ 3
22.【答案】解：(1)由黎曼函数的定义可知， ( ) = ， ( ) = ， ( ) = 0；
3 3 3 3 3
(2)依题意， ≠ 0，
当 = 1时， ( ) = 0，则方程 ( ) = 无解，
当 为(0,1)内的无理数时， ( ) = 0，则方程 ( ) = 无解，
1
当 = ( , ∈ + , 为既约真分数)时，则 ( ) = ， 为大于1的正整数，
1
则由方程 ( ) = ，解得 = ， 为大于1的正整数，

1
综上，方程 ( ) = ，( ≠ 0)的解集为{ | = , 为大于1的正整数}；

(3)若 = 0或 = 1或 为(0,1)内无理数时， ( ) = 0，
1 1
显然不等式 ( ) > + 无解，
5 5

若 = ( , ∈ + , 为既约真分数)，
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1
则 ( ) = ， 为大于1的正整数，

1 1 1
所以 > + ，
5 5
解得 + < 5，

又因为 = ( , ∈ + , 为既约真分数)，
1 1
所以 = ， ，
2 3
1 1 1 1
综上所述，不等式 ( ) > + 的解集为{ , }．
5 5 2 3
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