云南省昆明市行知中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷（PDF版，含答案）

云南省昆明市行知中学 2024-2025 学年高一上学期期末模拟考试数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 2, 1,0,1,2}，集合 = { 2, 1,0}，则 =( )
A. {1,2,3} B. {1,2} C. (0,2) D. (1,2)
2.在同一个坐标系中，函数 ( ) = log ， ( ) =
， ( ) = 的部分图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.直线 + √ 3 + 2 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
1
4.已知空间四边形 ， 是 的中点，联接 ，则 + ( + ) =( )
2
→ 1
A. B. C. D.
2
5.如图在三棱柱 1 1 1中， 是面 1 1 的中心，且 1 = ， = ， = ，
则 1 =( )
1 1 1
A. + +
2 2 2
1 1 1
B. +
2 2 2
1 1 1
C. +
2 2 2
1 1 1
D. + +
2 2 2
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6.已知 + = (2, √ 2, 2√ 3)， = (0, √ 2, 0)，则cos < ， >=( )
1 1 √ 6 √ 6
A. B. C. D.
3 6 3 6
1
7.已知函数 ( ) = ，则“ = 1”是 ( )为奇函数的( ) 2 +1 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.科赫( )曲线是几何中最简单的分形，科赫曲线的产生方式如下：
如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科
赫曲线“ ”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，
同理可得3级科赫曲线…在分形中，一个图形通常由 个与它的上一级图形相似，
1
且相似比为 的部分组成.若 = ，则称 为该图形的分形维数.那么科赫曲线的分

形气维数是( )
A. log23 B. log32 C. 1 D. 2 32
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 > ，则( )
1 1
A. ln( + 1) > 0 B. <

C. 3 > 3 D. | | > | |
10.下列说法正确的是( )
A. = 180°
B. 第一象限角都是锐角

C. 在半径为2的圆中， 弧度的圆心角所对的弧长为
6 3

D. 终边在直线 = 上的角的集合是{ | = 2 , ∈ }
4

2 ( + )cos( )sin( )
11.已知 ( ) = 2 3 ，则下列说法正确的是( )
sin( + )
2
A. ( ) = 2 B. ( ) = 2
3 √ 2 1
C. 若 = 3，则 ( ) = D. 若 = ，则 ( ) =
5 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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4
12.已知函数 ( ) = + 没有零点，则 的一个取值为______； 的取值范围是______．

2 , ≥ 0
13.已知函数 ( ) = { 2 ，则 ( )的单调递增区间为______；满足| ( )| < 4 × 10
4的整数解的个数
, < 0
为______. (参考数据： 2 ≈ 0.30)
14.已知函数 ( ) = 3(
2 + 4 + 1)的最大值为2，则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3
已知 = 2．
sin +cos

(1)若 为锐角，求cos( )的值；
4
(2)求 2 2 2 + 1的值．
16.(本小题15分)
5 3
已知集合 = { | 2 2 < 0}, = { || | ≥ }．
2 2
(Ⅰ)求 ∪ ， ∩ ；
(Ⅱ)记关于 的不等式 2 (2 + 4) + 2 + 4 ≤ 0的解集为 ，若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( )， ( )， ( )的定义域均为 ，给出下面两个定义：
①若存在唯一的 ∈ ，使得 ( ( )) = ( ( ))，则称 ( )与 ( )关于 ( )唯一交换；
②若对任意的 ∈ ，均有 ( ( )) = ( ( ))，则称 ( )与 ( )关于 ( )任意交换．
(Ⅰ)请判断函数 ( ) = + 1与 ( ) = 1关于 ( ) = 2是唯一交换还是任意交换，并说明理由；
(Ⅱ)设 ( ) = ( 2 + 2)( ≠ 0)， ( ) = 2 + 1，若存在函数 ( )，使得 ( )与 ( )关于 ( )任意交换，
求 的值；
1
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若 ( )与 ( )关于 ( ) = 唯一交换，求 的值． +1
18.(本小题17分)
3√ 3
函数 ( ) = 3 ( + )( > 0,0 < < )的部分图象如图所示，该图象与 轴交于点 (0, )，与 轴交
2 2
3
于点 ， ， 为最高点，△ 的面积为 ．
4
(1)求函数 ( )的解析式；

(2)若对任意的 ∈ [0, ]，都有| ( ) + 3 3 | ≤ 3，求实数 的取值范围． 3
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19.(本小题17分)
4 +
已知函数 ( ) = ( > 0)满足[ (1)]2 = (2) + 2． ×2
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( ) = (2 ) 2 ( )的值域．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0(答案不唯一) ( 4,4)
13.【答案】( ∞,+∞) 215
14.【答案】6
3
15.【答案】解：(1) ∵ = 2，
sin +cos
∴ = 2 ，
∴ 4 2 + cos2 = 1， 为锐角，
√ 5 2√ 5
∴ = ， = ，
5 5
√ 2 √ 2 3√ 10
∴ cos( ) = + = ；
4 2 2 10
(2)由 = 2 得 = 2，
∴ 2 2 2 + 1 = 2 2(cos2 sin2 ) + sin2 + cos2
= 2 cos2 + 3 2
2 cos2 + 3 2
=
sin2 + cos2
2 1 + 3 2
=
tan2 + 1
4 1 + 12
=
4 + 1
= 3．
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16.【答案】解：(Ⅰ) ∵ 2 2 < 0，解得 1 < < 2，
∴ = { | 1 < < 2}，
5 3
∵ | | ≥ ，解得 ≥ 4或 ≤ 1，∴ = { | ≤ 1或 ≥ 4}，
2 2
∴ ∪ = { | < 2或 ≥ 4}，
∵ = { |1 < < 4}，
∴ ∩ = { |1 < < 2}．
(Ⅱ) ∵关于 的不等式 2 (2 + 4) + 2 + 4 ≤ 0的解集为 ，
由 2 (2 + 4) + 2 + 4 ≤ 0，得 ≤ ≤ + 4，
∴ = { | ≤ ≤ + 4}，
≤ 1
∵ ∪ = ，∴ { ，解得0 ≤ ≤ 1，
+ 4 ≥ 4
∴实数 的取值范围是{ |0 ≤ ≤ 1}．
17.【答案】解：(Ⅰ) ( )与 ( )关于 ( )是唯一交换，理由如下：
因为 ( ( )) = ( + 1)2， ( ( )) = 2 1，
令 ( ( )) = ( ( ))，所以( + 1)2 = 2 1，解得 = 1，
所以 ( ( )) = ( ( ))有唯一解 = 1，
所以 ( )与 ( )关于 ( )是唯一交换．
(Ⅱ)由题意可知，对任意的 ∈ ， ( ( )) = ( ( ))成立，
即对任意的 ∈ ， [( 2 + 1)2 + 2] = ( ( 2 + 2))；
因为 ( )为函数，且 ( (( )2 + 2)) = ( ( 2 + 2))，故 = 0，
故 [( 2 1)2 + 2] = ( ( 2 + 2))，
( 2+2)
即 [( 3)2 + 2] = ( ( 2 + 2))，

2 11
所以 ( ) = [( 3)2 + 2] = 6 + ，

综上所述， = 0．
(Ⅲ)当 = 0时， ( ) = 2 1，
1
因为 ( )与 ( )关于 ( ) = 唯一交换， +1
2 1所以存在唯一实数 ，使得 ( 1) = ( )，
+1
2
1 1 1
即存在唯一实数 ，使得 2 = [( )
2 + 2]，
1+1 +1
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2
1 1
2 1
即存在唯一实数 ，使得 = +1 1 2 ；
[( ) +2] +1
2 1 1
2
2
1 1 1
令 ( ) = +1
1 2
1 2 , ( ) = 2 , ( ) = ( ) + 2，且 ( )， ( )， ( )定义域均为 ，
[( ) +2]
1+1 +1
+1
2
( ) 1 1
2
1 1 1 1 1
又 ( ) = 2 = 2 = ( ), ( ) = (
2
) + 2 = ( )
2
+ 2 = ( )
2
+ 2 = ( )，
( ) 1+1 1+1 +1 1+ +1
所以 ( )， ( )都是偶函数，所以 ( )为偶函数，

2 1 1
2 1
因此，若存在唯一实数 使得 = +1 1 2 ，只能是 = (0)，
[( ) +2] +1
1
1
1
所以 =
+1 1
= ，
2 2( +1)
1
综上所述， 的取值为 ．
2( +1)
3√ 3
18.【答案】解：(1)由题意得， (0) = 3 = ，0 < < ，
2 2

所以 = ，
3
1 3
又△ 的面积 = | | × 3 = ，
2 4

所以| | = = ，
2 2
所以 = ， = 2，

所以 ( ) = 3 (2 + )；
3

(2)当0 ≤ ≤ 时， ≤ 2 + ≤ ，
3 3 3

所以0 ≤ sin(2 + ) ≤ 1，0 ≤ ( ) ≤ 3，
3

若对任意的 ∈ [0, ]，都有| ( ) + 3 | ≤ 3，
3 3
则 3 ( ) ≤ 3 3 ≤ 3 ( )，
所以 3 ≤ 3 3 ≤ 0，
1
解得 ≤ ≤ 1，
3
1
故 的范围为[ , 1].
3
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19.【答案】解：(1) ∵ [ (1)]2 = (2) + 2，
4+ 16+
所以( )2 = + 2，且 > 0，
2 4
解得 = 1；
4 +1
(2)由(1)可得 ( ) =
2
，
所以 ( ) = (2 ) 2 ( )
42 + 1 4 + 1
= 2
22 2

1 1
= (2 )2 + ( 2 ) 2 (2
+ ) 2 2
1 1
= (2 + )2 2(2 + ) 2， 2 2
1 1
令 = 2 + ≥ 2√ 2 = 2，当且仅当2 = 1，即 = 0时取等号， 2 2
设 ( ) = 2 2 2， ≥ 2，
开口向上，对称轴 = 1，所以函数在[2,+∞)单调递增，
所以 ( ) ≥ (2) = 22 2 × 2 2 = 2．
所以函数的值域为[ 2,+∞)．
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