天津市朱唐庄中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

天津市朱唐庄中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列关系中表述正确的是( )
A. 0 ∈ B. { 1,0,1} {0,1, 1}
C. √ 2 D. 0 {0}
2.已知全集 ，集合 = {0,2,4,5}，集合 = {2,3,4,6}，用如图所示的阴影部分表示
的集合为( )
A. {2,4} B. {0,3,5,6} C. {0,2,3,4,5,6} D. {1,2,4}
3.若命题 ： > 0， 2 4 + 3 > 0，则命题￢ 为( )
A. > 0， 2 4 + 3 ≥ 0 B. ≤ 0， 2 4 + 3 ≤ 0
C. > 0， 2 4 + 3 ≤ 0 D. ≤ 0， 2 4 + 3 ≤ 0
4.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ( ) = √ 2， ( ) = (√ )2 B. ( ) = 1， ( ) = 0
3 23
C. ( ) = √ 2， ( ) = (√ )2
1
D. ( ) = + 1， ( ) =
1
5.已知 ：|2 3| < 1， ： ( 3) < 0，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√ 9 2
6.函数 ( ) = 的定义域是( )
1
A. [ 3,3] B. ( 3,3) C. ( 3,1) ∪ (1,3) D. [ 3,1) ∪ (1,3]
7.已知函数 ( ) = + 为一次函数，且 (2) = 1， (4) = 3，则 ( 1) =( )
A. 3 B. 3 C. 7 D. 7
1 2
8.设 > 0， > 0，且 + = 1，则 + 的最小值为( )
2
11 9
A. 5 B. C. 4 D.
2 2
9.设奇函数 ( )的定义域为[ 5,5]，当 ∈ [0,5]时，函数 = ( )的图象如图所
示，则使函数值 < 0的 的取值集合为( )
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A. (2,5) B. ( 5, 2) ∪ (2,5) C. ( 2,0) D. ( 2,0) ∪ (2,5)
10.已知函数 ( ) = 2 + 5在( ∞, 2]上单调递减，则 的取值范围为( )
A. [4, +∞) B. [2, +∞) C. ( ∞, 4] D. ( ∞, 2]
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.已知 = { ∈ | 2 ≤ ≤ 4}，它的非空真子集的个数为______．
2
, ≤ 0
12.已知函数 ( ) = {1 ，则 ( ( 2)) = ______．
2, > 0
13.已知集合 = { 1,3,2 1}，集合 = {3, 2}.若 ，则实数 =______．

14.判断函数的奇偶性：(1) ( ) = 2 为______函数；(2) ( ) = | | +
2为______函数．
+1
9
15.函数 ( ) = + ( > 3)的最小值为______．
3
16.已知函数 ( ) = 2 + | + + 1|为偶函数，则不等式 ( ) > 0的解集为______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集 = ，集合 = { | 1 ≤ ≤ 4}， = { | < 1或 > 5}．
(1)求 ∪ ；
(2)求( ) ∪ ；
(3)求( ) ∩ ( )．
18.(本小题10分)
1
设函数 ( ) = √ 5 + 的定义域为集合 ，集合 = { |1 < < 1 + }．
√ +3
(1)求集合 ；
(2)求 (1)的值；
(3)若 ，求 的取值范围．
19.(本小题10分)
1
已知函数 ( ) = ．
3 1
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1
(1)先判断函数 ( )在区间( , +∞)上的单调性，再用定义法证明；
3
(2)求函数 ( )在区间[1,5]上的最值．
20.(本小题10分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 4 ，函数 ( )在 轴左侧的图象如图所示，
请根据图象．
(1)画出 ( )在 轴右侧的图象，并写出函数 ( )( ∈ )的单调区间；
(2)写出函数 ( )( ∈ )的解析式；
(3)若函数 ( ) = ( ) + (3 ) + 4( ∈ [2,4])，求函数 ( )的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】14
4
12.【答案】
9
13.【答案】1
14.【答案】奇 偶
15.【答案】9
16.【答案】( 1,0) ∪ (0,1)
17.【答案】解：全集 = ，集合 = { | 1 ≤ ≤ 4}， = { | < 1或 > 5}．
(1) ∪ = { | ≤ 4或 > 5}．
(2) = { | < 1或 > 4}，
又 = { | < 1或 > 5}，
∴ ( ) ∪ = { | < 1或 > 4}．
(3) ∵全集 = ， = { | < 1或 > 5}，∴ = { |1 ≤ ≤ 5}，
又 = { | < 1或 > 4}，
∴ ( ) ∩ ( ) = { |4 < ≤ 5}．
1 5 ≥ 0
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = √ 5 + 的定义域为{ ，解得 3 < ≤ 5，
√ +3 + 3 > 0
则集合 = { | 3 < ≤ 5}；
1 5
(2)由题意， (1) = √ 5 1 + = ．
√ 1+3 2
(3)当 = 时，1 ≥ 1 + ，解得 ≤ 0，符合题意；
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1 < 1 +
当 ≠ 时，则{1 ≥ 3 ，解得0 < ≤ 2；
1 + ≤ 5
综上， 的取值范围是( ∞, 2]．
1 1
19.【答案】解：(1)根据题意， ( ) = 在( , +∞)上单调递减，
3 1 3
证明如下：
1
设 1、 2 ∈ ( , +∞)，且 < ， 3 1 2
1 1 3 1 (3
则 ( ) ( ) = = 2 1
1) 3 3 3(
= 2 1 = 2
1)
1 2 ， 3 1 1 3 2 1 (3 1 1)(3 2 1) (3 1 1)(3 2 1) (3 1 1)(3 2 1)
又3 1 1 > 0，3 2 1 > 0， 2 1 > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，故 ( 1) > ( 2)，
1
则 ( )在区间( , +∞)上的单调递减．
3
(2)由(1)的结论： ( )在[1,5]上递减，
1 1 1 1
即 ( ) = (1) = = ， ( ) = (5) = = ， 3×1 1 2 3×5 1 14
1 1
故函数 ( )在区间[1,5]上的最大值为 (1) = ，最小值为 (5) = ．
2 14
20.【答案】解：(1) ∵函数 ( )是定义在 上的奇函数，∴函数 ( )的图象关于原点对称，
则函数 ( )图象如图所示．
由图可知，函数的减区间为( ∞, 2)，(2, +∞)，增区间为( 2,2)；
(2)由 ≤ 0时， ( ) = 2 + 4 ，
设 > 0，则 < 0，则 ( ) = 2 4 ，
又∵函数 ( )是定义在 上的奇函数，
∴ ( ) = ( ) = 2 + 4 ，
2 + 4 , ≤ 0
∴ ( ) = { ；
2 + 4 , > 0
(3)当 ∈ [2,4]时， ( ) = 2 + 4 ，
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则 ( ) = 2 + 4 + (3 ) + 4 = 2 + (7 ) + 4，
7
函数的对称轴方程为 = ，
2
7
当 < 3，即 > 1时， ( )
2
= (4) = 16 4 ，
7
当 ≥ 3，即 ≤ 1时， ( )
2
= (2) = 14 2 ．
16 4 , > 1
故 ( ) = { ． 14 2 , ≤ 1
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