新疆乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

新疆乌鲁木齐市第 101 中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 7 = 5，则 的值为( )
7 7 7
A. √ 5 B. √5 C. √5 D. ±√5
2.函数 ( ) = 2 + 2 的零点所在的区间为( )
A. (0,1) B. ( 1,0) C. (1,2) D. (2,3)
3.“0 < < 1”是“log2( + 1) < 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知 = 0.3， = 0.31.1， = 0.31.2，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知幂函数 ( ) = ( 2 3) 在(0,+∞)上为减函数，则 (3) =( )
1 1
A. B. 9 C. D. 3
9 3
2 1
6.若实数 、 满足 > > 0，且log2 + log2 = 2，则 + 的最小值为( )
A. 4 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
lg(2 1)
7.函数 ( ) =
2
的定义域为( )
1
1
A. ( , +∞) B. (1,+∞)
2
1 1
C. ( 1, ) ∪ (1,+∞) D. ( , 1) ∪ (1,+∞)
2 2
1
8.函数 = ( > 0，且 ≠ 1)的图像可能是( )

A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的是( )
A. log ( ) = log log ( > 0, > 0, > 0且 ≠ 1)

B. log = log log ( > 0, > 0, > 0且 ≠ 1)
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C. log = ( > 0, > 0且 ≠ 1)
3
D. log 3 2 = log ( > 0, > 0且 ≠ 1) 2
2 + 1, ≤ 0
10.已知函数 ( ) = { ，若 ( ) = 10，则实数 的值可以是( )
√ + 8, > 0
A. 3 B. 3 C. 4 D. 4
1 1
11.已知实数 ， 满足等式( ) = ( ) ，则下列可能成立的关系式为( )
2 4
A. 0 < < B. 0 < < C. < < 0 D. =
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = log ( 2) 3( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，则 的坐标是______．
13.已知 + 1 = 3，则 2 + 2 =______．
2 1, < 0
14.已知 ( ) = { 2 ，当 = 2时， ( )的单调减区间为 ；若 ( )存在最小值，则实数 的取 , ≥ 0
值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
16 1 1 1
(1)计算：( ) 4 √ 43 × 23 + (√ 5 2)0．
81
5 25
(2) 2 + lg lg + 9 8．
8 2 4 9
16.(本小题15分)
2 1
已知不等式2 5 ≤ 的解集为 (用区间表示)．
8
(1)求区间 ；
(2)在区间 上，2 2 > 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
3 +1
已知函数 = ( )的表达式为 ( ) =
3
的图像关于原点成中心对称．
+1
(1)求实数 的值；
1 5
(2)已知函数 ( )是 上的严格增函数，当 ∈ [ , ]时，函数 ( )的值域为[ , ]，求实数 ， 的值．
2 6
18.(本小题17分)
2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，
为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为
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各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产
品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产 (10000 ∈ )万件产品，
1
2, 0 < < 100,
还需另外投入原料费及其他费用 ( )万元，且 ( ) = {2 已知每件产品的售价为20
21 + 2 380, 100.
元且生产的该产品可以全部卖出．
(1)写出利润 ( )(万元)关于产量 (万件)的函数解析式．
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 ， ∈ ．
(1)解方程： (2 ) ( + 1) = 8；
(2)设 ∈ ，求函数 ( ) = ( ) + 4 在区间[0,1]上的最大值 ( )的表达式．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(3, 3)
13.【答案】7
14.【答案】(0,1)
[2,+∞)
16 1 √ 1 1 81 1 1 115.【答案】解：(1)( ) 4 43 × 23 + (√ 5 2)0 = ( )4 √ (22)3 × 23 + 1
81 16
4 1 2 1 4×
1
3 3 4 2 1 3 5
= ( )44
√ 23 × 23 + 1 = √ +3 3
2 4×1
2 + 1 = √ 2 + 1 = √ 2．
2 2
2 4
5 25 5 25 9 8
(2) 2 + lg lg + 49 98 = lg(2 × ) lg + × 8 2 8 2 4 9
5 2 23 1 3 3 1
= lg( × ) + 2 = lg + = 1 + = ． 4 25 2 10 2 2 2
2 1
16.【答案】解：(1)由2 5 ≤ = 2 3可得 2 5 ≤ 3，
8
解得 1 ≤ ≤ 2，
故 D= [ 1,2]；
(2)在区间 = [ 1,2]上，2 2 > 恒成立，
则 < 2 2 在[ 1,2]上恒成立，
令 = 2 2 ， ∈ [ 1,2]，
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1 1
根据二次函数的性质可知，当 = 时，函数取得最小值 ，
4 8
1
所以 < ，
8
1
故实数 的取值范围为{ | < }.
8
17.【答案】解：(1) ( )的定义域为 ， ( )的图像关于原点成中心对称，即 ( )为奇函数，
∴ ( ) = ( )， (0) = 0，
30+1
即 0 = 0，解得： = 2，经检验符合题意， 3 +1
∴ = 2；
(2) ∵ ( )是 上的严格增函数，
3 1 1
( ) =
3
=
+1 2
∴ { ，解得： = 1， = log 11． 3 1 5 3
( ) =
3
=
+1 6
1
18.【答案】解：(1)当0 < < 100时， ( ) = 20 2 5，
2
当 ≥ 100时， ( ) = 20 (21 + 2 380) 5 = 2 + 375，
1
20 2 5,0 < < 100
所以 ( ) = { 2 ；
2 + 375, 100
1 1
(2)当0 < < 100时， ( ) = 20 2 5 = ( 20)2 + 195，
2 2
则当 = 20时， ( )取得最大值，最大值为195，
当 ≥ 100时， ( ) = 2 + 375，且 ( )单调递减，
则当 = 100时， ( )取得最大值，最大值为271，
综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元．
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 2 ， ∈ ，
方程 (2 ) ( + 1) = 8，即为4 2 2 8 = 0，
可得2 = 4或2 = 2(舍去)，解得 = 2；
(2)函数 ( ) = ( ) + 4 = 2 + 4 ，
由 ∈ [0,1]，可得 = 2 ∈ [1,2]，
( ) = + 2，当 = 0时， ( ) = 在[1,2]递增，可得 ( )的最大值为2；
当 > 0时， ( )在[1,2]递增，可得 ( )的最大值为 (2) = 2 + 4 ；
1 1
当 < 0时， ≥ 2，即0 > ≥ 时， ( )在[1,2]递增，
2 4
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可得 ( )的最大值为 (2) = 2 + 4 ；
1 1
≤ 1，即 ≤ 时， ( )在[1,2]递减，可得 ( )的最大值为 (1) = 1 + ；
2 2
1 1 1 1 1
1 < < 2，即 < < ， ( )在(1, )递增，在( , 2)递减，
2 2 4 2 2
1 1
可得 ( )的最大值为 ( ) = ．
2 4
1
2 + 4 , ≥
41
综上，可得 ( ) = 1 + , ≤ ．
2
1 1 1
{ , < < 4 2 4
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