湖南省衡阳市第三中学2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

湖南省衡阳市第三中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知圆 ： 2 + 2 2 4 4 = 0， 为直线 ： + + 2 = 0上一点，过点 作圆 的两条切线，切点
分别为 和 ，当四边形 的面积最小时，直线 的方程为( )
A. 5 + 5 + 3 = 0 B. 5 5 + 3 = 0 C. 5 + 5 3 = 0 D. 5 5 3 = 0
2.如图，已知点 在正方体 ′ ′ ′ ′的对角线 ′上，∠ = 60°.设 ′ = ′ ，则 的值为( )
1 √ 2
A. B. C. √ 2 1 D. 3 2√ 2
2 2
2 2
3.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 ，过焦点 作圆
2 + 2 = 2的一条切线 交椭圆 的一个

交点为 ，切点为 ，且 + = 2 ( 为坐标原点)，则椭圆 的离心率为( )
√ 5 √ 3 √ 6 √ 3
A. B. C. D.
3 3 3 2
4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.设 是 ( ) = 2 + 1 =
0( > 0)的根，选取 0 = 1作为 的初始近似值，过点( 0, ( 0))做曲线 = ( )的切线 ， 与 轴的交点的横
坐标为 1，称 1是 的一次近似值；过点( 1, ( 1))做曲线 = ( )的切线，则该切线与 轴的交点的横坐标
为 2，称 2是 的二次近似值.则 2 =( )
2 11 13 17
A. B. C. D.
3 20 21 27
2 2
5.以双曲线 = 1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线 2 = 2 ( > 0)于 ， 两
4 9
点.已知| | = 4√ 2，则抛物线的焦点到准线的距离为( )
4 5 5
A. 或4 B. C. 或4 D. 4
3 3 3
6.数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1， = + ( 1)( ∈
)，设 = ( 1)
，则数列{ }的前51
项之和为( )
A. 149 B. 49 C. 49 D. 149
7.已知函数 ( )的定义域为 ，其导函数为 ′( )，且满足 ′( ) + ( ) = ， (0) = 0，则不等式( 2
1
1) ( ) < 的解集为( )

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1 1
A. ( 1, ) B. ( , ) C. ( 1,1) D. ( 1, )

8.设曲线 ： = √ 2 + 1，过点(√ 2, 0)的直线 与 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 =
√ 2
和 于点 ， ，若| | = | |，则 的斜率可以为( )
2
A. √ 3 2 B. √ 3 C. 2 D. 2 + √ 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数 ， 满足圆 的方程 2 + 2 2 = 0，则下列说法正确的是( )
A. 圆心( 1,0)，半径为1
B. 过点(2,0)作圆 的切线，则切线方程为 = 2

C. 的最大值是√ 3
+1
D. 2 + 2的最大值是4
10.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 2 = 4， 7 = 42，则下列说法正确的是( )
1 5
A. 25 = 4 B. = + 2 2
1 4
C. { }为递减数列 D. { }的前5项和为
+1 21
11.已知函数 ( ) = ，对于任意实数 ， ，下列结论成立的有( )
A. ( ) = 1
B. 函数 ( ) = 在定义域上单调递增
C. 曲线 ( ) = 在点(0,1)处的切线方程是 = 1
D. 若 = > 0，则 ( ) > ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }中， 4 7 = 512， 3 + 8 = 124，公比 ∈ ，则 10 = ______．
13.在正方体 1 1 1 1中，点 、 分别在 1 1、 1 1上，且 1 = 2 1， 1 = 2 1，则异面直
线 与 所成角的余弦值为______．
14.已知两定点 (4,0)， (1,0)，动点 满足 = 6| |，则动点 的轨迹方程为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆心为 ( 2, 1)的圆经过点(1,3)，直线 ： + + = 0．
(1)求圆 的方程；
(2)写出直线 恒过定点 的坐标，并求直线 被圆 所截得的弦长最短时 的值及最短弦长．
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16.(本小题12分)
如图，四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥平面 ， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = = 2， = 4，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + 2( 为实常数)．
(1)若 = 2，求证： ( )在(1,+∞)上是增函数；
(2)当 = 4时，求函数 ( )在[1, ]上的最大值与最小值及相应的 值；
(3)若存在 ∈ [1, ]，使得 ( ) ≤ ( + 2) 成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 4．
(1)求{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题12分)
已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为( 2√ 5, 0)，离心率√ 5．
(1)求双曲线 的方程；
(2)记双曲线 的右顶点为 ，过点 作直线 ， 与 的左支分别交于 ， 两点，且 ⊥ ， ⊥ ，
为垂足．
( )证明：直线 恒过定点 ，并求出点 坐标．
( )判断是否存在定点 ，使得| |为定值，若存在说明理由并求出 点坐标．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】512
4
13.【答案】
5
2 2
14.【答案】 + = 1
4 3
15.【答案】解：(1) ∵圆 的半径 = √ (1 + 2)2 + (3 + 1)2 = 5，
∴圆 的方程为( + 2)2 + ( + 1)2 = 25；
(2) ∵直线 的方程为 + + = 0，∴ + ( + 1) = 0，
= 0 = 0
令{ ，解得：{ ，∴定点 的坐标为(0, 1)，
+ 1 = 0 = 1
∵ (0 + 2)2 + ( 1 + 1)2 = 4 < 25，∴点 在圆 的内部，故直线 恒与圆 相交，
| 2 + | 2
又圆心 到直线 的距离 = = ≤ 2，
√ 1+ 2 √ 1+ 2
∴ 被圆 截得的弦长为2√ 2 2 = 2√ 25 2，
当 取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为2√ 21，此时 = 0．
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16.【答案】(1)证明：如图所示，连接 ，设 ∩ = ，连接 ，
因为四边形 为正方形，则 为 的中点，
因为 是 的中点，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)解：因为 ⊥平面 ，四边形 为正方形，
以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
因为 = = 2， = 4，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,0,4)，
(0,2,0)， (0,1,2)， (2,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
由 = (0,1,2), = (2,2,0)，
= + 2 = 0
则有{ ，取 = 1，可得 = (2, 2,1)，
= 2 + 2 = 0
又 = (1,0,0)为平面 的一个法向量，
2 2
则cos , = = = ，
| | | | 3×1 3
2
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
3
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17.【答案】解：(1)证明：由题可知函数的定义域(0,+∞)，
2 2 1
∵ = 2，∴ ( ) = 2 + 2，∴ ′( ) = + 2 = 2 ，

令 ′( ) > 0，解得 > 1，
∴ ( )在(1,+∞)上是增函数．
4 2 2
(2) ∵ = 4，∴ ( ) = 4 + 2，∴ ′( ) = + 2 = 2 ，

令 ′( ) > 0解得 > √ 2，令 ′( ) < 0解得0 < < √ 2，
∴ ( )在(0, √ 2)上单调递减，在(√ 2,+∞)上单调递增，
∴ ( )在[1, √ 2)上单调递减，在[√ 2, ]上单调递增，
∴当 = √ 2时，函数 ( )有最小值为 (√ 2) = 2 2 2，
∵ (1) = 1， ( ) = 2 4 > 1，
∴当 = 时，函数 ( )有最大值为 ( ) = 2 4．
(3)由 ( ) ≤ ( + 2) 得 + 2 ≤ ( + 2) ，即 ( ) ≤ 2 2，
∵ ∈ [1, ]，∴ ≥ 1， ≤ = 1，∴ ≥ ≥ ，
2 2
且当 = 1时 = 0，∴ > 在 ∈ [1, ]恒成立，∴ ≥ ，

2 2
即存在 ∈ [1, ]时， ≥ ，

2 2 ( 1)( +2 2 )
令 ( ) = ， ′( ) = ，
2( )
2 2
令 ( ) = + 2 2 , ′( ) = 1 = ，

2
令 ′( ) = > 0，解得2 < ≤ ，

2
令 ′( ) = < 0，解得1 ≤ < 2，

∴ ( )在[1,2)单调递减，(2, ]单调递增，
∴ ( ) ≥ (2) = 2(2 2) > 0，
( 1)( +2 2 )
∴ ∈ [1, ]时， ′( ) = 2 ≥ 0恒成立，
( )
∴ ( ) = (1) = 1，
∴实数 的取值范围是[ 1,+∞)．
18.【答案】解：(1) ∵ = 2 4，∴当 ≥ 2时， 1 = 2 1 4，
两式相减，得 1 = 2 4 (2 1 4)，整理得 = 2 1，
即 ≥ 2时， = 2 1，又当 = 1时， 1 = 1 = 2 1 4，解得 1 = 4，
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∴数列{ }是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴ = 4 × 2
1 = 2 +1．
(2)由(1)知 = 2 × 2
+1 4 = 2 +2 4，∴ = 2 +2 4 ，
+2 ( +1)令 = 2 , = 4 ，易知， 1 + 2 + + = 4 × = 2 ( + 1)， 2
设数列{ }的前 项和为 ，则 = 1 × 2
3 + 2 × 24 + 3 × 25 + + 2 +2①，2 = 1 × 2
4 + 2 × 25 +
3 × 26 + + 2 +3②，
由① ②，得 = 1 × 23 + 24 + 25 + 2
6 + + 2 +2 2 +3，
24(1 2 1)
即 = 23 + 2 +3 = 2 +3 2
+3 8，
1 2
24(1 2 1)
∴ = 2
3 + 2 +3 = ( 1) 2 +3 + 8，
1 2
∴ = 2 ( + 1) = ( 1) 2
+3 2 ( + 1) + 8．
19.【答案】解：(1)根据题意，坐标原点是双曲线 的中心，
离心率为√ 5，左焦点为( 2√ 5, 0)，
= 2√ 5

所以{ = = √ 5 ，所以 = 4， = 2，

2 = 2 2
2 2
因此双曲线方程为 = 1．
4 16
(2)证明：( )根据第一问知 (2,0)，当直线 斜率存在时，设直线 方程为 = + ，
= +
联立直线 和双曲线方程{ 2 2 ，化简得(4 2) 2 2 2 16 = 0，
= 1
4 16
根的判别式 = 4 2 2 + 4(4 2)( 2 + 16) > 0，所以4 2 2 < 16，
2
1 + 2 = 2
4
设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，根据韦达定理可得{ ，. 2+16
1 2 = 2
4

由于 ⊥ ，因此 1 2 = 1 2 2 ，所以 1 2 + ( 1 2)( 2 2) = 0， 1 2
所以 1 2 + 1 2 2( 1 + 2) + 4 = 0，
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所以( 1 + )( 2 + ) + 1 2 2( 1 + 2) + 4 = 0，
整理得( 2 + 1) 1 2 + ( 2)( 1 + 2) +
2 + 4 = 0，
2+16 2
所以( 2 + 1) 2 + ( 2)
2
2 + + 4 = 0，
4 4
所以3 2 4 20 2 = 0，
10
可得( + 2 )(3 10 ) = 0，所以 = 2 = ，
3
10 10
将 = 代入直线 = + = ( + )，
3 3
10
此时直线 过定点 ( , 0)，
3
当直线 的斜率不存在时，不妨设直线方程为 = ，
因为 ⊥ ，所以 为等腰直角三角形，
此时 点坐标为( , 2√ 2 4)，
10
所以2√ 2 4 = 2 3 2 + 4 20 = 0 = 2(舍)或 = ，
3
10
此时 过定点 ( , 0)；
3
将 = 2 代入直线 = + = ( 2)，
此时直线 过定点 (2,0)，不符合题意．
10
综上可知，直线 恒过定点 ( , 0)，
3
( )因为 ⊥ ，此时存在以 为斜边的直角三角形，
1 8 2
所以存在定点 为 中点满足| | = | | = ，此时 ( , 0)．
2 3 3
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