山东省淄博市第十一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

山东省淄博市第十一中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1}， = {1,2,5}，则 ∩ =( )
A. {1} B. { 1,0,1,5} C. { 1,0,1,2,5} D. { 1,0,2,5}
2.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的函数是( )
1 1 3
A. = 2 B. = C. = √
2 D. = √

3.若“ > ”是“ 2 2 3 < 0”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1) B. ( ∞, 1] C. ( 1,+∞) D. [ 1,+∞)
4.若正数 ， 满足 = 2，则3 9 的最小值为( )
A. 27 B. 81 C. 6 D. 9
5.若定义域为 的函数 ( )不是偶函数，则( )
A. ∈ ， ( ) ≠ ( ) B. ∈ ， ( ) = ( )
C. 0 ∈ ， ( 0) ≠ ( 0) D. 0 ∈ ， ( 0) = ( 0)
6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 0，经过一段时间 后的温度
1
是 ，则 = ( 0 )( ) ，其中 表示环境温度， 称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，2
放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 ，那么降温到32℃，需要的时长为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
7.已知函数 ( ) = 5 + 3 + 2，若 ( ) = 7，则 ( ) =( )
A. 7 B. 3 C. 3 D. 7
(1 2 ) + 2 , < 0
8.已知 ( ) = {1 是( ∞,+∞)上的增函数，那么 的取值范围是( ) ( + 1) , ≥ 0
2
1 1 1 1
A. (0, ) B. (0, ] C. ( , 1) D. ( , 1]
2 4 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面命题为假命题的是( )

A. 若 > > ， < 0，则 > 0

1
B. 函数 = 的单调减区间是( ∞,0) ∪ (0,+∞)

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1
C. = + 的最小值是2

D. = √ 2与 = (√ )2是同一函数
10.关于 的不等式 2 + + ≥ 0的解集为{ | ≤ 1或 ≥ 4}，下列说法正确的是( )
A. > 0
1
B. 不等式 2 + < 0的解集为{ | < < 1}
4
3
C. + 的最大值为 4

1 2
D. 关于 的不等式 2 + + < 0解集中仅有两个整数，则 的取值范围是( , ]
7 5
11.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( )，当 > 0时， ( ) > 0， (2) = 4，则( )
A. (4) = 8 B. ( )为奇函数
C. ( )为减函数 D. 当 < 2时， ( ) 2 > (2 + 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2, 0 ≤ ≤ 6
12.设函数 ( ) = { ，则 (10) = ______．
( 6), > 6
13.幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 在区间(0,+∞)上单调递增，则实数 的值为 ．
14.我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( +
) 为奇函数．
(1)请写出一个图象关于点( 2,0)成中心对称的函数解析式 ( ) = ______；
(2)利用题目中的推广结论，若函数 ( ) = 3 + 2 + + 2的图象关于点(1, 1)对称，则 + = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知合 = { | 1 < < 3}， = { | < 1或 ≥ + 1}．
(1)当 = 0时，求 ∩ ；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
已知 > 0， > 0， + 2 = 1．
4 1
(1)求 + 的最小值；

(2)求 2 + 6 + 4 2的最大值．
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17.(本小题12分)

若函数 ( ) = 1 为定义在 上的奇函数． 2 +1
(1)求实数 的值，并证明函数 ( )的单调性；
(2)若存在实数 ∈ [ 1,1]使得不等式 ( 4 ) + (1 2 +1) ≥ 0能成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + 3， ∈ ．
(1)解关于 的不等式 ( ) ≤ ；
(2)若 > 0，当 ∈ [3,+∞)时， ( )的最小值为1，求 的值．
19.(本小题12分)
( )
若函数 ( )在定义域的某区间 上单调递增，而 = 在区间 上单调递减，则称函数 = ( )在区间 上

是“弱增函数”．
(1)判断 ( ) = 2 和 ( ) = 3 + 1在(0,+∞)上是否为“弱增函数”(写出结论即可，无需证明)；
(2)若 ( ) = 2 + 3 在(0, ]上是“弱增函数”，求实数 的取值范围；
( + 2) , 0 < ≤ 1
1
(3)已知 ( ) = { 2 + (1 ) + , 1 < ≤ 2 ( 是常数且 ≠ 0)，若存在区间 使得函数 = ( )在区间
2
(2 ) + 3 3, > 2
上是“弱增函数”，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】0
13.【答案】3
1
14.【答案】 (答案不唯一) 4
+2
15.【答案】解：(1)当 = 0时，集合 = { | < 1或 ≥ + 1} = { | < 1或 ≥ 1}，
因为 = { | 1 < < 3}，所以 ∩ = { |1 ≤ < 3}．
(2)因为 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
而 = { | 1 < < 3}， = { | < 1或 ≥ + 1}，
所以 1 ≥ 3或 + 1 ≤ 1，故 ≥ 4或 ≤ 2，即实数 的取值范围为( ∞, 2] ∪ [4,+∞)．
4 1 4 +2 4 4
16.【答案】解：(1)因为 + 2 = 1，所以 + = + = + + 2 ≥ 2√ + 2 = 6，

1 1 4 1
当且仅当 = ， = 时取等号，所以 + 的最小值为6．
2 4
+2 1 5
(2)因为 + 2 = 1，所以 2 + 6 + 4 2 = ( + 2 )2 + 2 = 1 + 2 ≤ 1 + ( )2 = 1 + = ，
2 4 4
1 1
当且仅当 = 2 ，即 = ， = 时取等号，所以 2 + 6 + 4 2
5
的最大值为 ．
2 4 4

17.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 1 为定义在 上的奇函数， 2 +1

所以 (0) = 1 = 0，解得 = 2，
2
经检验 = 2符合题意，
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2
所以 ( ) = 1
2
，
+1
证明：任取 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，
2 2 2(2 1 2 2)
则 ( 1) ( 2) = 1 (1 ) = 2 1+1 2 2+1 (2 1+1)(2 2+1)
因为 1 < 2，所以0 < 2
1 < 2 2，
所以2 1 2 2 < 0，2 1 + 1 > 0，2 2 + 1 > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在 上单调递增．
(2)因为 ( 4 ) + (1 2 +1) ≥ 0， ( )在 上的奇函数，
所以 ( 4 ) ≥ (1 2 +1) = (2 +1 1)，
由(1)知函数 ( )在[ 1,1]上单调递增，
所以 ∈ [ 1,1]， 4 ≥ 2 +1 1成立，
1 1
即 ∈ [ 1,1]， ≥ 2 成立， 2 4
1 1
设 = ，则 ∈ [ , 2]， 2 2
1
所以 ∈ [ , 2]， ≥ 2 2 = ( 1)2 + 1，
2
2 1所以 ≥ [ ( 1) + 1] ， ∈ [ , 2]， 2
1
设 ( ) = ( 1)2 + 1， ∈ [ , 2]，
2
1
则 ( )在[ , 1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
2
1 3
又 ( ) = ， (2) = 0，
2 4
所以 ( ) = 0，
所以 的范围为{ | ≥ 0}．
18.【答案】解：已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + 3， ∈
(1)不等式 ( ) ≤ ，即 2 (3 + 1) + 3 ≤ 0，
当 = 0时， + 3 ≤ 0，解得 ≥ 3；
当 ≠ 0时，( 1)( 3) ≤ 0，
1 1
①若 < 0时，则 < 3，解得 ≥ 3或 ≤ ，

1 1 1
②若0 < < 时，则 > 3，解得3 ≤ ≤ ，
3
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1 1 1
③若 > 时，则 < 3，解得 ≤ ≤ 3，
3
1 1
④若 = 时，则 = 3，解得 = 3，
3
1
综上所述，当 < 0时，解集为{ | ≥ 3或 ≤ }；

当 = 0时，解集为{ | ≥ 3}；
1 1
当0 < < 时，解集为{ |3 ≤ ≤ }；
3
1
当 = 时，解集为{ | = 3}；
3
1 1
当 > 时，解集为{ | ≤ ≤ 3}．
3
2 +1
(2) ( ) = 2 (2 + 1) + 3， > 0，对称轴 = ，
2
2 +1 1
当 ≤ 3时，即 ≥ ，此时 ( )在[3,+∞)上单调递增，
2 4
1
所以 ( ) = (3) = 3 = 1，即 = ； 3
2 +1 1 2 +1 2 +1
当 > 3时，即0 < < ，此时 ( )在[3, )上单调递减，在( , +∞)单调递增，
2 4 2 2
2
2 +1 (2 +1) 1
所以 ( ) = ( ) = + 3 = 1，即 = (舍去)． 2 4 2
1
综上所述， = ．
3
19.【答案】解：(1)根据题意，对于 ( ) = 2 ，
( )
因为 = 2 在(0,+∞)上单调递增，

故 ( ) = 2 不是(0,+∞)上的“弱增函数”；
对于 ( ) = 3 + 1，在(0,+∞)上单调递增，
( ) 1
有 = 3 + 在(0,+∞)上单调递减，

故 ( ) = 3 + 1是(0,+∞]上的“弱增函数”；
(2)根据题意，若 ( ) = 2 + 3 在(0, ]上是“弱增函数”，
( )
则 = ( )在(0, ]上单调递增，且 = 在(0, ]上单调递减．

1° ( )的对称轴为 = 0，
∴ ( )在(0, ]上单调递增；
( ) 3
2° 令 ( ) = = + ，∵ > 0，∴ ( )为对勾函数，

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3
当 = 时， = √ 3 ，由对勾函数性质知： ( )在(0,√ 3 ]单调递减，

∴当 ≤ √ 3 时，即 ≤ 3时， ( )在(0, ]上单调递减；
∴ ( ) = 2 + 3 在(0, ]上为“弱增函数”时， 的取值范围是(0,3]．
(3)根据题意，若存在区间 使得函数 = ( )在区间 上是“弱增函数”，
( + 2) , 0 < ≤ 1 ( + 2),0 < ≤ 1 1
而 ( ) = { 2
1 ( )
+ (1 ) + , 1 < ≤ 2，则有 = + + 1 , 1 < ≤ 2
2 2
，
(2 ) + 3 3, > 2 3 3{2 + , > 2
分3种情况讨论：
( )
1° 当0 < ≤ 1时，分析可得： 在(0,1]为常数函数，故 ( )不是“弱增函数”；

2° 当1 < ≤ 2时，若 = ( )在区间 上为“弱增函数”，
1 ( ) 1
则 ( ) = 2 + (1 ) + 单调递增， = + + 1 单调递减．
2 2
( ) 1
令 ( ) = = + + 1 ，
2
1
当 ≤ 0时，分析可得： ( ) = + + 1 在(0,+∞)单调递增，故 ( )不可能为“弱增函数”；
2
1
当 > 0时， ( ) = + + 1 为对勾函数，在(0, √ )单调递减，在(√ ,+∞)单调递增． ( ) = 2 + (1
2
1 2
) + 的对称轴为 = ；
2 4
2 2
≤ 1 1 < < 2
∴ = ( )为“弱增函数”可得{ 4 或{ 4 ，
2
√ > 1 √ > 4
解可得：1 < ≤ 6或6 < < 10．
∴ 1 < < 10时， = ( )为“弱增函数”；
2 > 0
3° 当 > 2时，若 = ( )为“弱增函数”，则有{ ，解可得：1 < < 2；
3 3 > 0
综上可得， 的取值范围是(1,10)．
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