2024-2025学年天津市南仓中学高一（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年天津市南仓中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 4 分，共 36 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.设 ，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.命题“ ， ”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.设集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
5.若 是偶函数，且 ， 都有 ，若 ，则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知 ，且 ， ，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.函数 的图象是( )
A. B.
C. D.
8.若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为( )
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A. B. C. D.
9.定义在 上的函数 满足 ， 且 ，有 ，且
， ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
10.已知 ，则 的解析式为______．
11.若函数 ，则 ．
12.已知函数 ，当 在 上是减函数，则实数 的取值范围是______．
13.设 ， ，若 ，则实数 的值为______．
14.若函数 是 上的增函数，则实数 的取值范围为______．
15.若两个正实数 ， 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 本小题 分
设全集为 ，集合 ， ， ．
求 ， ；
；
若 ，求实数 的取值范围．
17. 本小题 分
解不等式： ；
解不等式： ；
求函数 的定义域．
18. 本小题 分
设函数 ．
若不等式 的解集为 ，求 ， 的值；
若 时， ， ， ，求 的最小值；
若 ，求不等式 的解集．
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19. 本小题 分
已知函数 ．
Ⅰ 用定义证明函数在区间 是增函数；
Ⅱ 求该函数在区间 上的最大值与最小值．
20. 本小题 分
已知 是定义域为 的奇函数，且 时， ．
求函数 的解析式；
作出函数 的图象，并写出函数 的单调区间及值域；
求不等式 的解集．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 或 或
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解： 全集为 ，集合 ， ， ．
所以 ， ．
或 ，所以 ．
因为集合 ， ，
，则 ，故 ，
所以实数 的取值范围 ．
17.【答案】解： 因为 ，即 ，
解得 ，
则不等式： 的解集为 ．
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，
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所以不等式 的解集为 ；
因为函数 ，
所以 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为： ．
18.【答案】解： 不等式 的解集为 ，
和 是方程 的两个根，且 ，
由韦达定理可得 ，
解得 ，
即 ， ．
时， ， ，即 ，
，
又 ， ， ，
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
的最小值 ．
当 时，不等式 即 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
当 时，不等式可化为 ，
或 ，
当 时，不等式化为 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
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综上所述，当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ；当 时，解集
为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为
19.【答案】 证明：任取 ， ，
，故 ， ，
，即 ，
函数 在区间 是增函数；
Ⅱ 由 知函数 在 上是增函数，
，
．
20.【答案】解： 当 时，则 ， ，
故 ．
函数 的图象如图所示．
由图可知，函数 的单调减区间为 ， ，其值域为 ．
当 ，即 时， 等价于 ，即 ，
，解得 ， ；
当 ，即 时， 等价于 ，
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即 ， ，
解得 ， ．
综上所述， 的解集为 ．
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