广东省广州市从化区第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

广东省广州市从化区第三中学 2024-2025 学年高二上学期期中考试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量 = ( , 1,3)， = (2, , 6)，若 // ，则( )
A. = = 1 B. = 1， = 2
C. = 1， = 2 D. = 1， = 2
1 1 1
2.已知 ( ) = , ( ) = , ( ) = ，则 ( ∪ ) =( )
4 6 12
5 1 1 1
A. B. C. D.
12 3 4 6
3.若直线 + 2 = 0经过两直线5 3 17 = 0和 5 = 0的交点，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.已知点 (3,1,4)，则点 关于 轴对称的点的坐标为( )
A. (3, 1, 4) B. (1, 3,4) C. ( 3, 1, 4) D. (4, 1,3)
5.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：
①两球都不是白球；
②两球中恰有一白球；
③两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
6.如图，在直三棱柱 1 1 1中，△ 是等边三角形， 1 = √ 2， = 2，
则点 到直线 1的距离为( )
√ 6
A.
3
√ 23
B.
3
√ 30
C.
3
√ 15
D.
3
7.如图，二面角 等于120°， 、 是棱 上两点， 、 分别在半
平面 、 内， ⊥ ， ⊥ ，且 = = = 2，则 的长等于( )
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A. 2√ 3 B. 2√ 2 C. 4 D. 2
8.在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散
射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双
1
耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为 ，投
3
1 1 1 1
中“贯耳”的概率为 ，投中“散射”的概率为 ，投中“双耳”的概率为 ，投中“依竿”的概率为 ，乙
6 9 12 36
的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙
投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为( )
85 5 1 83
A. B. C. D.
432 27 9 432
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 1
9.已知事件 ， 发生的概率分别为 ( ) = , ( ) = ，则下列说法正确的是( )
2 3
2
A. 若 与 互斥，则 ( + ) =
3
2
B. 若 与 相互独立，则 ( + ) =
3
1
C. 若 ( ) = ，则 与 相互独立
3
1
D. 若 发生时 一定发生，则 ( ) =
6
10.下列说法正确的是( )
A. “ = 1”是“直线 2 + 1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充要条件
B. “ = 2”是“直线 + 2 + 2 = 0与直线 + ( + 1) + 1 = 0互相平行”的充要条件
3
C. 直线 + +2 = 0的倾斜角 的取值范围是[0, ] ∪ [ , )
4 4
1
D. 若点 (1,0)， (0,2)，直线 过点 (2,1)且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是 ≤ ≤ 1
2
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11.如图，在正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥 1 1 的体积为定值

B. 异面直线 与 1 所成角的取值范围是[ , ] 4 2
√ 2
C. 平面 与平面 所成夹角的余弦值取值范围是[ , 1]
2
√ 6
D. 直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值的最大值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线( + 1) +2 = 0的倾斜角为135°，则 = ______．
13.已知平面 的一个法向量为 = (2,3,5)，点 ( 1, 3,0)是平面 上的一点，则点 ( 3, 4,1)到平面 的距
离为______．
14.甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手
1
答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为 ，乙队中3名选手答对题的概率分
2
2 1 1
别为 , , .在第一轮比赛中，甲队得 分，乙队得 分，则在这一轮中，满足0 < 2且 ≠ 0的概率为
3 3 4
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点 (2,1)， (0,3)， ( 1,2)．
(1)求直线 的倾斜角，并写出直线 的点斜式方程；
(2)求点 到直线 的距离．
16.(本小题12分)
从甲、乙、丙、丁4位同学中选取2位去参与项公益活动，试求下列事件的概率：
(1)甲被选中；
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(2)丁没被选中；
(3)甲、丁至少有1人被选中．
17.(本小题12分)
在长方体 1 1 1 1中， = 3， = 1 = 2，点 在 上，且 = 1．
(1)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值；
(2)求点 1到平面 1 的距离．
18.(本小题12分)

如图所示，平行六面体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2，∠ = , ∠ 1 = ∠ 2 1 = ． 3
(1)用向量 , , 表示向量 1 1，并求| 1 |；
(2)求cos 1 , ．
19.(本小题12分)
在△ 中，∠ = 90°， = 3， = 6， ， 分别是 ， 上的点，满足 // ，且 经过△ 的
重心.将△ 沿 折起到△ 1 的位置，使 1 ⊥ ，存在动点 使 1 = 1 ( > 0)如图所示．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
1
(2)当 = 时，求二面角 的正弦值；
2
(3)设直线 与平面 1 所成线面角为 ，求 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2
√ 38
13.【答案】
19
79
14.【答案】
288
15.【答案】解：(1)因为点 (2,1)， (0,3)， ( 1,2)，
3 1 2 3
所以 = = 1， = = 1， 0 2 1 0
所以直线 的倾斜角为135°，
直线 的点斜式方程为 3 = 0，或写成 2 = + 1(注：写一个即可)．
(2)由(1)可得直线 的一般式方程为 +3 = 0，
|2 1+3|
所以点 到直线 的距离 = = 2√ 2．
√ 12+12
16.【答案】解：基本事件总数为 24 = 6，
(1)甲被选中包含的基本事件数为 13 = 3，
3 1
∴甲被选中的概率为 = ；
6 2
(2)丁没被选中包含的基本事件数为 23 = 3，
3 1
∴丁没被选中的概率为 = ；
6 2
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(3)甲、丁至少有1人被选中包含的基本事件数为6 22 = 6 1 = 5，
5
∴甲、丁至少有1人被选中的概率为 ．
6
17.【答案】解：(1)以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示空间直角坐
标系，
则 1(2,0,2)， (2,1,0)， (2,3,0)， 1(0,3,2)， (0,3,0)， 1(2,3,2)，
可得 1 = (0,1, 2)， 1 = ( 2,0,2)， = ( 2,2,0)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则{ 1 ，
= 2 + 2 = 0
令 = 1，则 = = 2，可得 = (2,2,1)，
| | | 4+2| √ 2
可得|cos < ， 1 > | =
1
| ||
= = ，
1| 3×2√ 2 6
√ 2
所以直线 1与平面 1 所成角的正弦值为 ； 6
(2)由(1)可得： 1 = (0,2,2)，
| 1 | 6所以 1到平面 1 的距离为 = = 2.. | | 3
18.【答案】解：(1) 1 = 1 = + 1 ，

因为 = = 1， 1 = 2，∠ = ,∠ = ∠ = ， 2 1 1 3
所以 = 0， 1 = 1

= 1× 2× cos = 1，
3
2 2 2
所以| 1 |
2 = ( + )2 = + + + 2 2 2 2 21 1 1 1 = 1 + 2 +
12 + 2 × 1 2 × 0 2× 1 = 6，
所以| 1 | = √ 6．
(2)由(1)知， 1 = + 1 ，| 1 | = √ 6，
而 = + ，| | = √ 2，
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2 2
所以 1 = ( + 1 ) ( + ) = + + 1 + 1 =
0 + 12 +1 + 1 12 0 = 2，
1 2 √ 3所以cos 1 , = |
= = ．
1| |
| √ 6×√ 2 3
19.【答案】(1)证明：翻折前，由∠ = 90°， // ，知 ⊥ ， ⊥ ，
翻折后， ⊥ ， ⊥ 1 ，
因为 ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
因为 1 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)解：因为 经过△ 的重心，且 = 3， = 6，
所以 = 2， = 2， = 4，
由(1)知 1 ⊥平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
所以 1 = √ 21 2 = √ 2 2 = 2√ 3，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,3,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， 1(0,0,2√ 3)，
1
当 = 时，点 是 1 的中点，所以 (1,0,√ 3)， 2
所以 = (0,3,0)， = (1, 3,√ 3)， = (2, 1,0)，
= 3 +√ 3 = 0
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，则{
1 1 1 1
1 1 1 ，
1 = 3 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = √ 3， 1 = 0，所以 1 = ( √ 3, 0,1)，
= 3 + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 2 2 2 22 = ( 2, 2 , 2)，则{ ，
2 = 2 2 2 = 0
令 2 = √ 3，则 2 = 2√ 3， 1 = 5，所以 2 = (√ 3, 2√ 3, 5)，
设二面角 的夹角为 ，
| | 3+5 √ 10
则| | = |cos < 1 ， > | =
1 2
2 = = ， | 1 | | 2 | 2×2√ 10 20
所以 √ 10 √ 390 = √ 1 | |2 = √ 1 ( )2 = ，
20 20
故二面角 的正弦值为√ 390．
20
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(3)解：由(2)知， 1 = (2,0, 2√ 3)， = (2, 1,0)， 1 = (0,3, 2√ 3)，
所以 1 = 1 = (2 , 0, 2√ 3 )，
所以 = 1 + 1 = (0, 3,2√ 3) + (2 , 0, 2√ 3 ) = (2 , 3,2√ 3 2√ 3 )，

设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则{
= 2 = 0
，
1 = 3 2√ 3 = 0
令 = 1，则 = 2， = √ 3，所以 = (1,2, √ 3)，
| | |2 6+6 6 | √ 2 √ 2
> | = = = =
所以 = |cos < ， | | | | √ 2 2 4 +9+(2√ 3 2√ 3 ) ×2√ 2 √ 2 16 24 +21 21 24 ， √ 2 +16

1 4 7 √ 14
当 = ，即 = 时， 取得最大值 ．
7 4 8
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