广东省肇庆市端州中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省肇庆市端州中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 2 + 2 ≤ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 2 + 2 ≥ 0 B. ∈ ， 2 2 + 2 > 0
C. ∈ ， 2 2 + 2 ≤ 0 D. ∈ ， 2 2 + 2 > 0
2 1
2.函数 = √ + 4 + 的定义域是( )
1
A. [ 4, +∞) B. ( 4, +∞)
C. [ 4,0) ∪ (0, +∞) D. [ 4,1) ∪ (1, +∞)
3.若集合 = { ∈ |√ ≤ 2}， = { | 2 ≤ ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. { |0 ≤ ≤ 3} B. { | 2 ≤ ≤ 4}
C. {0,1,2,3} D. { 2, 1,0,1,2,3,4}
1+ 2
4.函数 ( ) = 2的图象大致为( ) 1
A. B. C. D.
1 4
5.已知 > 0， > 0， + = 2，则 = + 的最小值是 ( )

7 9
A. B. 4 C. D. 5
2 2
6.使得“| 3| < 2”成立的一个充分不必要条件是( )
A. 0 < ≤ 4 B. 0 < ≤ 6 C. 1 < < 4 D. ≥ 1
7.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且在(0, +∞)上单调递减， ( 2) = 0，则不等式 ( ) > 0的解集
为( )
A. ( ∞, 2) ∪ (0,2) B. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
C. ( 2,0) ∪ (0,2) D. ( 2,0) ∪ (2, +∞)
, ≥
8.已知 { , } = { ， ( ) = { 2 4 2, + 2}，则函数 ( )的最小值是( )
, <
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题不正确的是( )
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A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 > ，则 >
C. 若 > ，则 > D. 若 > ，则 >
10.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有( )
3 2 1
A. ( ) = 与 ( ) = √ 3 B. ( ) = + 1与 ( ) =
1
| | 1, > 0
C. ( ) = 与 ( ) = { D. ( ) = | 1|与 ( ) = | 1|
1, < 0
11.已知[ ]表示不超过 的最大整数，例如：[2.1] = 2，[ 3.5] = 4，[0] = 0， = { | = [ ], 1.1 < ≤ 3.2}，
= { | 10 ≤ ≤ }，下列说法正确的是( )
A. 集合 = { 1,0,1,2,3}
B. 集合 的非空真子集的个数是62个
C. 若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，则 ≥ 3
D. 若 ∩ = ，则 < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3 2 5( < 0)
12.已知 ( ) = { ，则 (10) = ______．
( 3)( ≥ 0)
13.若命题“ ∈ ，使得 2 + 2 + 1 < 0”是假命题，则实数 的取值范围是 ．
14.函数 ( )同时满足：
①对于定义域上的任意 ，恒有 ( ) + ( ) = 0；②对于定义域上的任意 1， 2，当 1 ≠ 2时，恒有
( 1) ( 2) 1< 0，则称函数 ( )为“理想函数”.则下列三个函数：(1) ( ) = ，(2) ( ) = 2，(3) ( ) =
1 2
2, ≥ 0
{ 2 ，其中称为“理想函数”的有______. (填序号) , < 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知定义在 上的函数 ( )是奇函数，且当 > 0时， ( ) = 2 3，
(1)求函数 ( )的表达式；
(2)求方程 ( ) = 的解集．
16.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 < < 4}， = { | < 0}．
(1)若 = 3，全集 = ∪ ，试求 ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值集合；
(3)若 ∩ = ，求实数 的取值集合．
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17.(本小题12分)
+ 1 2
函数 ( ) = 2 是定义在( ∞, +∞)上的奇函数，且 ( ) = ． +1 2 5
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在区间( 1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论．
18.(本小题12分)
某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本2万元，每生产 万件该产品，需另投入流动成本 ( )万元，
1
2 + , 0 < < 9
且 ( ) = {3 ，每件产品的售价为4.75元，且该企业生产的产品当月能全部售完．
81
5 + 18, ≥ 9

(1)写出月利润 ( )(单位：万元)关于月产量 (单位：万件)的函数关系式；
(2)试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题12分)
已知函数 ( )和 ( )，定义集合 ( ) ( ) = { | ( ) < ( )}．
(1)设 ( ) = 2 + 2 + 3， ( ) = + 2，求 ( ) ( )；
(2)设 ( ) = 2 + 2 4， ( ) = 2 ( + 2)，当 ( ) ( ) = 时，求 的取值范围；
+4
(3)设 ( ) = |2 |， ( ) = ， ( ) = 2，若
1 ( ) ( )
∩ ( ) ( ) ≠ ，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】7
13.【答案】[ 1,1]
14.【答案】(3)
15.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( )是奇函数，则 (0) = 0，
当 < 0时， > 0，则 ( ) = ( ) = ( 2 + 3) = 2 + 3，
2 3, > 0
∴ ( ) = {0, = 0 ，
2 + 3, < 0
(2)由(1)得：
当 > 0时，∵ ( ) = ，∴ 2 3 = ，∴ = 3(舍负)，
当 = 0时， ( ) = 成立；
当 < 0时，∵ ( ) = ，∴ 2 + 3 = ，∴ = 3(舍正)，
综上，方程 ( ) = 的解集为{ 3,0,3}．
16.【答案】解：(1) = 3时， = { | 2 < < 4}， = { | 3 < 0} = { | < 3}．
∵全集 = ∪ = { | < 4}，
∴ ∩ = { | 2 < < 4} ∩ { |3 ≤ < 4} = { |3 ≤ < 4}；
(2) ∵集合 = { | 2 < < 4}， = { | < }， ∩ = ，
∴ ≤ 2，∴实数 的取值集合为{ | ≤ 2}；
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(3) ∵集合 = { | 2 < < 4}， = { | < }， ∩ = ，
∴ ≥ 4，∴实数 的取值集合为{ | ≥ 4}．
17.【答案】解：(1) ∵ ( )是奇函数，∴ ( ) = ( )．
+ +
即 2 = 2 ， + = ，∴ = 0． +1 +1
1
1 2 2
∴ ( ) = 2 ，又 ( ) = ，∴
2
1 = ，∴ = 1， +1 2 5 +1 5
4

∴ ( ) = 2 ． +1
(2)任取 1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
( )(1 )
( 1) ( 2) =
1
2
2 = 1 2 1 2 ，
1+1
2
2+1 (
2
1+1)(
2
2+1)
∵ 1 < 1 < 2 < 1，∴ 1 < 1 2 < 1，
∴ 1 1 2 > 0，又 1 2 < 0，
2
1 + 1 > 0，
2
2 + 1 > 0，
∴ ( 1) ( 2) < 0， ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在区间( 1,1)上是增函数．
18.【答案】解：(1)因为每件产品的售价为4.75元，所以 万件产品的销售收入为4.75 万元，
1 2
2 15
当0 < < 9时， ( ) = 4.75 ( + ) 2 = + 2；
3 3 4
81 81
当 ≥ 9时， ( ) = 4.75 (5 + 18) 2 = 16 ( + )，
4
2 15
+ 2,0 < < 9
所以 ( ) = { 3 4 ;
81
16 ( + ), ≥ 9
4
1 45 547
(2)当0 < < 9时， ( ) = ( )2 + ，
3 8 64
45 547
此时，当 = 时， ( )取得最大值 (万元)，
8 64
81 81
当 ≥ 9时， ( ) = 16 ( + ) ≤ 16 2√ = 7，
4 4
81
此时，当且仅当 = ，即 = 18时， ( )取得最大值7(万元)，
4
547 45 547
因为 > 7，所以当月产量为 万件时，企业所获月利润最大，最大利润为 万元．
64 8 64
19.【答案】解：(1)已知 ( ) = 2 + 2 + 3， ( ) = + 2，
由 ( ) < ( )即 2 + 2 + 3 < + 2，
3 √ 5 3+√ 5
解得 < < ，
2 2
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3 √ 5 3+√ 5
则 ( ) ( ) = ( , )； 2 2
(2)已知 ( ) = 2 + 2 4， ( ) = 2 ( + 2)，
由题意得， ( ) < ( )对任意 ∈ 恒成立，
2 + 2 4 2 ( + 2) < 0，即( 2) 2 + 2( 2) 4 < 0恒成立，
当 = 2时， 4 < 0恒成立；
2 < 0
当 ≠ 2时，由{
4( 2)2
，
+ 16( 2) < 0
解得 2 < < 2；
综上，当 ( ) ( ) = 时， 的取值范围为( 2,2]；
+4
(3)已知 ( ) = |2 |, ( ) = , ( ) = 2，
1
( ) < 2
由 ( ) ( ) ∩ ( ) ( ) ≠ 得，不等式组{ 有解， ( ) < 2

由 ( ) < 2 2 < 2 < 2 1 < < + 1，
2 2
+4 +4 2( 1) (4 +2)
又 ( ) < 2 < 2 < 0 > 0，
1 1 1
1
当4 + 2 = 1，即 = 时，1 > 0对任意 ∈ ( ∞, 1) ∪ (1, +∞)恒成立，
4
则满足 ( ) ( ) ∩ ( ) ( ) ≠ ；
1
当4 + 2 < 1，即 < 时， ( ) < 2 < 4 + 2，或 > 1，
4

要使 ( ) ( ) ∩ ( ) ( ) ≠ ，则 1 < 4 + 2，或 + 1 > 1， 2 2
6 6 1
解得 > ，则有 < < ；
7 7 4
1
当4 + 2 > 1，即 > 时， ( ) < 2 < 1，或 > 4 + 2，
4

要使 ( ) ( ) ∩ ( ) ( ) ≠ ，则 1 < 1，或 + 1 > 4 + 2， 2 2
1
解得 < 4，则有 < < 4；
4
6
综上所述， 的取值范围是( , 4)．
7
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