《轴对称与等腰三角形》精选压轴题—广东省（人教版）八（上）期末复习
一、单选题
1．（2023八上·新兴期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F.若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．9.5 C．12.5 D．16
2．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2024八上·斗门期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·香洲期末）如图，在等边三角形中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延长线于点D，作垂足为G，如，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·化州期末）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
7．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
二、填空题
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.4等腰三角形的判定定理 同步训练）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
9．（2024八上·石碣期末）如图，把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，A，D，B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°；②∠BNE＝∠BMC；③∠EBN＝65°；④AM=BM.其中正确结论的序号是 .
10．（2024八上·博罗期末） 如图，在△ABC中，，，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于M和N点，作直线交于点D，交于点E，若，则等于 ．
11．（2024八上·惠州期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若，则的长为 ．
12．（2023八上·潮南期末）如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值 ．
13．（2020八上·扎兰屯期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
14．（2024八上·花都期末）如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为 ．
15．（2020八上·花都期末）如图，已知 ，AB=BC，点D是射线AE上的一动点，当BD+CD最短时， 的度数是 ．
16．（2024八上·香洲期末）如图，已知平分，P是OD上一定点，以点P为顶点作，将绕点P旋转，PM与OA交于点E，PN与OB交于F，连接EF交OP于点G（点G在O，P之间），以下4个结论：①是等腰三角形；②当时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有 ．
三、解答题
17．（2023八上·潮南期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：
（1）如图1，爬行过程中，和的数量关系是 ；
（2）如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：；
（3）如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：．
18．（2024八上·东莞期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求△ABE的面积．
19．（2023八上·瓯海月考）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
20．（2024八上·花都期末）在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使．
（1）如图1，当点D是的中点时，求证：；
（2）如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由．
（3）若等边的边长为4，当时，求的长．
21．（2023八上·临邑开学考）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
22．（2024八上·斗门期末）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值.
解：，，
，.
，
.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中．
①如图1，若，的面积为，和的面积之和为26，求线段的长；
②如图2，若与在同一直线上，连接，延长与交于点，连接并延长与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图：连接交于点M，
∵等腰的底边长为3，点D为边的中点，
∴，
∵是腰的垂直平分线，连接，
∴，
此时的周长为：，
即：A、D、M三点共线时，的周长最小，
∵，
即：，
解得：，
∴，即 周长的最小值为9.5
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，
结合最短路线问题可得A、D、M三点共线时，的周长最小，根据三角形的面积可求出，进而可求得答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作法知AC=AD，所以△ACD是等腰三角形，故此选项不符合题意；
B、虚线是AB的垂直平分线，所以AD=BD，所以△ABD是等腰三角形，故此选项不符合题意；
C、实线是BC的垂直平分线，得不到等腰三角形，故此选项符合题意；
D、AD是角平分线，所以∠DAB=∠DBA=30°，所以AD=BD，所以△ADD是等腰三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】结合尺规作图截取线段相等，垂直平分线，角平分线分析判断是否有等腰三角形.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∴∠FEM＝∠D，∠FME＝∠FCD，∠AEM＝∠B，∠AME＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠AEM＝AME＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM，
∵AE＝CD，
∴EM＝CD，
在△MEF和△CDF中，
∴△MEF≌△CDF（ASA），
∴FM＝FC=CM，
∵△ABC等边三角形，
∴AC＝AB＝a，
∵AE＝EM，EG⊥AC，
∴GM＝AG=AM，
∴GF＝GM＋FM=AM+CM=AM＋CM）=AC=a，
故答案为：C.
【分析】过点E作EM∥BC，交AC于点M，先利用“ASA”证出△MEF≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得FM＝FC=CM，再利用等边三角形的性质可得AC＝AB＝a，最后利用线段的和差及等量代换求出GF＝GM＋FM=AM+CM=AM＋CM）=AC=a即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE＋DE＝AE＋BE，
∴BE＝9 AE，
根据勾股定理可知AB2＋AE2＝BE2，
∴32＋AE2＝（9 AE）2，
解得：AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质可得BE＝ED，再利用线段的和差求出BE＝9 AE，利用勾股定理可得32＋AE2＝（9 AE）2，求出AE的长，最后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积即可.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
8．【答案】（1），（3），（4）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A=36°，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∠ABD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD=BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（ 2 ）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）
【分析】由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，故∠A=36°=∠ABD，由三角形的内角和及外角定理得出∠C=∠BDC=∠ABC=72°，根据等角对等边得出BC=BD=AD；再根据角的和差得出∠DBC=36°=∠ABD，故BD平分∠ABC；根据三角形周长的计算方法，及等量代换得出△BCD的周长为BC+BD+CD=AB+BC；即可一一判断得出答案。
9．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
为的角平分线，为的角平分线．
，，
，故①正确、 ③ 错误；
，
，
，故②正确；
，
．故④正确，
正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④．
【分析】根据三角板各角的度数和角平分线的性质，，，故①正确、 ③ 错误；结合三角形内角和定理可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得④正确，即可得解.
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，
设，则，
根据勾股定理得：，即：
解得：（负值舍去），即，
由作图方法可知垂直平分，
∴
在
，
即：(
解得：.
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出AC，由线段的垂直平分线的性质可得 ，再根据利用勾股定理求出BE即可.
11．【答案】2
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=1，
∴BD=2CD=2，
∴AD=2．
故答案为：2.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两点的距离相等可得AD=BD，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDC=60°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半即可求解.
12．【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是AB边的中点，
∴CD⊥AB，
∴S△ABC=AB×CD=×4×CD＝12，
解得CD=6，
∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴点C关于直线MN的对称点为点B，
∴CD的长为BP+PD的最小值，
∴△PBD的周长最短=(BP+PD)+BD＝CD+AB＝6+×4＝8．
故答案为：8.
【分析】连接CD，由于△ABC是等腰三角形，点D是AB边的中点，可得出CD⊥AB，再由S△ABC=12，即可得出CD=6，由MN是线段BC的垂直平分线，可知点C关于直线MN的对称点为点B，故CD的长为BP+PD的最小值，即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值是 ．
故答案为 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长，即可得解。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示：分别作点关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N．
则，，，
根据轴对称的性质，可得，，
则的周长最小为点C、M、N和D四点共线，最小值为，
∴，
在等腰中，，
则，
故答案为：．
【分析】考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，通过作点关于直线的对称点，将三角形的周长转化为两点间的线段长度来求解最小值，再利用等腰三角形得到.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作CO⊥AE于点O，并延长CO，使 ，则AE是 的垂直平分线，此时BD+CD最短
∴ 是等边三角形
∵AB=BC
故答案为：90°．
【分析】作CO⊥AE于点O，并延长CO，使 ，通过含30°直角三角形的性质可知 是等边三角形，又因为AB=BC，根据等腰三角形三线合一即可得出 ，则答案可求．
16．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，如图所示，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PQ⊥OB，
∴PH＝PQ，∠PHO＝∠PQO＝90°，
∵∠HOQ＝60°，
∴∠HPQ＝180° 60°＝120°，
∵∠EPF＝120°，
∴∠HPE＝∠QPF，
在△PHE和△PQF中，
∴△PHE≌△PQF（ASA），
∴PE＝PF，
∴△EPF是等腰三角形，
∴①正确；
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
当PM⊥OA时，
∴∠PEO＝90°，
∴∠FEO＝∠PEO ∠PEF＝90° 30°＝60°，
∵∠EOF＝60°，
∴此时△OEF是等边三角形，
∴②正确；
当EF⊥OA时，
∴∠FEO＝90°，
∴∠EOP＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∵∠PEG＝30°，
∴∠EPG＝30°，
∵∠EOP＝∠EPG，
∴OE＝PE，
∵PE＝PF，
∴OE＝PF，
在△EOG和△PFG中，
∴△EOG≌△PFG（AAS），
∴③正确；
∵△PHE≌△PQF，
∴S△PHE＝S△PQF，
∴S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，
∵S四边形OHPQ＝2S△OPH＝2××OH×PH=PH×PH=×OP×OP=OP2，且OP为定值，
∴S四边形OHPQ为定值，
∴S四边形OEPF为定值，
∴④错误．
综上，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
【分析】过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，先利用“ASA”证明△PHE≌△PQF，再利用全等三角形的性质可得PE＝PF，可判断出①正确；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠PEF＝∠PFE＝30°，当PM⊥OA时，则∠FEO＝60°，结合∠EOF＝60°，证出△OEF是等边三角形，从而可判断出②正确；当EF⊥OA时，则∠OGE＝60°，利用三角形外角性质求出∠EPG＝30°，证出OE＝PE，再证出△EOG≌△PFG，从而可判断出③正确；利用△PHE≌△PQF，可得S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，再利用S四边形OHPQ＝2S△OPH＝OP2，从而得到S四边形OEPF为定值，从而可对④进行判断．
17．【答案】（1）
（2）解：证明如下：由（1）可知，
，
，，
（3）证明：过点作交于，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
∵为等边三角形，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）由题意得：根据等边三角形的性质得到：即可利用"SAS"证明进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得到：，然后根据三角形外角的性质得到，进而即可求解；
（3）过点作交于，根据题意结合等边三角形的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，进而即可求解.
18．【答案】（1）解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠AEC，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠AEC＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形
（2）解：AB＝2AC，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B＝90°，
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠B＝30°，
∴AB＝2AC
（3）解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝30°，CF＝CE＝2，
∴AE＝2CE＝4，
ACCE＝2，
∵AE＝BE＝4，
∴△ABE的面积BE AC
4×2
＝4，
∴△ABE的面积为4．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和，可得出∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AFD=90°，再根据AE平分∠CAB，可得出∠AFD＝∠AEC，从而得出∠AEC＝∠CFE，CE=CD，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，由于AE平分∠CAB，得到∠CAE=∠BAE，根据三角形的内角和可得出答案．
（3） △ABE的面积 =×底 BE×高AC，通过解含30°的直角三角形可得出相应线段的长度.
19．【答案】（1）cm
（2）解：当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后，为等腰三角形；
（3）11或12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵ AP=t ，∴ BP=AB-AP=16-t；
故答案为：（16-t）cm.
（3）第一种情况：以BC为底边的等腰三角形，即CQ=BQ，如图，
∵ CQ=BQ，∴ ∠C=∠CBQ，
∵ ∠C+∠A=90°，∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴ ∠A=∠ABQ，∴ BQ=AQ，
∴ CQ=BQ=AQ=10，
∴ t=（BC+CQ）÷2=22÷2=11；
第二种情况：以BQ为底边的等腰三角形，即CQ=BC，如图，
∵ CQ=BC，∴ t=（BC+CQ）÷2=12，
综上，出发11或12秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形；
故答案为：11或12.
【分析】（1）根据路程=速度×时间，可得AP=t，再根据BP=AB-AP即可求得；
（2）根据等腰三角形的性质可得QB=BP建立等量关系列出2t=16-t，即可求得；
（3）分两种情况：以BC为底边的等腰三角形或以BQ为底边的等腰三角形，利用等腰三角形的性质和判定，即可求得.
20．【答案】（1）解：∵D是等边三角形边的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴
∴
∵且
∴
∴
又
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）解：全等，证明如下：
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵且
∴
∴
又
∵
∴
在和中，
，
∴；
（3）解：由（2）知，且
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质知识点；
（1）利用等边三角形三线合一的性质得出，再通过垂直平分线的性质得到，进而通过根据三角形外角性质得出，再结合等腰三角形的判定得出结论；
（2）已知△ABC 是等边三角形，再结合可得， 由于∠ACB = 60°，所以∠AFD =，又因为 AH = HE 且，所以，进而得到，由此可推出，；在 和 中，根据角边角（ASA）得出；
（3）根据（2）的结论，DF = BD = a，且，所以 AE = AC + CE = 4 + a．
21．【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角的性质及全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质，四边形内角和定理分，，时，根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）5
（2）解：①和是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
．
②和是等腰直角三角形，，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： （1） 9-4=5，
故答案为：5；
【分析】（1） 利用完全平方公式的结构进行变形，通过已知条件整体代入求值；
（2）①将面积通过面积公式转化为边长之间的关系，和第一问类似利用完全平方公式的结构进行变形，通过已知关系代入求值；
②利用手拉手全等得到边长相等，通过等量代换和将面积转化为要求边长之间的关系，再利用完全平方公式变形，代入求值.
1 / 1《轴对称与等腰三角形》精选压轴题—广东省（人教版）八（上）期末复习
一、单选题
1．（2023八上·新兴期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F.若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（ ）
A．4 B．9.5 C．12.5 D．16
【答案】B
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图：连接交于点M，
∵等腰的底边长为3，点D为边的中点，
∴，
∵是腰的垂直平分线，连接，
∴，
此时的周长为：，
即：A、D、M三点共线时，的周长最小，
∵，
即：，
解得：，
∴，即 周长的最小值为9.5
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，
结合最短路线问题可得A、D、M三点共线时，的周长最小，根据三角形的面积可求出，进而可求得答案.
2．（2021八上·攀枝花期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，
必须使点P与点C关于AB对称或关于AB的垂直平分线对称，据此可得点P1、P4满足要求，进而再根据轴对称性可知点P3也满足要求，
所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，
故答案为：C．
【分析】要使△ABP与△ABC全等，由于AB为公共边，根据轴对称的性质即可一一判断得出答案.
3．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
4．（2024八上·斗门期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由作法知AC=AD，所以△ACD是等腰三角形，故此选项不符合题意；
B、虚线是AB的垂直平分线，所以AD=BD，所以△ABD是等腰三角形，故此选项不符合题意；
C、实线是BC的垂直平分线，得不到等腰三角形，故此选项符合题意；
D、AD是角平分线，所以∠DAB=∠DBA=30°，所以AD=BD，所以△ADD是等腰三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】结合尺规作图截取线段相等，垂直平分线，角平分线分析判断是否有等腰三角形.
5．（2024八上·香洲期末）如图，在等边三角形中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F，交BC延长线于点D，作垂足为G，如，则GF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∴∠FEM＝∠D，∠FME＝∠FCD，∠AEM＝∠B，∠AME＝∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠AEM＝AME＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM，
∵AE＝CD，
∴EM＝CD，
在△MEF和△CDF中，
∴△MEF≌△CDF（ASA），
∴FM＝FC=CM，
∵△ABC等边三角形，
∴AC＝AB＝a，
∵AE＝EM，EG⊥AC，
∴GM＝AG=AM，
∴GF＝GM＋FM=AM+CM=AM＋CM）=AC=a，
故答案为：C.
【分析】过点E作EM∥BC，交AC于点M，先利用“ASA”证出△MEF≌△CDF，再利用全等三角形的性质可得FM＝FC=CM，再利用等边三角形的性质可得AC＝AB＝a，最后利用线段的和差及等量代换求出GF＝GM＋FM=AM+CM=AM＋CM）=AC=a即可.
6．（2024八上·化州期末）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE＋DE＝AE＋BE，
∴BE＝9 AE，
根据勾股定理可知AB2＋AE2＝BE2，
∴32＋AE2＝（9 AE）2，
解得：AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故答案为：C．
【分析】先利用折叠的性质可得BE＝ED，再利用线段的和差求出BE＝9 AE，利用勾股定理可得32＋AE2＝（9 AE）2，求出AE的长，最后利用三角形的面积公式求出△ABE的面积即可.
7．（2021八上·长沙期末）如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴ ，
∵ ， ，
，
作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
∴PE+QE 的最小值为10.
故答案为：C.
【分析】作点Q关于BD的对称点Q' ，连接PQ'交BD于E，连接QE ，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ' ，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.
二、填空题
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册2.4等腰三角形的判定定理 同步训练）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是 ．
【答案】（1），（3），（4）
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC为等腰三角形，DE是AB边的中垂线，所以（1）正确；
∵∠A=36°，
∴∠C=∠BDC=∠ABC=72°，∠ABD=∠A=36°，
∴BC=BD=AD，（3）正确；
△BCD的周长为BC+BD+CD，∵AD=BD，
∴△BCD的周长为AB+BC，（4）正确；
（ 2 ）中点D无法判断其是AC的中点，（2）错误
所以正确的结论为（1），（3），（4）．
故填（1），（3），（4）
【分析】由中垂线上的点到线段两个端点的距离相等得出AD=BD，故∠A=36°=∠ABD，由三角形的内角和及外角定理得出∠C=∠BDC=∠ABC=72°，根据等角对等边得出BC=BD=AD；再根据角的和差得出∠DBC=36°=∠ABD，故BD平分∠ABC；根据三角形周长的计算方法，及等量代换得出△BCD的周长为BC+BD+CD=AB+BC；即可一一判断得出答案。
9．（2024八上·石碣期末）如图，把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，A，D，B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°；②∠BNE＝∠BMC；③∠EBN＝65°；④AM=BM.其中正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得，
为的角平分线，为的角平分线．
，，
，故①正确、 ③ 错误；
，
，
，故②正确；
，
．故④正确，
正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④．
【分析】根据三角板各角的度数和角平分线的性质，，，故①正确、 ③ 错误；结合三角形内角和定理可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得④正确，即可得解.
10．（2024八上·博罗期末） 如图，在△ABC中，，，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于M和N点，作直线交于点D，交于点E，若，则等于 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，
设，则，
根据勾股定理得：，即：
解得：（负值舍去），即，
由作图方法可知垂直平分，
∴
在
，
即：(
解得：.
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理求出AC，由线段的垂直平分线的性质可得 ，再根据利用勾股定理求出BE即可.
11．（2024八上·惠州期末）如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=30°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°，
∵∠C=90°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=1，
∴BD=2CD=2，
∴AD=2．
故答案为：2.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两点的距离相等可得AD=BD，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDC=60°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半即可求解.
12．（2023八上·潮南期末）如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值 ．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是AB边的中点，
∴CD⊥AB，
∴S△ABC=AB×CD=×4×CD＝12，
解得CD=6，
∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴点C关于直线MN的对称点为点B，
∴CD的长为BP+PD的最小值，
∴△PBD的周长最短=(BP+PD)+BD＝CD+AB＝6+×4＝8．
故答案为：8.
【分析】连接CD，由于△ABC是等腰三角形，点D是AB边的中点，可得出CD⊥AB，再由S△ABC=12，即可得出CD=6，由MN是线段BC的垂直平分线，可知点C关于直线MN的对称点为点B，故CD的长为BP+PD的最小值，即可得出答案．
13．（2020八上·扎兰屯期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BQ，
∴BQ＝ ＝ ，
即PC+PQ的最小值是 ．
故答案为 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长，即可得解。
14．（2024八上·花都期末）如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示：分别作点关于，的对称点C、D，连接，分别交于M，交于点N．
则，，，
根据轴对称的性质，可得，，
则的周长最小为点C、M、N和D四点共线，最小值为，
∴，
在等腰中，，
则，
故答案为：．
【分析】考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，通过作点关于直线的对称点，将三角形的周长转化为两点间的线段长度来求解最小值，再利用等腰三角形得到.
15．（2020八上·花都期末）如图，已知 ，AB=BC，点D是射线AE上的一动点，当BD+CD最短时， 的度数是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作CO⊥AE于点O，并延长CO，使 ，则AE是 的垂直平分线，此时BD+CD最短
∴ 是等边三角形
∵AB=BC
故答案为：90°．
【分析】作CO⊥AE于点O，并延长CO，使 ，通过含30°直角三角形的性质可知 是等边三角形，又因为AB=BC，根据等腰三角形三线合一即可得出 ，则答案可求．
16．（2024八上·香洲期末）如图，已知平分，P是OD上一定点，以点P为顶点作，将绕点P旋转，PM与OA交于点E，PN与OB交于F，连接EF交OP于点G（点G在O，P之间），以下4个结论：①是等腰三角形；②当时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，如图所示，
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PQ⊥OB，
∴PH＝PQ，∠PHO＝∠PQO＝90°，
∵∠HOQ＝60°，
∴∠HPQ＝180° 60°＝120°，
∵∠EPF＝120°，
∴∠HPE＝∠QPF，
在△PHE和△PQF中，
∴△PHE≌△PQF（ASA），
∴PE＝PF，
∴△EPF是等腰三角形，
∴①正确；
∴∠PEF＝∠PFE＝30°，
当PM⊥OA时，
∴∠PEO＝90°，
∴∠FEO＝∠PEO ∠PEF＝90° 30°＝60°，
∵∠EOF＝60°，
∴此时△OEF是等边三角形，
∴②正确；
当EF⊥OA时，
∴∠FEO＝90°，
∴∠EOP＝30°，
∴∠OGE＝60°，
∵∠PEG＝30°，
∴∠EPG＝30°，
∵∠EOP＝∠EPG，
∴OE＝PE，
∵PE＝PF，
∴OE＝PF，
在△EOG和△PFG中，
∴△EOG≌△PFG（AAS），
∴③正确；
∵△PHE≌△PQF，
∴S△PHE＝S△PQF，
∴S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，
∵S四边形OHPQ＝2S△OPH＝2××OH×PH=PH×PH=×OP×OP=OP2，且OP为定值，
∴S四边形OHPQ为定值，
∴S四边形OEPF为定值，
∴④错误．
综上，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
【分析】过P点作PH⊥OA于H点，PQ⊥OB于Q点，先利用“ASA”证明△PHE≌△PQF，再利用全等三角形的性质可得PE＝PF，可判断出①正确；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠PEF＝∠PFE＝30°，当PM⊥OA时，则∠FEO＝60°，结合∠EOF＝60°，证出△OEF是等边三角形，从而可判断出②正确；当EF⊥OA时，则∠OGE＝60°，利用三角形外角性质求出∠EPG＝30°，证出OE＝PE，再证出△EOG≌△PFG，从而可判断出③正确；利用△PHE≌△PQF，可得S四边形OEPF＝S四边形OHPQ，再利用S四边形OHPQ＝2S△OPH＝OP2，从而得到S四边形OEPF为定值，从而可对④进行判断．
三、解答题
17．（2023八上·潮南期末）在等边的顶点，处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由向和由向爬行，经过分钟后，它们分别爬行到，处，请问：
（1）如图1，爬行过程中，和的数量关系是 ；
（2）如图2，当蜗牛们分别爬行到线段，的延长线上的，处时，若的延长线与交于点，其他条件不变，蜗牛爬行过程中的大小将会保持不变，请你证明：；
（3）如图3，如果将原题中“由向爬行”改为“沿着线段的延长线爬行，连接交于”，其他条件不变，求证：．
【答案】（1）
（2）解：证明如下：由（1）可知，
，
，，
（3）证明：过点作交于，
，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
∵为等边三角形，
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）由题意得：根据等边三角形的性质得到：即可利用"SAS"证明进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得到：，然后根据三角形外角的性质得到，进而即可求解；
（3）过点作交于，根据题意结合等边三角形的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，进而即可求解.
18．（2024八上·东莞期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CF＝2，求△ABE的面积．
【答案】（1）解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠AEC，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠AEC＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形
（2）解：AB＝2AC，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B＝90°，
∵点E在线段AB的垂直平分线上，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠B＝30°，
∴AB＝2AC
（3）解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝30°，CF＝CE＝2，
∴AE＝2CE＝4，
ACCE＝2，
∵AE＝BE＝4，
∴△ABE的面积BE AC
4×2
＝4，
∴△ABE的面积为4．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和，可得出∠CAE+∠CEA=∠BAE+∠AFD=90°，再根据AE平分∠CAB，可得出∠AFD＝∠AEC，从而得出∠AEC＝∠CFE，CE=CD，最后利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，由于AE平分∠CAB，得到∠CAE=∠BAE，根据三角形的内角和可得出答案．
（3） △ABE的面积 =×底 BE×高AC，通过解含30°的直角三角形可得出相应线段的长度.
19．（2023八上·瓯海月考）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
（3）当点Q在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？
【答案】（1）cm
（2）解：当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后，为等腰三角形；
（3）11或12
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵ AP=t ，∴ BP=AB-AP=16-t；
故答案为：（16-t）cm.
（3）第一种情况：以BC为底边的等腰三角形，即CQ=BQ，如图，
∵ CQ=BQ，∴ ∠C=∠CBQ，
∵ ∠C+∠A=90°，∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴ ∠A=∠ABQ，∴ BQ=AQ，
∴ CQ=BQ=AQ=10，
∴ t=（BC+CQ）÷2=22÷2=11；
第二种情况：以BQ为底边的等腰三角形，即CQ=BC，如图，
∵ CQ=BC，∴ t=（BC+CQ）÷2=12，
综上，出发11或12秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形；
故答案为：11或12.
【分析】（1）根据路程=速度×时间，可得AP=t，再根据BP=AB-AP即可求得；
（2）根据等腰三角形的性质可得QB=BP建立等量关系列出2t=16-t，即可求得；
（3）分两种情况：以BC为底边的等腰三角形或以BQ为底边的等腰三角形，利用等腰三角形的性质和判定，即可求得.
20．（2024八上·花都期末）在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使．
（1）如图1，当点D是的中点时，求证：；
（2）如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由．
（3）若等边的边长为4，当时，求的长．
【答案】（1）解：∵D是等边三角形边的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴
∴
∵且
∴
∴
又
∴
∴
∴
∵
∴；
（2）解：全等，证明如下：
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵且
∴
∴
又
∵
∴
在和中，
，
∴；
（3）解：由（2）知，且
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质知识点；
（1）利用等边三角形三线合一的性质得出，再通过垂直平分线的性质得到，进而通过根据三角形外角性质得出，再结合等腰三角形的判定得出结论；
（2）已知△ABC 是等边三角形，再结合可得， 由于∠ACB = 60°，所以∠AFD =，又因为 AH = HE 且，所以，进而得到，由此可推出，；在 和 中，根据角边角（ASA）得出；
（3）根据（2）的结论，DF = BD = a，且，所以 AE = AC + CE = 4 + a．
21．（2023八上·临邑开学考）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】（1）证明：≌，
．
，
是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
（3）解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角的性质及全等三角形性质即可求出答案.
（3）根据等边三角形性质，四边形内角和定理分，，时，根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
22．（2024八上·斗门期末）通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值.
解：，，
，.
，
.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中．
①如图1，若，的面积为，和的面积之和为26，求线段的长；
②如图2，若与在同一直线上，连接，延长与交于点，连接并延长与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长．
【答案】（1）5
（2）解：①和是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
．
②和是等腰直角三角形，，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解： （1） 9-4=5，
故答案为：5；
【分析】（1） 利用完全平方公式的结构进行变形，通过已知条件整体代入求值；
（2）①将面积通过面积公式转化为边长之间的关系，和第一问类似利用完全平方公式的结构进行变形，通过已知关系代入求值；
②利用手拉手全等得到边长相等，通过等量代换和将面积转化为要求边长之间的关系，再利用完全平方公式变形，代入求值.
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