综合与探究题—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
一、三角形
1．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD= 度；
②当∠A=x°时，∠CBD= 度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
2．（2023八上·潮南期末）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别作，的平分线，交点为E； （3）作直线．直线即为线段的垂直平分线． 简述作图理由： 由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是，的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线． 小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2， （1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别在线段上截取； （3）连接；交点为E； （4）作直线．直线PE即为线段的垂直平分线．
任务：
（1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是 ；
（2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）若，，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出的度数．
3．（2024八上·天河期中）已知在中，，过点引一条射线，是上一点．
（1）【问题解决】如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
（2）【类比探究】如图2，已知．
①当射线在内，求的度数；
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数．
4．（2024八上·金湾期末）【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点.
备用图
（1）求证：；
（2）求证：为的中点；
（3）已知，求的大小（用含的式子表示）.
5．（2023八上·新兴期末）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看待问题，养成科学的思维习惯.下面是李老师在“等腰直角三角形的探究”主题下设计的问题，请你解答。
在等腰直角中，，过点D，E分别作射线，交于点，点D，E分别在线段，上，且，，作射线，过点作于点，延长交射线于点.
图1 备用图
（1）如图1，试探究此时与的数量关系，并给出证明.
（2）如图1，若，，求的度数.
（3）若，，，求的长.
二、整式
6．（2024八上·金湾期末）【综合探究】实践：把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为a，b（）的小长方形（图1），再展开还原（图2）沿着折痕（虚线部分）剪开，拼成一个大正方形（图3）.
图1 图2 图3
（1）猜想：①图3中间小正方形的边长为 ；（用含a，b的式子表示）
②根据材料，直接写出式子，，之间的等量关系 ；
（2）应用：若，，求的值；
（3）拓展：若，求的值.
7．（2023八上·潮南期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）【类比】请用分组分解法将因式分解；
（2）【挑战】请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
8．（2024八上·湛江期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)；
（3）【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为 ▲ ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
（4）【拓展】计算的结果为 ．
9．（2024八上·惠州期末）图① 图② 图③
（1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】根据图②所得的公式，若，则 ．
（2）若x满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
10．（2024八上·博罗期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
（2）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
（3）图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子因式分解：
① ；
② ．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
2．【答案】（1）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
（2）解：直线是线段的垂直平分线，理由如下：
由作图可知：，，
又，
，
，
点在线段的垂直平分线上，，
，
即，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线
（3）解：的度数或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）当点，点分别在线段，上时，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
；
当点，点分别在线段，的延长线上时，
同理可证，
，
，
，
，
，
；
，
综上所述，的度数或
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△APD≌△CPB，可得∠PAD=∠PBC，由等腰三角形的判定可证AE=BE，可得结论；
（3）分两种情况讨论，当点C，点D分别在线段PA，PB上时，当C，D分别在PA，PB的延长线上时，分别求解即可．
3．【答案】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，使，如图所示：
∵，∠ABC=20°，
∴∠ABC=∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=140°.
∵，∠ADB=20°，
∴∠AED=∠ADE=20°，
∴∠EAD=140°=∠BAC，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
故的度数会变化，当射线在下方时，∠BDC=40°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而可证明，根据证明，再根据全等三角形的性质得到，即可得到答案；
（2）①在上取一点E，使，利用SAS证明，得到，用∠ADC－∠ADB即可求出答案；
②在延长线上取一点E，使，同理证明，求出，进而可求出．
（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
4．【答案】（1）证明：是等腰三角形，，
和分别为等边三角形
，
（2）证明：由（1）得
，是的垂直平分线
为的中点
（3）解：是等腰三角形，是的垂直平分线
，
，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，，进而根据等边三角形的性质得到，，从而得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而根据等腰三角形的判定得到，再根据垂直平分线的判定与性质即可求解；
（3）先根据等腰三角形的性质（三线合一）得到，进而结合题意进行角的运算得到，，从而根据即可求解。
5．【答案】（1）解：.
证明：，.
，，
.
，.
，，
，.
在和中，，
，
.
（2）解：，，，
.
由（1）知，
，
（3）解：如图，当点在线段上时，
由（1）可知.
，，
.
如图，当点在线段的延长线上时，
由（1）可知，.
，.
，.
综上所述，的长为3或5
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等可证明，，由全等三角形的判定角边角可得，由全等性质即可得出结论；
（2）在中由三角形内角和定理可求，继而可得，由全等三角形的性质可得，即可得解；
（3）分类讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，根据点E和点H位置不同，画出图形，分别求解BE的长，即可得解．
6．【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：设，，
.
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①由图3可得：阴影正方形边长为，
故答案为：；
②由图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，
，
故答案为：
【分析】（1）①根据图3即可求解；
②先根据题意得到大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，进而即可得到；
（2）根据②得到，从而代入即可求解；
（3），，则，根据题意得到，进而代入得到ab=-2，从而即可得到的值.
7．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
．
当，时，原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组法将原式分组为，然后利用平方差公式和提公因式法即可求解；
（2）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可求解；
（3）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可得到原式为：，最后将 ，代入计算即可.
8．【答案】（1）；
（2）
（3）①12；
②(x﹣3)(x+3)(x2+9)
，
，
；
（4）
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2 b2；图②的阴影部分为长为（a＋b），宽为（a b）的矩形，其面积为（a＋b）（a b）．
故答案为：a2 b2，（a＋b）（a b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a＋b）（a b）＝a2 b2，
故答案为：（a＋b）（a b）＝a2 b2；
（3）①4m2 n2＝（2m n）（2m＋n）＝3×4＝12，
故答案为：12；
（4）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（2 1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（22 1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（24 1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（28 1）（28＋1）…（232＋1），
＝264 1．
【分析】（1）利用正方形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
（2）利用图①与图②的面积相等，即可得到（a＋b）（a b）＝a2 b2；
（3）①利用平方差公式将原式变形4m2 n2＝（2m n）（2m＋n），再将2m﹣n=3，2m+n=4代入计算即可；
②利用平方差公式进行计算即可；
（4）先将原式变形为（2 1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），再利用平方差公式进行计算即可.
9．【答案】（1） ； ；90
（2）解：（11-x）2+（x-8）2=[（11-x）+（x-8）]2-2（11-x）（x-8）=9-4=5，
∴（11-x）2+（x-8）2的值是5；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE=DE，BE=CE，
∴，，
∵种花区域的面积和为，
∴AE2+CE2=25，
∵AC=7，
∴AE·CE=12，
∴AE·BE=DE·CE=12，
∴种草区域的面积和.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）观察图①可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，
观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和为a2+b2，
故a2+b2=（a+b）2-2ab，
当a+b=10，ab=5，则a2+b2==100-10=90；
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；a2+b2；（a+b）2-2ab.
【分析】（1）观察图①，根据两种正方形的面积方法列出等式即可；【类比探究】根据阴影部分由两个正方形组成，列出代数式即可；【应用】根据完全平方公式，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式，代入计算即可；【拓展】结合三角形的面积公式和完全平方公式进行计算即可.
10．【答案】（1）解：∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，
∴
（2）解：∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，
∴，
∵、面积分别为19、68，
∴，，
由②-①×2，得2ab=30，
∴ab=15；
（3）解：；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：(3)∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，
∴，
∴①，
②，
故答案为：①；.
【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去阴影部分的面积即可.
（2）根据图形，先求出图1，图2中空白部分面积、，联立列出关于a，b的方程组并求解即可.
（3）根据图形，将及写成含a、b的整式乘积的形式，再进行因式分解即可.
1 / 1综合与探究题—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
一、三角形
1．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD= 度；
②当∠A=x°时，∠CBD= 度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
2．（2023八上·潮南期末）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一条线段的垂直平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小晃：如图1，（1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别作，的平分线，交点为E； （3）作直线．直线即为线段的垂直平分线． 简述作图理由： 由作图可知，，所以点P在线段的垂直平分线上，，因为分别是，的平分线，所以，所以，所以点E在线段的垂直平分线上，所以是线段的垂直平分线． 小航：我认为小晃的作图方法很有创意，但是可以改进如下，如图2， （1）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P； （2）分别在线段上截取； （3）连接；交点为E； （4）作直线．直线PE即为线段的垂直平分线．
任务：
（1）小晃得出点P在线段的垂直平分线上的依据是 ；
（2）小航作图得到的直线是线段的垂直平分线吗？请判断并说明理由；
（3）若，，点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为E，当时，请直接写出的度数．
【答案】（1）到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
（2）解：直线是线段的垂直平分线，理由如下：
由作图可知：，，
又，
，
，
点在线段的垂直平分线上，，
，
即，
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线
（3）解：的度数或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）当点，点分别在线段，上时，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
；
当点，点分别在线段，的延长线上时，
同理可证，
，
，
，
，
，
；
，
综上所述，的度数或
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△APD≌△CPB，可得∠PAD=∠PBC，由等腰三角形的判定可证AE=BE，可得结论；
（3）分两种情况讨论，当点C，点D分别在线段PA，PB上时，当C，D分别在PA，PB的延长线上时，分别求解即可．
3．（2024八上·天河期中）已知在中，，过点引一条射线，是上一点．
（1）【问题解决】如图1，若，射线在内部，，求证：．小明同学展示的做法是：在上取一点使得．通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程．
（2）【类比探究】如图2，已知．
①当射线在内，求的度数；
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数．
【答案】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，使，如图所示：
∵，∠ABC=20°，
∴∠ABC=∠ACB=20°，
∴∠BAC=180°－∠ABC－∠ACB=140°.
∵，∠ADB=20°，
∴∠AED=∠ADE=20°，
∴∠EAD=140°=∠BAC，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
故的度数会变化，当射线在下方时，∠BDC=40°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而可证明，根据证明，再根据全等三角形的性质得到，即可得到答案；
（2）①在上取一点E，使，利用SAS证明，得到，用∠ADC－∠ADB即可求出答案；
②在延长线上取一点E，使，同理证明，求出，进而可求出．
（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
4．（2024八上·金湾期末）【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点.
备用图
（1）求证：；
（2）求证：为的中点；
（3）已知，求的大小（用含的式子表示）.
【答案】（1）证明：是等腰三角形，，
和分别为等边三角形
，
（2）证明：由（1）得
，是的垂直平分线
为的中点
（3）解：是等腰三角形，是的垂直平分线
，
，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，，进而根据等边三角形的性质得到，，从而得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到；
（2）根据三角形全等的性质得到，进而根据等腰三角形的判定得到，再根据垂直平分线的判定与性质即可求解；
（3）先根据等腰三角形的性质（三线合一）得到，进而结合题意进行角的运算得到，，从而根据即可求解。
5．（2023八上·新兴期末）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看待问题，养成科学的思维习惯.下面是李老师在“等腰直角三角形的探究”主题下设计的问题，请你解答。
在等腰直角中，，过点D，E分别作射线，交于点，点D，E分别在线段，上，且，，作射线，过点作于点，延长交射线于点.
图1 备用图
（1）如图1，试探究此时与的数量关系，并给出证明.
（2）如图1，若，，求的度数.
（3）若，，，求的长.
【答案】（1）解：.
证明：，.
，，
.
，.
，，
，.
在和中，，
，
.
（2）解：，，，
.
由（1）知，
，
（3）解：如图，当点在线段上时，
由（1）可知.
，，
.
如图，当点在线段的延长线上时，
由（1）可知，.
，.
，.
综上所述，的长为3或5
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等可证明，，由全等三角形的判定角边角可得，由全等性质即可得出结论；
（2）在中由三角形内角和定理可求，继而可得，由全等三角形的性质可得，即可得解；
（3）分类讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，根据点E和点H位置不同，画出图形，分别求解BE的长，即可得解．
二、整式
6．（2024八上·金湾期末）【综合探究】实践：把一张长方形纸片进行两次连续对折后得到边长为a，b（）的小长方形（图1），再展开还原（图2）沿着折痕（虚线部分）剪开，拼成一个大正方形（图3）.
图1 图2 图3
（1）猜想：①图3中间小正方形的边长为 ；（用含a，b的式子表示）
②根据材料，直接写出式子，，之间的等量关系 ；
（2）应用：若，，求的值；
（3）拓展：若，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解：设，，
.
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）①由图3可得：阴影正方形边长为，
故答案为：；
②由图大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，
，
故答案为：
【分析】（1）①根据图3即可求解；
②先根据题意得到大正方形的面积可以表示为，还可以表示为小正方形的面积加上个长方形的面积，，进而即可得到；
（2）根据②得到，从而代入即可求解；
（3），，则，根据题意得到，进而代入得到ab=-2，从而即可得到的值.
7．（2023八上·潮南期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
（1）【类比】请用分组分解法将因式分解；
（2）【挑战】请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
．
当，时，原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）利用分组法将原式分组为，然后利用平方差公式和提公因式法即可求解；
（2）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可求解；
（3）利用分组法将原式分组为，然后利用完全平方公式，平方差公式和提公因式法即可得到原式为：，最后将 ，代入计算即可.
8．（2024八上·湛江期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a、b表示)；
（3）【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n=3，2m+n=4，则4m2﹣n2的值为 ▲ ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
（4）【拓展】计算的结果为 ．
【答案】（1）；
（2）
（3）①12；
②(x﹣3)(x+3)(x2+9)
，
，
；
（4）
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2 b2；图②的阴影部分为长为（a＋b），宽为（a b）的矩形，其面积为（a＋b）（a b）．
故答案为：a2 b2，（a＋b）（a b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a＋b）（a b）＝a2 b2，
故答案为：（a＋b）（a b）＝a2 b2；
（3）①4m2 n2＝（2m n）（2m＋n）＝3×4＝12，
故答案为：12；
（4）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（2 1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（22 1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（24 1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），
＝（28 1）（28＋1）…（232＋1），
＝264 1．
【分析】（1）利用正方形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
（2）利用图①与图②的面积相等，即可得到（a＋b）（a b）＝a2 b2；
（3）①利用平方差公式将原式变形4m2 n2＝（2m n）（2m＋n），再将2m﹣n=3，2m+n=4代入计算即可；
②利用平方差公式进行计算即可；
（4）先将原式变形为（2 1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1），再利用平方差公式进行计算即可.
9．（2024八上·惠州期末）图① 图② 图③
（1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】根据图②所得的公式，若，则 ．
（2）若x满足，求的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地于点．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和．
【答案】（1） ； ；90
（2）解：（11-x）2+（x-8）2=[（11-x）+（x-8）]2-2（11-x）（x-8）=9-4=5，
∴（11-x）2+（x-8）2的值是5；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE=DE，BE=CE，
∴，，
∵种花区域的面积和为，
∴AE2+CE2=25，
∵AC=7，
∴AE·CE=12，
∴AE·BE=DE·CE=12，
∴种草区域的面积和.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）观察图①可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，
观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和为a2+b2，
故a2+b2=（a+b）2-2ab，
当a+b=10，ab=5，则a2+b2==100-10=90；
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；a2+b2；（a+b）2-2ab.
【分析】（1）观察图①，根据两种正方形的面积方法列出等式即可；【类比探究】根据阴影部分由两个正方形组成，列出代数式即可；【应用】根据完全平方公式，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式，代入计算即可；【拓展】结合三角形的面积公式和完全平方公式进行计算即可.
10．（2024八上·博罗期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）．
（2）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
（3）图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子因式分解：
① ；
② ．
【答案】（1）解：∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，
∴
（2）解：∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，
∴，
∵、面积分别为19、68，
∴，，
由②-①×2，得2ab=30，
∴ab=15；
（3）解：；
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：(3)∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，
∴，
∴①，
②，
故答案为：①；.
【分析】（1）根据图形，用正方形的面积减去阴影部分的面积即可.
（2）根据图形，先求出图1，图2中空白部分面积、，联立列出关于a，b的方程组并求解即可.
（3）根据图形，将及写成含a、b的整式乘积的形式，再进行因式分解即可.
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