阅读理解题—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
一、三角形
1．（2024八上·博罗期末） 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图9-①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图9-②，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图9-③，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题.
（1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD；
（2）如图9-④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，
∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明.
二、整式
2．（2023八上·潮南期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
3．（2024八上·中山期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时中又有公因式，于是可以提出，即，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式．
（2）拓展运用：已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由．
4．（2024八上·花都期末）【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
（1）根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
（2）探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
（3）应用你发现的规律计算：
5．（2021八上·龙湖期末）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空： ．
（2）先化简，再求值：，其中满足．
（3）若分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
6．（2023八上·新兴期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程. 解：设. 原式
任务：（1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____.
（1）由平方的非负性可知有最小值，则最小值为 .
（2）请你用“换元法”对多项式进行因式分解.
7．（2024八上·雷州期末）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料，利用配方法进行因式分解：；
（2）根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
（3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
8．（2024八上·香洲期末）【阅读理解】
若x满足，求的值．
解：设，
则，
．
【解决问题】
（1）若x满足，则 ；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．
三、分式
9．（2024八上·蓬江期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式(填“真”或“假”)；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
10．（2024八上·江门期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式类似地，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
11．（2023八上·惠州期末）阅读下列解题过程：
已知=，求的值．
解：由=，知x≠0，∴，即x+=3．
∴＝32﹣2＝7，∴=．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知=，求的值；
（2）已知=2，=，=，求的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：
如方法一：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△EAD中，
AD=AD，∠BAD=∠EAD，AB=AE，
∴△BAD≌△EAD（SAS）.
∴BD=ED，∠AED=∠B=2∠C.
∵∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C.
∴ED=EC.
∴BD=EC.
∴AC=AE+EC=AB+BD.
如方法二：
∵BE = BD，
∴∠E = ∠BDE.
∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E.
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△AED和△ACD中，
∠E=∠C，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（AAS）.
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD.
（2）解：BE=DC+CE.证明如下：
如图，在EB上截取EF，使得EF=DC，
连接AF.
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA.
∴2∠DAE+∠AED=180°.
∵∠DAE+∠B=90°，
∴2∠DAE+2∠B=180°.
∴∠AED=2∠B.
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=∠C.
∵∠BED=∠AEB+∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠AEB=∠CDE.
在△AEF和△EDC中，
EF=DC，∠AEF=∠EDC，AE=ED，
∴△AEF≌△EDC（SAS）.
∴AF=EC，∠AFE=∠C=2∠B.
∵∠AFE=∠B+∠BAF，
∴∠B=∠BAF.
∴ BF=AF.
∴BF=CE.
又∵BE=BF+EF
∴BE=DC+CE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）方法一：根据角平分线的定义及辅助线得到，再根据角的大小关系得到∠EDC=∠C，进而得到边之间的关系即可.
方法二：根据角平分线的定义及辅助线得到，即可得到AC=AE=AB+BE=AB+BD即可.
（2）在AB的延长线AF上取EF=DC，进而证出，再根据全等三角形的性质证明即可.
2．【答案】（1）解：根据题意列式：
∴，
即：
（2）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∵，，是的三边长，
∴，即：，
∵是的最长边，
∴
（3）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周长为：
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形，再根据三角形三边关系即可求解；
（3）将式子变形利用平方非负性即可计算出a，b，c三边长，再计算周长即可．
3．【答案】（1）解：
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
即，
为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分组分解因式的计算方法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为=0，可得，即，从而可得为等腰三角形．
4．【答案】（1）7；8
（2）解：由题意可得规律为，证明如下：
∵左边=
∵右边=
∴左边=右边
∴
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；推理与论证；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，
故答案为：
【分析】本题主要考查数字规律的探究与应用，善于观察式子之间的数字关系，归纳出规律：
（1）通过观察前面式子的规律，可知等式右边因数为等式左边因数的两个中间数，因此可得出结果；
（2）通过对前面式子的分析归纳出一般规律，并用代数方法对左右两边代数式进行拆分化简，得出左边等于右边，便可证明规律；
（3）根据（2）中归纳出的规律，将分子分母进行转化，然后约分得出结果．
5．【答案】（1）
（2）解：
=
=
∵，
∴，
∴，
把代入上式得：
（3）解：△ABC为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；等边三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）∵，
故答案为：；
【分析】（1）根据完全平方公式可得答案；
（2）先对原式进行化简，利用配方法将 变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b，将a、b的之代入化简结果计算即可；
（3）利用配方法将原式变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b、c，即可判断的形状。
6．【答案】（1）0
（2）解：设.
原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
∴小林同学因式分解的结果不彻底，最后结果是：．
故答案为：；
（2）由（1）可知，，
当时，有最小值，．
故答案为：0；
【分析】（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）由（1）可知，，可得当时，函数有最小值，即可求解；
（3）设，原式，即可得解．
7．【答案】（1）解：
；
（2）解：设，
∴；
（3）解：是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，．
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法；配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法将原式变形为即可；
（2）将（x-y）当作整体，设，将原式变形为，再利用配方法将原式化简即可；
（3）利用配方法将原式变形为，利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，从而得解.
8．【答案】（1）10
（2）解：设，则，，
∴
即.
（3）解：根据题意可得，
设，则，
∴
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：设7-x=a，x-3=b，
则a+b=（7-x）+（x-3）=4，ab=3，
∴
=a2+b2
=（a+b）2-2ab
=42-2×3
=16-6
=10，
故答案为：10.
【分析】（1）设7-x=a，x-3=b，则a+b=（7-x）+（x-3）=4，ab=3，再利用换元法及完全平方公式可得；
（2）设，则，，再利用换元法及完全平方公式可得；
（3）设，则，，再利用换元法及完全平方公式可得，再求出即可.
9．【答案】（1）真
（2）解：
；
（3）解：原式
由于分式的值为整数，故或，
或-3或11或，
是整数，
或或11或．
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）先将分式的分子进行因式分解，再化简即可；
（3）先将原式变形为，再结合“分式的值为整数”求出x的值即可.
10．【答案】（1）真
（2）解：
（3）解：原式，
分式的值为整数，
或，
或或或．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）参照题干中的定义将假分式转换为带分式即可；
（3）先将原式求变形为，再结合“分式的值为整数”，求出x的值即可.
11．【答案】（1）由＝，得到＝x+﹣1＝7，即x+＝8，
则原式＝=＝＝；
（2）根据题意得：＝+＝，＝+＝，＝+＝，
可得++＝1，
则原式＝＝1．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；数学思想
【解析】【分析】本题考查倒数法解题
(1)先把式子=取倒数，化简后可求出x+的值，对式子 分子和分母同时除以化简可得：原式=，将x+的值代入原式可求出答案．
(2)先将已知条件的式子分别取倒数进行化简可得：++＝1，再对式子 分子和分母同时除以化简可得：原式＝，将++整体代入原式可求出答案.
1 / 1阅读理解题—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
一、三角形
1．（2024八上·博罗期末） 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图9-①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图9-②，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图9-③，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题.
（1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD；
（2）如图9-④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，
∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）证明：
如方法一：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△EAD中，
AD=AD，∠BAD=∠EAD，AB=AE，
∴△BAD≌△EAD（SAS）.
∴BD=ED，∠AED=∠B=2∠C.
∵∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C.
∴ED=EC.
∴BD=EC.
∴AC=AE+EC=AB+BD.
如方法二：
∵BE = BD，
∴∠E = ∠BDE.
∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E.
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
在△AED和△ACD中，
∠E=∠C，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△ACD（AAS）.
∴AC=AE=AB+BE=AB+BD.
（2）解：BE=DC+CE.证明如下：
如图，在EB上截取EF，使得EF=DC，
连接AF.
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA.
∴2∠DAE+∠AED=180°.
∵∠DAE+∠B=90°，
∴2∠DAE+2∠B=180°.
∴∠AED=2∠B.
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=∠C.
∵∠BED=∠AEB+∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠AEB=∠CDE.
在△AEF和△EDC中，
EF=DC，∠AEF=∠EDC，AE=ED，
∴△AEF≌△EDC（SAS）.
∴AF=EC，∠AFE=∠C=2∠B.
∵∠AFE=∠B+∠BAF，
∴∠B=∠BAF.
∴ BF=AF.
∴BF=CE.
又∵BE=BF+EF
∴BE=DC+CE
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）方法一：根据角平分线的定义及辅助线得到，再根据角的大小关系得到∠EDC=∠C，进而得到边之间的关系即可.
方法二：根据角平分线的定义及辅助线得到，即可得到AC=AE=AB+BE=AB+BD即可.
（2）在AB的延长线AF上取EF=DC，进而证出，再根据全等三角形的性质证明即可.
二、整式
2．（2023八上·潮南期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：；
（2）已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）解：根据题意列式：
∴，
即：
（2）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∵，，是的三边长，
∴，即：，
∵是的最长边，
∴
（3）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周长为：
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形，再根据三角形三边关系即可求解；
（3）将式子变形利用平方非负性即可计算出a，b，c三边长，再计算周长即可．
3．（2024八上·中山期末）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时中又有公因式，于是可以提出，即，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式．
（2）拓展运用：已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
即，
为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分组分解因式的计算方法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为=0，可得，即，从而可得为等腰三角形．
4．（2024八上·花都期末）【阅读材料】
观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
根据上面材料回答以下问题：
（1）根据阅读材料猜想：式子⑥：（ ）（ ）
（2）探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．
（3）应用你发现的规律计算：
【答案】（1）7；8
（2）解：由题意可得规律为，证明如下：
∵左边=
∵右边=
∴左边=右边
∴
（3）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式；推理与论证；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，
故答案为：
【分析】本题主要考查数字规律的探究与应用，善于观察式子之间的数字关系，归纳出规律：
（1）通过观察前面式子的规律，可知等式右边因数为等式左边因数的两个中间数，因此可得出结果；
（2）通过对前面式子的分析归纳出一般规律，并用代数方法对左右两边代数式进行拆分化简，得出左边等于右边，便可证明规律；
（3）根据（2）中归纳出的规律，将分子分母进行转化，然后约分得出结果．
5．（2021八上·龙湖期末）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空： ．
（2）先化简，再求值：，其中满足．
（3）若分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：
=
=
∵，
∴，
∴，
把代入上式得：
（3）解：△ABC为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；等边三角形的判定；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（1）∵，
故答案为：；
【分析】（1）根据完全平方公式可得答案；
（2）先对原式进行化简，利用配方法将 变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b，将a、b的之代入化简结果计算即可；
（3）利用配方法将原式变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b、c，即可判断的形状。
6．（2023八上·新兴期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程. 解：设. 原式
任务：（1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____.
（1）由平方的非负性可知有最小值，则最小值为 .
（2）请你用“换元法”对多项式进行因式分解.
【答案】（1）0
（2）解：设.
原式
.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1），
∴小林同学因式分解的结果不彻底，最后结果是：．
故答案为：；
（2）由（1）可知，，
当时，有最小值，．
故答案为：0；
【分析】（1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（2）由（1）可知，，可得当时，函数有最小值，即可求解；
（3）设，原式，即可得解．
7．（2024八上·雷州期末）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料，利用配方法进行因式分解：；
（2）根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
（3）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
；
（2）解：设，
∴；
（3）解：是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，．
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法；配方法的应用；完全平方式
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用配方法将原式变形为即可；
（2）将（x-y）当作整体，设，将原式变形为，再利用配方法将原式化简即可；
（3）利用配方法将原式变形为，利用非负数之和为0的性质求出a、b、c的值，从而得解.
8．（2024八上·香洲期末）【阅读理解】
若x满足，求的值．
解：设，
则，
．
【解决问题】
（1）若x满足，则 ；
（2）若x满足，求的值；
（3）如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．
【答案】（1）10
（2）解：设，则，，
∴
即.
（3）解：根据题意可得，
设，则，
∴
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：设7-x=a，x-3=b，
则a+b=（7-x）+（x-3）=4，ab=3，
∴
=a2+b2
=（a+b）2-2ab
=42-2×3
=16-6
=10，
故答案为：10.
【分析】（1）设7-x=a，x-3=b，则a+b=（7-x）+（x-3）=4，ab=3，再利用换元法及完全平方公式可得；
（2）设，则，，再利用换元法及完全平方公式可得；
（3）设，则，，再利用换元法及完全平方公式可得，再求出即可.
三、分式
9．（2024八上·蓬江期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式(填“真”或“假”)；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）真
（2）解：
；
（3）解：原式
由于分式的值为整数，故或，
或-3或11或，
是整数，
或或11或．
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）先将分式的分子进行因式分解，再化简即可；
（3）先将原式变形为，再结合“分式的值为整数”求出x的值即可.
10．（2024八上·江门期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式类似地，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）真
（2）解：
（3）解：原式，
分式的值为整数，
或，
或或或．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）参照题干中的定义将假分式转换为带分式即可；
（3）先将原式求变形为，再结合“分式的值为整数”，求出x的值即可.
11．（2023八上·惠州期末）阅读下列解题过程：
已知=，求的值．
解：由=，知x≠0，∴，即x+=3．
∴＝32﹣2＝7，∴=．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
（1）已知=，求的值；
（2）已知=2，=，=，求的值．
【答案】（1）由＝，得到＝x+﹣1＝7，即x+＝8，
则原式＝=＝＝；
（2）根据题意得：＝+＝，＝+＝，＝+＝，
可得++＝1，
则原式＝＝1．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值；数学思想
【解析】【分析】本题考查倒数法解题
(1)先把式子=取倒数，化简后可求出x+的值，对式子 分子和分母同时除以化简可得：原式=，将x+的值代入原式可求出答案．
(2)先将已知条件的式子分别取倒数进行化简可得：++＝1，再对式子 分子和分母同时除以化简可得：原式＝，将++整体代入原式可求出答案.
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