新定义型—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
阅卷人 一、三角形
得分
1．（2024八上·电白期末）我们给出定义：若三角形中一个内角是另一个内角的三分之一，我们称这个三角形是“分角三角形”，其中称为“分角”.已知一个“分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“分角三角形”中分角的度数是 .
【答案】20°或30°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得，α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，解得：α＝30°，
即分角α的度数是20°或30°，
故答案为：20°或30°．
【分析】利用“分角三角形”的定义可得α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，再求出α的值即可.
2．（2024八上·惠州期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”．
（1）【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长；
（2）【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
【答案】（1）解：，，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系．
（1）先根据三边关系可列出不等式，解不等式可求出的范围，再根据新定义，可得AC为偶数，据此可求出的长；
（2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，根据的长为偶数，可求出的长，利用线段的运算可求出的长，再根据新定义可判断为“好运三角形 ．
（1）解：，
，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”．
3．（2024八上·东莞期中）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【答案】【简单应用】：（1）18°，是；
（2）证明：
是“完美三角形”
（3）
是“完美三角形”
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
故答案为：18°，是
【分析】本题考查三角形的角度计算，平行线的性质，角平分线的性质.
（1）根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABO=18°，根据∠MON=4∠ABO，可推出 △AOB 完美三角形；
（2）根据垂直的性质与三角形的内角和可求出∠OAC，据此可得：，利用完美三角形的定义可推出△AOC是“完美三角形”
（3）先利用角的运算可得∠EFC=∠ADC，根据同位角相等，两直线平行可证明，利用平行线的性质两直线平行，同位角相等可得：∠DEF=∠ADE，进而可得：根据同位角相等，两直线平行可得：，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可推出∠CDE=∠BCD，再根据△BCD是“完美三角形”，可得，再根据三角形的内角和可求出∠B的度数.
4．（2024八上·中山期末）定义：如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的勃罗卡点，同时称为的勃罗卡角．
（1）如图2，P为等边内部一点．其中，，请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由；
（2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数；
（3）如图4，在（2）的条件下，作点P关于的对称点，连接与相交于点O，连接，，记的勃罗卡点为M，的勃罗卡点为N，求证：为等边三角形．
【答案】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下：
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
是的中垂线，
平分，
，
，
点P不是等边的勃罗卡点；
（2）解：点P为等边的勃罗卡点，
，
，
即，
，
同理可得，
在与中，
，
，
，
，
，
，
等边的勃罗卡角的度数为；
（3）证明：点P，关于对称，
为的中垂线，
，
为等腰三角形，
，
由（2）可知，
，
，
为等边三角形，同理可得为等边三角形，
如图，在内部作交于点N，连接，
为的中垂线，
，
，
，
，
，
点N为的勃罗卡点，且，
在内部作交于点M，
同理可证点M为的勃罗卡点，且，
，
，
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质证出，，再结合中垂线和角平分线的定义可得，从而可证出点P不是等边的勃罗卡点；
（2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再求出，可得等边的勃罗卡角的度数为；
（3）先证出为等边三角形，为等边三角形，在内部作交于点N，连接，再求出点N为的勃罗卡点，且，点M为的勃罗卡点，且，再求出，可证出为等边三角形．
5．（2024八上·中山期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．
（1）的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；
（2）若，求证：为“智慧三角形”；
（3）当为“智慧三角形”时，求的度数．
【答案】（1）30；是
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
【分析】本题属于几何综合题，考查三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念．
（1）根据垂直的定义可求出、利用三角形内角和定理求出的度数，据此可得：，再根据“智慧三角形”的概念可作出判断；
（2）根据，可推出，利用
”智慧三角形”的概念可证明结论；
（3）分两大类：点在线段上和线段的延长线上；当点在线段上时，分以下几种情况：当时；当时；当时；当时；当时；当时；利用角的运算可求出答案；当点在线段的延长线上时，分两种情况：当时，当时，利用角的运算可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”
①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
阅卷人 二、分式
得分
6．（2019八上·金平期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{ ， }＝ －1的解为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－2
【答案】B
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当 时，x＜0，方程变形为 ，
去分母得：2=3-x，
解得：x=1（不符合题意，舍去）；
当 ，x＞0，方程变形得： ，
去分母得：1=3-x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】分类讨论 与 的大小，列出分式方程，解方程即可．
7．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
8．（2024八上·蓬江期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式(填“真”或“假”)；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）真
（2）解：
；
（3）解：原式
由于分式的值为整数，故或，
或-3或11或，
是整数，
或或11或．
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）先将分式的分子进行因式分解，再化简即可；
（3）先将原式变形为，再结合“分式的值为整数”求出x的值即可.
9．（2024八上·江门期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式类似地，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）真
（2）解：
（3）解：原式，
分式的值为整数，
或，
或或或．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）参照题干中的定义将假分式转换为带分式即可；
（3）先将原式求变形为，再结合“分式的值为整数”，求出x的值即可.
阅卷人 三、整式
得分
10．（2023八上·惠州期末）学方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子：
①化简：______；
②计算：______；
（2）【公式运用】已知：，求的值．
【答案】（1）①，②2024
（2）解：∵
∴
∴
∴
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）①
，
②
．
故答案为∶，2024．
【分析】本题考查立方和以及完全平方公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键；
（1）①直接利用立方和公式进行化简；②观察式子的形式，将其与立方和公式联系起来，通过设a=2023，b=1，来进行计算；
（2）将中的，再根据立方和公式化简为，同时已知，则得，，带入转换可得出结果.
（1）解∶①
，
②
．
故答案为∶，2024．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1新定义型—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
阅卷人 一、三角形
得分
1．（2024八上·电白期末）我们给出定义：若三角形中一个内角是另一个内角的三分之一，我们称这个三角形是“分角三角形”，其中称为“分角”.已知一个“分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“分角三角形”中分角的度数是 .
2．（2024八上·惠州期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”．
（1）【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长；
（2）【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”．
3．（2024八上·东莞期中）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使，．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
4．（2024八上·中山期末）定义：如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的勃罗卡点，同时称为的勃罗卡角．
（1）如图2，P为等边内部一点．其中，，请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由；
（2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数；
（3）如图4，在（2）的条件下，作点P关于的对称点，连接与相交于点O，连接，，记的勃罗卡点为M，的勃罗卡点为N，求证：为等边三角形．
5．（2024八上·中山期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．
（1）的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；
（2）若，求证：为“智慧三角形”；
（3）当为“智慧三角形”时，求的度数．
阅卷人 二、分式
得分
6．（2019八上·金平期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{ ， }＝ －1的解为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或－2
7．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·蓬江期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式(填“真”或“假”)；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
9．（2024八上·江门期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式类似地，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：，；
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）将假分式化为带分式；
（3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值．
阅卷人 三、整式
得分
10．（2023八上·惠州期末）学方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：
（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子：
①化简：______；
②计算：______；
（2）【公式运用】已知：，求的值．
答案解析部分
1．【答案】20°或30°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得，α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，解得：α＝30°，
即分角α的度数是20°或30°，
故答案为：20°或30°．
【分析】利用“分角三角形”的定义可得α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，再求出α的值即可.
2．【答案】（1）解：，，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系．
（1）先根据三边关系可列出不等式，解不等式可求出的范围，再根据新定义，可得AC为偶数，据此可求出的长；
（2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，根据的长为偶数，可求出的长，利用线段的运算可求出的长，再根据新定义可判断为“好运三角形 ．
（1）解：，
，即，
为“好运三角形”，
为偶数，
；
（2）设为偶数，则，
解得，
为偶数，
．
，
又，
是“好运三角形”．
3．【答案】【简单应用】：（1）18°，是；
（2）证明：
是“完美三角形”
（3）
是“完美三角形”
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）∠ABO=90°-∠MON =18°，
∵∠MON=4∠ABO
∴△AOB是“完美三角形”；
故答案为：18°，是
【分析】本题考查三角形的角度计算，平行线的性质，角平分线的性质.
（1）根据直角三角形两锐角互余可求出∠ABO=18°，根据∠MON=4∠ABO，可推出 △AOB 完美三角形；
（2）根据垂直的性质与三角形的内角和可求出∠OAC，据此可得：，利用完美三角形的定义可推出△AOC是“完美三角形”
（3）先利用角的运算可得∠EFC=∠ADC，根据同位角相等，两直线平行可证明，利用平行线的性质两直线平行，同位角相等可得：∠DEF=∠ADE，进而可得：根据同位角相等，两直线平行可得：，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可推出∠CDE=∠BCD，再根据△BCD是“完美三角形”，可得，再根据三角形的内角和可求出∠B的度数.
4．【答案】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下：
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
是的中垂线，
平分，
，
，
点P不是等边的勃罗卡点；
（2）解：点P为等边的勃罗卡点，
，
，
即，
，
同理可得，
在与中，
，
，
，
，
，
，
等边的勃罗卡角的度数为；
（3）证明：点P，关于对称，
为的中垂线，
，
为等腰三角形，
，
由（2）可知，
，
，
为等边三角形，同理可得为等边三角形，
如图，在内部作交于点N，连接，
为的中垂线，
，
，
，
，
，
点N为的勃罗卡点，且，
在内部作交于点M，
同理可证点M为的勃罗卡点，且，
，
，
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质证出，，再结合中垂线和角平分线的定义可得，从而可证出点P不是等边的勃罗卡点；
（2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再求出，可得等边的勃罗卡角的度数为；
（3）先证出为等边三角形，为等边三角形，在内部作交于点N，连接，再求出点N为的勃罗卡点，且，点M为的勃罗卡点，且，再求出，可证出为等边三角形．
5．【答案】（1）30；是
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
【分析】本题属于几何综合题，考查三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念．
（1）根据垂直的定义可求出、利用三角形内角和定理求出的度数，据此可得：，再根据“智慧三角形”的概念可作出判断；
（2）根据，可推出，利用
”智慧三角形”的概念可证明结论；
（3）分两大类：点在线段上和线段的延长线上；当点在线段上时，分以下几种情况：当时；当时；当时；当时；当时；当时；利用角的运算可求出答案；当点在线段的延长线上时，分两种情况：当时，当时，利用角的运算可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”
①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
6．【答案】B
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：当 时，x＜0，方程变形为 ，
去分母得：2=3-x，
解得：x=1（不符合题意，舍去）；
当 ，x＞0，方程变形得： ，
去分母得：1=3-x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】分类讨论 与 的大小，列出分式方程，解方程即可．
7．【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、，故A不是“和谐分式”；
B、，故B不是“和谐分式”；
C、，故C是“和谐分式”；
D、，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
8．【答案】（1）真
（2）解：
；
（3）解：原式
由于分式的值为整数，故或，
或-3或11或，
是整数，
或或11或．
【知识点】分式的约分；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）先将分式的分子进行因式分解，再化简即可；
（3）先将原式变形为，再结合“分式的值为整数”求出x的值即可.
9．【答案】（1）真
（2）解：
（3）解：原式，
分式的值为整数，
或，
或或或．
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】（1）根据题意可得：分式是真分式，
故答案为：真.
【分析】（1）利用“真分式”的定义分析求解即可；
（2）参照题干中的定义将假分式转换为带分式即可；
（3）先将原式求变形为，再结合“分式的值为整数”，求出x的值即可.
10．【答案】（1）①，②2024
（2）解：∵
∴
∴
∴
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）①
，
②
．
故答案为∶，2024．
【分析】本题考查立方和以及完全平方公式的应用，构造使用公式的条件是求解本题的关键；
（1）①直接利用立方和公式进行化简；②观察式子的形式，将其与立方和公式联系起来，通过设a=2023，b=1，来进行计算；
（2）将中的，再根据立方和公式化简为，同时已知，则得，，带入转换可得出结果.
（1）解∶①
，
②
．
故答案为∶，2024．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
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