情境型—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
一、三角形
1．（2024八上·蓬江期末）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，∴应该拿这块去．
故答案为：C．
【分析】利用“ASA”证明三角形全等的判定方法及应用分析求解即可.
2．（2024八上·东莞期中）有一个教具是由两根细小的直木棒和一根橡皮筋制作而成，都可绕点A在同一个平面内旋转，端点由橡皮筋连接，如果，那么的长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在点A的同一侧且在同一条直线上时最短，为，
分别在点A的两侧且在同一条直线上时最长，为．
故的长度的取值范围是，
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
3．（2024八上·香洲期中）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．小铭发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．如图，在中，，，将折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点D，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵折叠的性质，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质得，然后利用三角形内角和定理、等腰三角形“等边对等角”性质求出∠ABC的度数，即可得到答案.
4．（2024八上·香洲期中）2024珠海风筝节于10月19日在海天公园沙滩盛大举办!敏敏自制了一个风筝去参加风筝节，为了风筝更稳定地在空中飞行，他所设计的风筝骨架结构为三角形，如图所示，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵为了风筝更稳定地在空中飞行，所设计的风筝骨架结构为三角形，
∴这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故答案为： A．
【分析】根据三角形具有稳定性，即可得到答案.
5．（2024八上·香洲期中）童童和山山伫立在栖凤亭下，想通过本学期所学全等三角形的知识测量鱼池两端的距离．如图①，为测量鱼池两端A、B的距离，他们在鱼池外取一点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，这时测得的长就等于的长，为什么？
【答案】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴这时测得的长就等于的长．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理“SAS”证出，然后由全等三角形对应边相等的性质即可得到．
6．（2024八上·中山期中）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
乙：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
（1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
【答案】（1）甲、乙；
（2）选甲：
在和中，，
∴，
∴，
选乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）甲同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
乙同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
故答案为：甲、乙．
【分析】本题考查全等三角形的应用，全等三角形的判定定理，全等三角形的性质.
(1)甲同学根据对顶角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根据AC=DC，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等则需要测出的长即为，的距离，说明AB=ED；
乙同学根据 ，公共边相等即BD=BD，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等则需要测出的长即为，的距离，说明AB=BC；
(2)选甲，根据对顶角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根据AC=DC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
选乙：根据，利用垂直的定义可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可证明结论.
（1）甲同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
乙同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
故答案为：甲、乙．
（2）选甲：在和中，
，
∴，
∴，
选乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
二、轴对称
7．（2022八上·新会期中）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，则点M即为所求.
故答案为：C．
【分析】连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即得结论．
8．（2023八上·浈江期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则 米．
【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为：48．
【分析】根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等即可求解.
9．（2024八上·番禺期末）为筹办一个大型运动会，某地打算修建一个大型体育中心，已知该地有三个城镇中心（图1中以P，Q，R表示）和两条高速公路（图1中以线段PQ，线段PR表示），在选址过程中，小度同学建议该体育中心所在位置应与该地人口较多的城镇中心P，Q的距离相等，且到两条高速公路PQ，PR的距离也相等．请你根据上述小度的建议，试在图2中标出体育中心M的位置．（请保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】解：由题意，得：点是线段的中垂线以及的角平分线的交点，如图所示：
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等。因为条件“ 该体育中心所在位置应与该地人口较多的城镇中心P，Q的距离相等 ”，所以体育场肯定在PQ的垂直平分线上；还需要“ 到两条高速公路PQ，PR的距离也相等 ”，因此该体育场还需要在∠QPR的角平分线上，这样两条直线的交点，就是体育场的位置。
三、分式
10．（2024八上·陆河期末）快递行业的高速发展催生了 "快递分拣机器人" 。某快递公司准备引入甲：乙两种型号的 "分拣机器人"， 若甲每小时分拣数量比乙多 50 件， 且甲分拣 1000 件与乙分拣 800 件所用时间相同。若设甲每小时分拣数量为 件，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设甲每小时分拣数量为 件，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】 设甲每小时分拣数量为 件， 根据“ 甲分拣 1000 件与乙分拣 800 件所用时间相同 ”列出方程即可.
11．（2024八上·雷州期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
（1）求每辆型汽车进价是多少万元？
（2）若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
【答案】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
答： B型汽车的进价为每辆10万元；
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
A型车每辆进价：（万元），
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买36辆A型汽车．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据“用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆”列出方程，再求解即可；
（2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据“总费用不超过1182万元”列出不等式，再求解即可.
12．（2024八上·番禺期末）列分式方程解下列应用题：
（1）为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车．已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等．求A型车的单价．
（2）用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【答案】（1）解：设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：A型车的单价为9万元；
（2）解：设“和谐号”的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴“和谐号”的速度为；
∴重新比赛时，“畅想号”到达终点的时间为，“和谐号”到底终点的时间为
∴两车不能同时到达终点；
设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）题可以根据数量相等这个条件，分别列出购买A型车的数量和购买B型车的数量，然后列方程求解即可。（2）题可以利用时间相等来列方程求出“和谐号”的速度，然后计算出重新比赛时，双方的时间，进而得出答案。最后依旧利用时间相等来列方程，求调整之后“和谐号”的速度即可。
13．（2024八上·花都期末）为了倡导学生科学探索精神，某校八年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话．
根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？
【答案】解：设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件.
根据题意可得：
解得：
经检验，是原方程的解
则
∴商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题重点考查了分式方程在实际问题中的应用；根据题目中的数量关系设未知数，再依据B型材料单价比A型材料单价贵15元这一条件列出分式方程，通过解方程得出结果.
1 / 1情境型—广东省（人教版）八（上）数学期末复习
一、三角形
1．（2024八上·蓬江期末）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
2．（2024八上·东莞期中）有一个教具是由两根细小的直木棒和一根橡皮筋制作而成，都可绕点A在同一个平面内旋转，端点由橡皮筋连接，如果，那么的长度的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·香洲期中）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．小铭发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．如图，在中，，，将折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点D，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·香洲期中）2024珠海风筝节于10月19日在海天公园沙滩盛大举办!敏敏自制了一个风筝去参加风筝节，为了风筝更稳定地在空中飞行，他所设计的风筝骨架结构为三角形，如图所示，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．（2024八上·香洲期中）童童和山山伫立在栖凤亭下，想通过本学期所学全等三角形的知识测量鱼池两端的距离．如图①，为测量鱼池两端A、B的距离，他们在鱼池外取一点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，这时测得的长就等于的长，为什么？
6．（2024八上·中山期中）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：
甲：如图，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离．
乙：如图，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离．
（1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______；
（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．
二、轴对称
7．（2022八上·新会期中）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·浈江期中）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为：米，则 米．
9．（2024八上·番禺期末）为筹办一个大型运动会，某地打算修建一个大型体育中心，已知该地有三个城镇中心（图1中以P，Q，R表示）和两条高速公路（图1中以线段PQ，线段PR表示），在选址过程中，小度同学建议该体育中心所在位置应与该地人口较多的城镇中心P，Q的距离相等，且到两条高速公路PQ，PR的距离也相等．请你根据上述小度的建议，试在图2中标出体育中心M的位置．（请保留作图痕迹，不必写作法）
三、分式
10．（2024八上·陆河期末）快递行业的高速发展催生了 "快递分拣机器人" 。某快递公司准备引入甲：乙两种型号的 "分拣机器人"， 若甲每小时分拣数量比乙多 50 件， 且甲分拣 1000 件与乙分拣 800 件所用时间相同。若设甲每小时分拣数量为 件，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024八上·雷州期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
（1）求每辆型汽车进价是多少万元？
（2）若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
12．（2024八上·番禺期末）列分式方程解下列应用题：
（1）为响应国家节能减排的号召，某公司计划购买A，B两种型号的新能源电动汽车．已知A型车比B型车的单价少3万元，且用180万元购买A型车与用240万元购买B型车的数量相等．求A型车的单价．
（2）用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛，比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请说明理由，并调整其中一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
13．（2024八上·花都期末）为了倡导学生科学探索精神，某校八年级计划开展自制竞速轮船模型活动．小明报名参加活动，需购买A型和B型两种材料，以下是小明和网店商家沟通中的对话．
根据小明的需要，商家应给小明发货A型材料和B型材料的数量分别是多少件？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，∴应该拿这块去．
故答案为：C．
【分析】利用“ASA”证明三角形全等的判定方法及应用分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：在点A的同一侧且在同一条直线上时最短，为，
分别在点A的两侧且在同一条直线上时最长，为．
故的长度的取值范围是，
故答案为：B.
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵折叠的性质，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质得，然后利用三角形内角和定理、等腰三角形“等边对等角”性质求出∠ABC的度数，即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵为了风筝更稳定地在空中飞行，所设计的风筝骨架结构为三角形，
∴这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故答案为： A．
【分析】根据三角形具有稳定性，即可得到答案.
5．【答案】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴这时测得的长就等于的长．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据全等三角形判定定理“SAS”证出，然后由全等三角形对应边相等的性质即可得到．
6．【答案】（1）甲、乙；
（2）选甲：
在和中，，
∴，
∴，
选乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）甲同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
乙同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
故答案为：甲、乙．
【分析】本题考查全等三角形的应用，全等三角形的判定定理，全等三角形的性质.
(1)甲同学根据对顶角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根据AC=DC，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等则需要测出的长即为，的距离，说明AB=ED；
乙同学根据 ，公共边相等即BD=BD，利用全等三角形的判定定理证明三角形全等则需要测出的长即为，的距离，说明AB=BC；
(2)选甲，根据对顶角相等可得：∠ACB=∠ECD，再根据AC=DC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
选乙：根据，利用垂直的定义可得：，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，利用全等三角形的性质可证明结论.
（1）甲同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
乙同学的方法利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离，
故答案为：甲、乙．
（2）选甲：在和中，
，
∴，
∴，
选乙：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，则点M即为所求.
故答案为：C．
【分析】连接PQ，作PQ的垂直平分线交直线l于点M，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即得结论．
8．【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米．
故答案为：48．
【分析】根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等即可求解.
9．【答案】解：由题意，得：点是线段的中垂线以及的角平分线的交点，如图所示：
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等。因为条件“ 该体育中心所在位置应与该地人口较多的城镇中心P，Q的距离相等 ”，所以体育场肯定在PQ的垂直平分线上；还需要“ 到两条高速公路PQ，PR的距离也相等 ”，因此该体育场还需要在∠QPR的角平分线上，这样两条直线的交点，就是体育场的位置。
10．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设甲每小时分拣数量为 件，
根据题意得：，
故答案为：D．
【分析】 设甲每小时分拣数量为 件， 根据“ 甲分拣 1000 件与乙分拣 800 件所用时间相同 ”列出方程即可.
11．【答案】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
答： B型汽车的进价为每辆10万元；
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
A型车每辆进价：（万元），
根据题意得：，
解得：，
答：最多可以购买36辆A型汽车．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据“用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆”列出方程，再求解即可；
（2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据“总费用不超过1182万元”列出不等式，再求解即可.
12．【答案】（1）解：设A型车的单价为x万元，则B型车的单价为万元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：A型车的单价为9万元；
（2）解：设“和谐号”的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴“和谐号”的速度为；
∴重新比赛时，“畅想号”到达终点的时间为，“和谐号”到底终点的时间为
∴两车不能同时到达终点；
设调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴当调整后“畅想号”的速度不变，“和谐号”的速度为时，两车能同时到达终点．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）题可以根据数量相等这个条件，分别列出购买A型车的数量和购买B型车的数量，然后列方程求解即可。（2）题可以利用时间相等来列方程求出“和谐号”的速度，然后计算出重新比赛时，双方的时间，进而得出答案。最后依旧利用时间相等来列方程，求调整之后“和谐号”的速度即可。
13．【答案】解：设购买B型材料的数量为x件，则购买A型材料的数量为件.
根据题意可得：
解得：
经检验，是原方程的解
则
∴商家应给小明发货A型材料12件和B型材料6件．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题重点考查了分式方程在实际问题中的应用；根据题目中的数量关系设未知数，再依据B型材料单价比A型材料单价贵15元这一条件列出分式方程，通过解方程得出结果.
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