2024-2025学年广东省东莞市翰林高级中学高二（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年广东省东莞市翰林高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线√ 3 + + 1 = 0的倾斜角为( )
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
2.已知向量 = (1, 3, 2), = (3,2, 5)，则下列结论正确的是( )
A. // B. ⊥
C. = ( 2, 5, 3) D. | | = √ 14
3.已知直线 + 2 4 = 0与直线2 + + + 3 = 0平行，则它们之间的距离为( )
3√ 5 3√ 10
A. √ 5 B. √ 10 C. D.
2 2
4.已知点 (1,0,0)， (1,0,2)， (1,1,1)，则点 到直线 的距离是( )
A. 1 B. √ 2 C. 2√ 2 D. 4
5.如图，某圆锥 的轴截面 是等边三角形，点 是底面圆周上的一点，且∠ =
2
，点 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是( )
3
3
A.
4
√ 7
B.
4
1
C.
3
√ 3
D.
2
6.已知点 (2, 3)， ( 5, 2)，若直线 ： + + 1 = 0与线段 (含端点)有公共点，则实数 的取
值范围为( )
4 3 4 3
A. [ , ] B. ( ∞, ] ∪ [ ,+∞)
3 4 3 4
3 4 3 4
C. [ , ] D. ( ∞, ] ∪ [ ,+∞)
4 3 4 3
2 2
7.设双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在双曲线 上，过点 作两条渐近
线的垂线，垂足分别为 ， ，若 1 2 = 0，且3| || | = △ ，则双曲线 的离心率为( ) 1 2
2√ 3
A. B. √ 2 C. √ 3 D. 2
3
8.吹奏乐器“埙”(如图1)在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭
2 2
圆 2 + 2 = 1( ≥ 0, > > 0且为常数)和半圆
2 + 2 = 2( < 0)组成的曲线 如图2所示，曲线 交 轴

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√ 2 1
的负半轴于点 ，交 轴的正半轴于点 ，点 是半圆上任意一点，当点 的坐标为( , )时，△ 的面
2 2
积最大，则半椭圆的方程是( )
4 2 2 16 2 2
A. + = 1( ≥ 0) B. + = 1( ≥ 0)
3 2 9 3
2 2 4 2 4 2 2 2
C. + = 1( ≥ 0) D. + = 1( ≥ 0)
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
1 1
A. 若空间向量 = (1,0,1)， = (0,1, 1)，则 在 上的投影向量为(0, , )
2 2
2 1 1
B. 若对空间中任意一点 ，有 = + ，则 ， ， ， 四点共面
3 6 2
C. 若空间向量 ， 满足 > 0，则 与 夹角为锐角
D. 若直线 的方向向量为 = (2,4, 2)，平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,1)，则 ⊥
10.已知直线 ： + = 0，圆 ： 2 + 2 6 + 5 = 0，点 ( 0, 0)为圆 上一动点，则下列说法正确
的是( )
2 2 0 2√ 5A. 0 + 0的最大值为5 B. 的最大值为 0 5
C. 0 + 0的最大值为3 + 2√ 2 D. 圆心 到直线 的距离最大为4
2 2
11.设 1， 2是椭圆 + = 1的两个焦点， 是椭圆上一点，且| 1| | 2| = 2.则下列说法中正确的是( ) 16 12
1
A. | 1| = 5，| 2| = 3 B. 离心率为 2
C. △ 1 2的面积为6 D. △ 1 2的面积为12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1,3, 2), = (2, 1,3), = (4,3, )，若{ , , }不能构成空间的一个基底，则实数 的值
为______．
13.由直线 2 = 0上的一点 向圆( + 3)2 + 2 = 1引切线，切点为 ，则| |的最小值为______．
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2 2
14.已知 1， 2分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，若椭圆 上存在点 ，使得线段 1
的中

垂线恰好经过焦点 2，则椭圆 的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ 顶点 (3,0)、 ( 1, 3)、 (1,1)．
(1)求 边上中线所在的直线方程；
(2)求 边上高线所在的直线方程；
(3)求△ 的面积．
16.(本小题12分)
已知圆心在直线 + 3 = 0上的圆 经过两点 (0,2)和 (1,3)．
(1)求圆 的方程；
(2)设点 ( , 0)( > 0)，若圆 上存在点 满足| | = √ 2| |，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是直角梯形，其中 // ， ⊥ ， = =
1 1
= 1， = 2， 为棱 上的点，且 = ，点 在棱 上(不与点 ， 重合)．
2 4
(1)求证：平面 ⊥平面 ．
(2)求二面角 的平面角的余弦值．

(3)直线 能与平面 垂直吗？若能，求出 的值；若不能，请说明理由．

18.(本小题12分)
2 2
在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (√ 3, 0)，短轴长为2.过点 且不平行
于坐标轴的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
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(2)证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值；
(3)求△ 面积的最大值．
19.(本小题12分)
《瀑布》(图1)是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，
但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外
的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正
方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”(图2)
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形 ， = 1，
2，3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 ， ，将极点 1， 1，
分别与正方形 2 2 2 2的顶点连线，取其中点记为 ， ， = 1，2，3，4，如(图3).埃舍尔多面体可视
部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”
构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥 1 1 1 2 2与 2 2 1 3 1
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(1)求异面直线 1 2与 1 2成角余弦值；
(2)求平面 1 1 1与平面 1 2 2的夹角正弦值；
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案)．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】5
√ 46
13.【答案】
2
1
14.【答案】[ , 1)
3
15.【答案】解：△ 顶点 (3,0)、 ( 1, 3)、 (1,1)．
1+1 3+1
(1) 边的中点 ( , )，即 (0, 1)，
2 2
+1 0
故直线 ： = ，即 ： 3 3 = 0．
0+1 3 0
3 1 1 1
(2) = = 2，故 AE 的斜率 1 1 = = ， 2
1
故直线 ： = ( 3)，即 ： + 2 3 = 0．
2
(3)由(2)可知 = 2，由点斜式即可得 ： 1 = 2( 1)，即 ：2 1 = 0，
|2×3 0 1|
三角形的高是点 到直线 的距离，所以 = = = √ 5，
√ 22+11
| | = √ ( 1 1)2 + ( 3 1)2 = 2√ 5，
1 1
△ = | | = × 2√ 5 × √ 5 = 5． 2 2
1 5
16.【答案】解：(1)设 (0,2)和 (1,3)的中点为点 ，则 点坐标为( , )，易知
2 2
= 1，
5 1
则过 点且与直线 垂直的直线方程为 = ( 1)( )，
2 2
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即 + 3 = 0，
又圆心也在直线 + 3 = 0上，
+ 3 = 0 = 0
联立{ ，解得{ ，
+ 3 = 0 = 3
即圆心为 (0,3)，又易知| | = 1，
因此圆 的方程为 2 + ( 3)2 = 1；
(2)设 ( 0, 0)，
由题圆 上存在点 满足| | = √ 2| |，可得√ ( 20 ) +
2
0 = √ 2√
2
0 +
2
0，
( 2 2 2 2 2 2 2 2 20 ) + 0 = 2( 0 + 0 )， 0 + 2 0 + 0 = 2 0 + 2 0，
化简得( 0 + )
2 + 20 = 2
2，
可知点 轨迹是以( , 0)为圆心，以√ 2 为半径的圆 1，
依题意可知圆 与圆 1有公共点，即|√ 2 1| ≤ | 1| = √ 2 + 9 ≤ √ 2 + 1，
解得√ 10 √ 2 ≤ ≤ √ 10 + √ 2．
即实数 的取值范围为[√ 10 √ 2, √ 10 + √ 2].
17.【答案】解：(1)证明：因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ ，则以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
1
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (1, , 0)， (0,1,0)， (1,2,0)， (0,0,2)，
2
所以
1
= (1, , 0)， = (1,2,0)， = (0,0,2)，
2
所以 = 0， = 1 1 = 0，
所以 ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)知
1
= (1, , 0)是平面 的一个法向量， = (0,1, 2)， = (1,2, 2)，
2
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设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
⊥ = 0 2 = 0则{ ，所以{ ，即{ ，
⊥ = 0 + 2 2 = 0
令 = 1，则 = 2， = 2，所以 = (2, 2, 1)，
2+1 2√ 5
所以cos
, = = =
| |×| | 5 5 ， √ ×√ 9
4
又由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的平面角的余弦值为2√ 5．
5
1
(3)由(1)得 (1,2,0)， (0,0,2)， (1, , 0)， = ( 1, 2,2)，
2

设 = (0 < < 1)，则 = = ( , 2 , 2 )，可得 (1 , 2 2 , 2 )，

所以
3
= ( , + 2 , 2 )，
2
由(2)知 = (2, 2, 1)是平面 的一个法向量，
若 ⊥平面 ，可得 // ，
3
则 +2 2 2 = = ，该方程无解，
2 2 1
所以直线 不能与平面 垂直．
18.【答案】(1)解：由已知可得 = √ 3, 2 = 2，则 = 1，
= √ 2 + 2 = √ 1 + 3 = 2．
2
∴椭圆 的方程为： + 2 = 1；
4
+ +
(2)证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 (
1 2 , 1 2)，
2 2
∵ ， 两点在椭圆上，
21 + 21 = 1 + 1
∴ { 42 ，两式相减并整理得：
1 2 1 2 = ，
+ 42 1 2 1 2+ 2
4 2
= 1
1+ 2 0 +
而直线 的斜率为 2 1 2 = 1+ = ， 2 0 1+ 2
2

直线 的斜率为 = 1
2 1
，则 = ． 1 2 4
1
故直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值 ；
4
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(3)解：∵直线 的斜率不为0，∴设直线 的方程为： = + √ 3，
2
+ 2 = 1
联立{ 4 ，得：( 2 + 4) 2 + 2√ 3 1 = 0，
= + √ 3
2√ 3 1
可得 1 + 2 = , 1 2 = ， 2+4 2+4
∴ | | = √ 1 + 2 = √ 1 + 2√ ( 1 + 2)
2 4 1 2
2√ 3 1 4(1+ 2)
= √ 1 + 2√ ( )22 4( 2 ) = ， +4 +4 2+4
| √ 3| √ 3
设点 到直线 的距离为 ，则 = = ，
√ 2+1 √ 2+1
1 1 4(1+ 2) √ 3 √ 1+ 2
即 △ = | | = . = 2√ 3 ， 2 2 2+4 √ 2+1 2+4
令√ 1 + 2 = ( ≥ 1)，则 2 = 2 1，
1 1
∴ △ = 2√ 3 2 = 2√ 3 3 ≤ 2√ 3 = 1 +3 + 2√ 3 ，

3
当且仅当 = ，即 = √ 3，则 2 = 2时取等号，
∴△ 面积的最大值为1．
19.【答案】解：(1)由题意可知， 2， 2， 1两两垂直，且 2 =
2 = 1 = 1，
分别以 , , 2 2 1的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角
坐标系，
则由题意可得： (0,0,0)， 2(1,0,0)， 2(0,1,0)， 1(0,0,1)，
2(1,1,0)， 1(1,0,1)， 2(1, 1,0)， 1(0,0, 1)，
1 1 1 1 1 1
又 1， 2分别是 1 2， 1 2的中点，∴ 1( , , )， 2( , , )． 2 2 2 2 2 2
∴ = (1, 1, 1)， 1 2 1 2 = (1,1,1)，

1

2 1
1 1
∴ cos < 21 2 , 1 2 >= = = ， | || 1 2 1 2| √ 3×√ 3 3
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1
∴异面直线 1 2与 1 2成角余弦值为 ； 3
1 1 1 1 1 1(2)由(1)可得 1 1 = (1,0,0)， = ( , , )， = (0,0,1)， 1 1 2 1 2 2 = ( , , )， 2 2 2 2 2 2
设 1 = ( 1, 1, 1)是平面 1 1 1的一个法向量，
1 = 0
则{ 1 1
1 = 0，∴ {1 1 1 ，取 1 = (0,1, 1)，
= 01 1 1 = 0 2 1 2 1 2 1
设 2 = ( 2, 2, 2)是平面 1 2 2的一个法向量，
= 0 2 = 0
则{ 2 2 1 ，∴ { 1 1 1 ，取 2 = (1,1,0)，
2 2 = 0 2 + 2 + 2 = 02 2 2 2
1 1
∴ cos < 1 , 2 >=
1 2 = = ，
| 1 || 2 | √ 2×√ 2 2
∴平面 1 1 1与平面 1 2 2的夹角正弦值为
1 √ 3
√ 1 ( )2 = ；
2 2
1 1 1(3) ∵ 1 2 = (1,0, 1)， 1 2 = (0,1,0)， 1 1 = ( , , )， 2 2 2
1 1 1 2 2 = ( , , )，
1 1 1
1 1 = ( 1,0,0)， 2 2 2 1 2 = ( , , )
，
2 2 2
∴ = 2 2 1 1，
∴ 2 2// 1 1，且 2 2 = 1 1，
∴四边形 1 1 2 2为平行四边形，
又 1 2 1 2 = (1,0, 1) (0,1,0) = 0，∴ 1 2 ⊥ 1 2，
∴四边形 1 1 2 2为菱形，又| 1 2 | = √ 2，| 1 2 | = 1，
1
∴
√ 2
1 1 = × | 1 2 2 2 2 | × | 1 2 | =
，
2
设 3 = ( 3, 3, 3)是平面 1 1 2 2的一个法向量，
3 1 2 = 3 3 = 0
则{ 1 1 1 ，取 3 = (1,0,1)，
3 1 1 = = 02 3 2 3 2 3
又 1 1 = ( 1,0,0)，
1 √ 2
∴点 1到平面 1 1 2 2的距离 = |
1 1 3 | = | | = ，
| 3 | √ 2 2
∴四棱锥 的体积 1 √ 2 √ 2 11 1 1 2 2 1 = × × = ， 3 2 2 6
∵ = ( 1,0,0)，
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 = ( , , )， 1 1 = ( , , )， 2 2 2 2 2 2
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1
1 1 1 2 √ 3
∴ 在
2
1 1 1 2方向上的投影为
= =
| ， 1 2| √ 3 3
4
∴ √ 6点 1到直线 的距离 = √ | |2 |
1 1 1 2
1 2 1 1 1 |
2 = ，
| 1 2| 3
同理可得点 1到直线
√ 6
1 1的距离 2 = ， 3
∴四棱锥 1
1 1 √ 3 √ 6
1 1 2 2的侧面积 1 = × | 1 2 | × 1 × 4 = × × × 4 = √ 2， 2 2 2 3
∴埃舍尔体的表面积为12 1 = 12√ 2，体积为12 1 = 2．
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