湘教版（2024）七下2.2立方根 同步探究学案

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第二章 实数
2.2.立方根
学习目标与重难点
学习目标：
1.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根
2.能运用类比平方根的学习方法学习立方根以及开立方运算，并能区分立方根于平方根的不同
3. 会用计算器计算一个数的立方根。
学习重点：
立方根的概念与性质；会开立方
学习难点：
通过类比、讨论、总结立方根的性质与规律，并可以熟练运用
预习自测
一、单选题
1．关于立方根，下列说法正确的是（　　）
A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有
C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根
二、填空题
2．立方根等于本身的非负数是 ．
3．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是
4．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的 ．
教学过程
一、创设情境、导入新课
请同学们看课本第35页
说一说：
已知一个正方体的体积为8 cm3，如图2. 2-1所示，则它的棱长是多少？
回答：
二、合作交流、新知探究
探究一：立方根的概念
类比平方根的概念，你能自己说出立方根的概念了吗？
探究二：学会求立方根和用计算器求数的立方根
例题1：分别求下列各数的立方根：
（1） 1； （2） ； （3） 0； （4） -0. 064.
例题2：用计算器求下列各数的立方根：
（1） 343； （2）-1. 331
例题3：用计算器求 的近似值（结果精确到0. 001）
探究三：立方根的性质
做一做：
下列说法是否正确？请举例说明.
（1） 一个数a先开立方，然后再立方，最后的结果等于a；
（2） 一个数b先立方，然后再求立方根，最后的结果等于b。
三、自主检测
一、单选题
1．的立方根是（ ）
A． B．4 C．16 D．
2．已知的立方根是，则的算术平方根是（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
3．若x，y都是实数，且，则的立方根为 ．
4．给出下列说法：
①只有正数才有平方根； ②的算术平方根是；
③负数没有立方根； ④的立方根是；
⑤面积为的正方形的边长为； ⑥的平方根是．
其中，正确的有 ．(填序号)
三、解答题
5．已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根．
知识点总结
1.立方根的概念：如果有一个数 b，使得 = a，那么 b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根. a的立方根记作 ，读作“立方根号a”或“三次根号a”.
2.开立方运算：
(1)符号问题：
立方根的结果可以是正数、负数或零，这取决于被开方数的符号。具体来说，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。
(2)唯一性：
对于任意实数a，其立方根3a 是唯一的。这与平方根不同，因为负数没有实数平方根。
(3)运算顺序：
在涉及多个运算的表达式中，需要遵循运算的优先级，即先乘除后加减，再进行开方或开立方运算。如果有括号，需要先计算括号内的表达式。
(4)近似计算：
对于某些不能精确表示为有理数或整数的立方根，需要进行近似计算。这通常使用计算器或查表来完成。
3.立方根的性质：立方根具有一些基本的性质，如=a（a为任意实数）， = X（a和b同号），以及 =a等。这些性质在运算中非常有用。
4.与平方根的区别(1) a有平方根的条件是a≥0，因为正数、零的平方都是非负数，而负数的平方是正数，所以负数没有实数平方根。a有立方根的条件是a为全体实数，即正数、负数、零都可以开立方。
(2) 平方根：正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数在实数范围内没有平方根。
立方根：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。在实数范围内，任何实数的立方根都是唯一的。
答案
预习：
1．C
【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
各项利用立方根定义判断即可．
【详解】解：A、正数有一个立方根，错误；
B、立方根等于本身的数有，，，错误；
C、负数的立方根是负数，正确；
D、负数有立方根，错误，
故选：C．
2．0和1
【分析】此题考查了立方根，根据立方根的意义进行解答即可．
【详解】解：立方根等于本身的非负数是0和1，
故答案为：0和1
3． 正数 0 负数
4．立方根
自主：
1．A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据题意可得，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】解：，
的立方根是．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵的立方根是，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根是，
故选：．
3．3
【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可．
本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
4．④⑤/⑤④
【分析】题目主要考查平方根及算术平方根、立方根的运算，根据这些运算性质依次判断即可．
【详解】解：①0和正数有平方根，故原说法错误；
②当时，a的算术平方根是，故原说法错误；
③负数有立方根，故原说法错误；
④的立方根是，故原说法正确；
⑤面积为的正方形的边长为，故原说法正确；
⑥的平方根是，故原说法错误；
故答案为：④⑤．
5．
【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根，理解其概念是解题的关键；由算术平方根与立方根得，则可求得x与y的值；则可求得的平方根．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
则，9的平方根是．
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