【精品解析】综合与实践—广东省（北师版）九（上）数学期末复习

综合与实践—广东省（北师版）九（上）数学期末复习
一、综合与实践
1．（2024九上·禅城期末）综合与实践
课题：小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务.
现有条件： 一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房.
（1）如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙ABEF　 　米处；
（2）小明选择按比例制作视力表完成该任务.在制作过程中发现视力表上视力值V 和该行字母E的宽度a 之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母 E 的宽度a 如上中图所示，视力表上部分视力值 V和字母E 的宽度a 的部分对应数据如右上表所示：
①请你根据表格数据判断(说明理由)并求出视力值 V与字母E 宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E 的宽度a 的值17.5mm， 请问该行对应的视力值是多少
【答案】（1）1.2
（2）解：①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，
设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0）
将V=0.1，a=70代入，解得k=7.
∴视力值V和字母E的宽度a(mm)的函数关系式为V=(a>0).
②将a=17.5代入V=，解得V=0.4
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
5-3.8=1.2
∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处
故答案为：1.2
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求出答案.
（2）①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0），根据待定系数法将V=0.1，a=70代入即可求出答案.
②将a=17.5代入函数关系式即可求出答案.
2．（2024九上·禅城期末）为弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，展现对家乡、对祖国的热爱之情，某校组织了有关佛山非物质文化进产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告.请根据报告中提供的信息，解答下列问题：
课题 佛山剪纸知识竞答成绩调查报告
问题 展示 佛山剪纸，在制作上主要有哪些方式 佛山剪纸的制作材料有哪些 ……
数据 的整 理与 描述
成绩/分 频数/人
频率 　
成绩/分 频数/ 人
频率
第1组.90≤x≤100 12 0.2 第4组.60≤x<70 m 0.117
第2组.70≤x<90 20 0.333 第5组.x<60 6 0.1
第3组.70≤x<80 15 0.25
调查 意义 了解佛山剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们对家乡的热爱.
调查 结果 　
（1）上述调查报告的数据收集方法是：　 　 (用“普查”或“抽样调查”填空)；
（2）调查报告中的m 值是　 　 ；在调查得到的数据中，中位数应该在第　 　组；
（3）将拍摄的“花”、 “竹”、“鸟”、 “兔”四张剪纸照片(除正面图案不同外，其余都相同)，背面朝上洗匀，甲、乙两同学随机各抽一张照片(不放回)做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的概率.
【答案】（1）抽样调查
（2）7；2
（3）解：列表如下：
可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果有6种，
(恰有1人抽到“花”)==，
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
上述调查报告的数据收集方法是抽样调查
故答案为：抽样调查
（2）由题意可得：
总人数为：12÷0.2=60人
∴m=60-12-20-15-6=7
将数据按照从小到大的顺序排列，第30和31位都在第二组
∴中位数在第2组
故答案为：7，2
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可求出答案.
（2）根据第1组频数和频率可得总人数，再根据总人数减去其他组人数即可得m值，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）列表，求出所有等可能结果，再求出其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
3．（2024九上·南海期末） 综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.
证明与计算：
（1）连接，证明：；
（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
【答案】（1）证明：连接，
∵立杆相交于点，
.
又，
，
，
同理可得AC∥BD
（2）解：如图，过点作于点，过点作
，由（1）已证
，
是等腰三角形.
，
是边上的中线，
.
在中，根据勾股定理，得
.
，即，
解得，
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作，则，由（1）已证，则由相似三角形判定定理可得，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形.，则EN=16，再根据勾股定理可得ON=30，再根据相似三角形相似比可得，代值计算即可求出答案.
4．（2024九上·南海期末） 如图①，矩形的边，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点.
图① 图②
（1）数学思考：填空：图①中　 　；（用含的代数式表示）
（2）深入探究：如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：.
【答案】（1）
（2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点，
，
∵四边形是矩形，
，
由旋转得：
在与中，，
.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（1）∵将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形
∴
∵∠G=90°，∠F=90°
∴四边形AHFG中
∠AHF=
故答案为：
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据矩形性质可得∠G=90°，∠F=90°，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得AH=CH，再根据矩形性质可得，再根据旋转性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则EH=DH，即可求出答案.
5．（2023九上·高州期末）综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．
图1 图2 图3 图4
【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，．
【计算与分析】
（1）当伞完全张开后，求的长度；
（2）当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图所示，连结，过点作于，
，
，
又如图3，连接，
伞在撑开过程中，点是中点，等于一半，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∴的长度为
（2）解：，
所以遮挡住的阴影部分的面积是
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的面积
【解析】【分析】（1）连结，过点作于，由等腰三角形的三线合一可得CD=2CH；连接，由题意易证四边形ABCH是矩形，由矩形的性质可得AH=BC，结合已知用勾股定理可求得CH的值，然后根据CD=2CH可求解；
（2）根据圆的面积=πR2=πCH2计算即可求解.
6．（2023九上·高州期末）生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
（只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄 A B C D ……
个体数量 92 187 x y ……
注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．
（1）年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则　 　，　 　（其中）．
（2）若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
（3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率．
【答案】（1）96；94
（2）解：（条），
答：湖泊里一共约有940条鱼
（3）解：根据题意可画树状图如下：
由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，
抓到的是和年龄的鱼的概率为
【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；概率公式；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵年龄为，，的个体数量的平均数为125，
∴，
解得：x=96；
∵年龄在，，，的个体数量的中位数是95，且92＜y＜96，
∴，
解得：y=94.
故答案为：第一空：96；第二空：94.
【分析】（1）根据平均数的计算公式可得关于x的方程，解方程可求解；根据中位数的定义可得关于y的方程，解方程即可求解；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
7．（2024九上·顺德期末）【综合与探究】问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
（2）应用拓展：如图3，在中，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．
①若，求的长；
②若，求的长（用含的式子表示）．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
（2）解：①将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
由（1）可知，，
又，
，
②将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
，
由（1）可知，，
又
，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，则CE=CA，即，即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，由（1）可知，代值计算可得BD=2CD，再根据勾股定理可得BC，根据边之间的关系即可求出答案.
②根据折叠性质可得，根据锐角三角函数定义可得，由（1）可知，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2024九上·清远期末） 在一堂数学课上， 张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形， 甲同学很快想了一个办法， 他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形 (见图 1)； 乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形 (见图 2)； 丙同学也不甘示弱， 他沿矩形的对角线 折出 ，得到四边形 (见图 3). 请解答下列问题：
（1）关于甲、乙两位同学的做法描述正确的是____
A．甲、乙都得到菱形 B．甲、乙都没得到菱形
C．只有甲得到菱形 D．只有乙得到菱形
（2） 证明丙同学得到的四边形 是菱形.
【答案】（1）A
（2）证明：如图3，由折叠得，∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB
∵ADIIBC，
∴∠DAC= ∠ACB
∴∠CAE=∠ACF
∴AEIICF
∵AFIICE
∴四边形AECF是平行四边形
∵∠CAE=∠DAC，∠ACE=∠DAC
∴∠CAE=∠ACE
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAF=∠B=90°
由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°
∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°
∴四边形ABEF是矩形
∵AF=AB
∴四边形ABEF是正方形
∴四边形ABEF是菱形
如图2，连接AC、BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC，CD、AD的中点
，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形
∴甲、乙都得到菱形
故答案为：A
【分析】（1）甲：根据矩形性质可得∠BAF=∠B=90°，由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°，再根据矩形判定定理可得四边形ABEF是矩形，由AF=AB可得四边形ABEF是正方形，再根据菱形判定定理即可；乙：连接AC、BD，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得EF=GH=EH=GF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB，再根据直线平行性质可得∠DAC= ∠ACB，则∠CAE=∠ACF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，再根据角之间的关系可得∠CAE=∠ACE，则AE=CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
9．（2022九上·南山期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即（ ▲ ）=4；
第二步：利用四个面积可用表示为 ▲ 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数 ▲ ， ▲ ，求得方程的一个正根为 ▲ ．
【答案】解：【类比迁移】：第一步：x+3；第二步：x(x+3)；
如图：
第三步：
图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
表示边长，
，即；
【拓展应用】2；3；x=1
【知识点】列式表示数量关系；定义新运算；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）；
第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，
故答案为：，；
【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．
∴长方形的长为，宽为x，即：，
∴，
∴，，方程的一个正根为：．
故答案为：2，3，．
【分析】【类比迁移】参照题干中的计算方法求解即可；
【拓展应用】根据题意可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后求出x的值即可。
10．（2024九上·南山期末）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形 EFGH 为矩形，请你帮助他 们解决下列问题：
（1）【初步尝试】：他们将矩形 EFGH 的顶点 E、G 分别在如图（1）所示的 ABCD 的边 AD、BC 上， 顶点 F、H 恰好落在 ABCD 的对角线 BD 上，求证：BF＝DH
（2）【深入深究】： 如图 2， 若口 为菱形， ， 若 ， 求 的值；
（3）【拓展延伸】：如图（3），若 ABCD 为矩形，AD=m；AB=n 且 AE=ED，请直接写出此时的值是 （用含有m，n的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
在△BGF和∠DEH中，
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BF=DH；
（2）如图2，连接EG交BD于点0，过点E作EH⊥BD于N，连接AO，
设AB=2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=2a，∠ADB=∠ABD=30°，
∴AE=DE=a，
∵EN⊥BD，∠ADB=30°，
∴，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EO=FO=HO=GO，
∵BF= DH，
∴BF+FO=DH+HO，
∴BO = DO，
∴，
∴EG=2EO=2a=FH，
∵AB=AD，BO=DO，
∴AO⊥BD，
又∵∠ADB=30°，
∴AD=2AO，，
∴AO=a，，，
∵，
，
∴；
（3）连接EG交BD于点O，过点E作EH⊥BD于N，
同理可得：，，
∵AD=m，AB=n，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴.
【知识点】全等三角形的应用；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】(1)由“AAS”可证△BGF≌△DEH，可得BF=DH；
(2)由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出FH，EN，BD，AO的长，即可求解；
(3)用m，n表示FH，EN，BD的长，即可求解.
11．（2024九上·南山期末）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第 122 页第 21 题：“怎样把一块三角形的 木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考。
（1）【特例感知】：若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形， ，根据 “相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形 DEFG 的边长　 　.
（2）【问题解决】：若木板是面积仍然为 1.5m 2 的锐角三角形 ABC，按照如图（乙）所示的方式加工，记所 得的正方形 DEFG 的面积为 S，如何求 S 的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设 边上的高 ， 则 ， 由 得： ， 从而可以求得 ， 若要内接正方形面积 最大， 即就是求 的最大值， 因为 为定值， 因此只需要分母最小即可。
小组同学借鉴研究函数的经验， 令 . 探索函数 的图象和性质：
①下表列出了 y 与 a 的几组对应值，其中m=____.
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是____。
A．当 a＞1时， y 随 a 的增大而增大.
B．该函数的图象可能与坐标轴相交.
C．该函数图象关于直线y=a对称.
D．当该函数取最小值时，所对应的自变量 a 的取值范围在1～ 2。
【答案】（1）
（2）D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：(1)过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，如图，
设DE=x，则DG=MN=x.
∵S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，
∴，
∴BC =2m.
∴.
∴，
∴BN=1.2m.
∴BM=BN-MN=(1.2-x)m，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
(2)①当a=时，.
故答案为：.
②在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象：
③由图象知：当a >1时，y随a的增大而增大，
∴A选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不可能与坐标轴相交，
∴B选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不是轴对称图形，
∴C选项的结论不正确；
由图象知：当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1~ 2之间，
∴D选项的结论正确.
故答案为： D.
【分析】(1)过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)将a值代入运算即可；
(3)画出函数的图象，结合函数的图象回答即可.
12．（2024九上·禅城期末）综合应用
【问题情境】
在正方形纸片ABCD中 ，AB=6，点P是边AD 上的一个动点，过点P作PQ∥AB 交 BC于点Q，将正方形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C落在线段PQ上，点B的对应点为B'，折痕所在的直线交边AB于点E、交边 CD于点F，EF与PQ交于点N.
【猜想证明】
（1）如图，连接CN，则四边形CNC'F 是_▲_形，请说明理由.
（2）如图，当E与B重合时，
①若AP=3，求 CF的长.
② 记AP 的长度为y，线段CF长度为x，求y与x之间的关系式，并直接写出当F是CD的三等分点时， AP 的长度.
【答案】（1）解：四边形CNC'F 是菱形，理由如下.
连接CC'
由折叠性质可知，CO=C'O，C'F=CF
又∵PQ∥AB
∴C'N∥CF
∴∠NC'O=∠FCO
∵∠C'ON=∠COF
∴△C'ON≌△COF
∴C'N=CF
∴四边形CNC'F是平行四边形
又∵C'F=CF
∴四边形CNC'F 是菱形
（2）解：①过点C'作MN∥AD
由题意可知MC'=C'N=3，BC'=6
∴BM=3
易证△BC'M∽△C'FN
则，即
∴C'F=
∴CF=
②由①可知=，即 = ，
∴BM= ，FN=
∵BM=CF+FN
∴ =x+
∴y=
当F是CD的三等分点且靠近C点时，CF=x=2，y=
当F是CD的三等分点且靠近D点时，CF=x=4，y=
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接CC'，根据折叠性质可得CO=C'O，C'F=CF，再根据直线平行性质可得C'N∥CF，则∠NC'O=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△C'ON≌△COF，则C'N=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形CNC'F是平行四边形，再由菱形判定定理即可求出答案.
（2）①过点C'作MN∥AD，由题意可知MC'=C'N=3，BC'=6，则BM=3，根据相似三角形判定定理可得△BC'M∽△C'FN，则则，代值计算即可求出答案.
②由①可知=，即 = ，则BM= ，FN=，再根据边之间的关系可得y=，根据三等分点分情况讨论即可求出答案.
13．（2024九上·南海期末） 综合运用
在矩形中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点.
图① 图② 图③
（1）如图①，当矩形是正方形时，若点在线段上，线段与的数量关系是　 　（填“相等”或“不相等”）；
（2）如图②，当点在线段上，且，以点为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交于点，求的值；
（3）如图③，若点，点，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，，连接，取的中点，连接，设，，求关于的函数关系式.
【答案】（1）相等
（2）解：是直角三角形
又
∴四边形是平行四边形
，
，
，
设，则，
，

（3）解：
，
，
过点作，交于点，过点作，垂足为
是的中点，
是的中位线
，
又
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵OF⊥AE
∴∠OAD+∠AOD=90°
∵∠AOD+∠COF=90°
∴∠OAD=∠COF
∵AO=CO，∠AOE=∠OCF
∴△AOE≌△OCF（ASA）
∴AE=OF
故答案为：相等
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠OAD=∠COF，再根据全等三角形判定定理可得△AOE≌△OCF（ASA），则AE=OF，即可求出答案.
（2）根据直角三角形性质可得，再根据直线平行判定定理可得FH∥OE，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，设，则，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，，即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，过点作，交于点，过点作，垂足为，根据三角形中位线性质可得，再根据边之间的关系可得，由直线平行性质可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理即可求出答案.
14．（2024九上·电白期末）问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．
【答案】（1）解：如图2中，在上截取，使得．
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
∵，，
，
∵，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（2）解：结论：；
理由：如图1中，在上截取，使，连接．
∵，，
．
∵，
，
．
∵，，
．
∵，
，
∴，
；
问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P．
∵，，
，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
，，
∴．
∵，
∴由（2）知，，
∴，
又∵，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先在AB上取点J，使得BJ=BE，结合已知条件可知AJ=EC，∠CEF=∠EAJ，根据全等三角形的判定定理可知，全等三角形对应边和对应角分别相等，可知∠ECF=∠AJE，进而求出∠GCF即可；
(2)和(1)一样，在在AB上取点N，使得BN=BE，结合已知条件可知AN=EC，∠CEF=∠EAN，根据全等三角形的判定定理可知，全等三角形对应边和对应角分别相等，可知∠ECF=∠ANE，进而求出∠GCF即可；
问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，根据菱形的性质特点，四条边分别相等以及对边平行可知AD=AB=3，∠ADC=∠ADP，进而知∠PAD=30°，含30°的直角三角形对边等于斜边的一半，以及勾股定理可求出PD，结合相似三角形的判定定理推出，利用对应边成比例求出CF即可.
15．（2024九上·信宜期末）综合与实践
（1）探究发现：如图1，在的网格图中，在线段上求一点，使得；小明同学发现，先在点的左侧取点，使为1个单位长度，在点的右侧取点，使为2个单位长度，然后连接交于点（如图1），就可以得到点了．请你验证小明的做法，并求出的值．
（2）请你在图2中求作一点，使得．
【答案】（1）解：∵，
∴△BCP∽△ADP，
∴，
∴；
平移至，此时，如图，作中边上的高，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∴；
（2）解：点如图所示，
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定和性质即可证明，由平移的性质得到∠APC=∠ABE，利用等积法求得中边上的高，再利用勾股定理求得，结合三角函数的定义，即可得解；
（2）仿照（1）的作法，根据相似三角形的性质，即可求解．
16．（2024九上·深圳期末）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
（1）【初步尝试】：他们将矩形的顶点E、G分别在如图（1）所示的的边、上，顶点F、H恰好落在的对角线上，求证：：
（2）【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；
（3）【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是（用含有m，n的代数式表示）.
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，即
∵四边形是矩形
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：连接交于点O，连接、
∵四边形是菱形，
∴，即，
在中，E为中点，
∴，
∵，
∴，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
过点E作，
∴，
∴
∴
∵
∴
（3）解：
，
，
∴，
∴，
，
∴.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，矩形的性质和平行线的性质推出∠1=∠2，∠5=∠6，根据AAS判定△BFG≌△DHE，即可求得；
（2）根据菱形的性质可得，，根据直角三角形的斜边上的中线可得，根据矩形的性质可得，过点E作EM⊥EH，先求出△EFH的面积进而得到矩形的面积，再计算菱形的面积，再作比值即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质可得，再根据矩形的面积公式计算并求比值即可.
17．（2024九上·深圳期末）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考.
（1）【特例感知】：若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是　 　.
（2）【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为S，如何求S的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设，、边上的高，则，∴，由-得：，从而可以求得，若要内接正方形面积S最大，即就是求x的最大值。因为为定值，因此只需要分母最小即可.
小组同学借鉴研究函数的经验，令.探索函数的图象和性质：
①下表列出了y与a的几组对应值，其中 ▲ ；
a … 1 2 3 4 …
y … m 4 4 …
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 ▲ .
A.当时，y随a的增大而增大.
B.该函数的图象可能与坐标轴相交.
C.该函数图象关于直线对称.
D.当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在之间.
【答案】（1）m；
（2）解：①；
②如图所示，即为所求
③D.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）过点B作BQ⊥AC，交DE于点MP，交AC于点Q，如图，
∵ S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，
∴ BC=2 m，
∵ ∠B=90°，
∴ AC==2.5 m，
∴ S△ABC=AC×BN=1.5m2，
∴ BQ=m，
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ DE=DG=x m，DE∥GF，
∴ ∠BDE=∠BAC，
∵ ∠DBE=∠ABC，
∴ △DBE∽△ABC，
∵ 相似三角形对应的高的比等于相似比，
∴，即，
解得，x=m；
故答案为：m；
（2） ① 将a= 代入 得，y=；
③ 根据函数图象可得a＞1时，y随x的增大先减小后增大，故A项不符合题意；
因为a不等于0，所以函数图象与y轴无交点；若y=0，则a2=-3不成立，故函数图象与x轴也无交点，故B项不符合题意；
函数图象无对称性，故C项不符合题意；
当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在之间，故D项符合题意；
【分析】（1）过点B作BQ⊥AC，交DE于点MP，交AC于点Q，根据勾股定理可得AC，再根据等面积法可得BQ，再根据相似三角形的判定与性质即可求得；
（2）① 将a=1代入y的函数，即可求得m；
② 先描点，再连接，即可求得；
③ 根据函数图象特征对选项逐一判断即可求得.
18．（2023九上·深圳期末）
（1）【模型发现】如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
（2）【深入探究】如图2，等边△ABC中，AB＝3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长．
（3）【应用拓展】如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°，得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若EG=FG，则的值为 　 　．
【答案】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，=，
∴∠BAD＝∠CAE，=，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：连接BE，
∵将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，
∴BD＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3＝AC，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，
∵点D从A运动到C，
∴点E的运动路径长为3；
（3）
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）如图，连接BF，过点F作FH⊥BC于点H，
∵将BE绕着点E逆时针旋转90°，
∴BE=EF，∠BEF=90°，
∴，∠EBF=45°，
∵∠BAC=90，AB=AC，AD⊥BC，
∴，∠ABC =45°=∠EBF=∠BAD=∠ACB，
∴∠ABE=∠CBF，
又∵，
∴△ABE∽△CBF，
∴，∠BCF=∠BAE =45°，
∴，
∵FH⊥BC，
∴∠BCF=∠HFC =45°，
∴HC=HF，
∴，
∴HF=AE，
∵AD⊥BC，HF⊥BC，
∴AD∥HF，
∴，
∴HF=2DE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，，利用相似三角形的判定可得结论；
（2）由旋转的性质可得BD = DE，∠BDE=60°，由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD=CE，即可求解；
（3）通过证明△ABE∽△CBF，可得，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解.
19．（2024九上·清远期末） 探索一个问题： "任意给定一个矩形 ， 是否存在另一个矩形 ， 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 "
（1） 完成下列空格：
当已知矩形 的边长分别为 6 和 1 时， 小明是这样研究的： 设所求矩形 B 的一边是 ， 则另一边为 ， 由题意得方程： ， 化简得：
解得： 　 　， 　 　.
满足要求的矩形 存在.
小红的做法是： 设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组： 消去 化简后也得到： ， (以下同小明的做法)
（2） 如果已知矩形 的边长分别为 2 和 1 时， 请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形 .
（3）在小红的做法中， 我们可以把方程组整理为： ， 此时两个方程都可以看成是函数表达式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题. 仿照这种方法，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象， 其中 和 分别表示矩形 的两边长， 直线经过点 ， 双曲线经过点 ， 请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形 的面积为　 　；周长为　 　.
②满足条件的矩形 的两边长为　 　和　 　.
【答案】（1）2；
（2）解：设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组
消去 化简后得到：2x2-3x+2=0
∵
∴不存在矩形B
（3）8；18；；
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数与一次函数的交点问题；数学思想；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
∵
∴
∴
∴ 满足要求的矩形 存在
故答案为：2，
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5
反比例函数解析式为
联立方程组，整理得：x2-4.5x+4=0
∴x1+x2=4.5，x1·x2=4
∴矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4
∴这个图象所研究的矩形 的面积为8，周长为18
故答案为：8，18
②由①可得，解得：或
∴满足条件的矩形 的两边长为和
故答案为：，
【分析】（1）根据求根公式解方程即可求出答案.
（2）设所求矩形的两边分别是 和 ，根据题意联立方程组可得2x2-3x+2=0，解方程即可求出答案.
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为，联立方程组可得x2-4.5x+4=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=4.5，x1·x2=4，则矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4，结合题意即可求出答案.
②解方程组即可求出答案.
20．（2024九上·深圳）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离.
例如，如图1，，线段AB的长度称为点，与直线之间的距离，当时，线段AB的长度也是与之间的距离.
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点.若，则DE与BC之间的距离是　 　
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点与点，之间的距离是，点与双曲线之间的距离是　 　；
（3）【拓展】按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）
（2），
（3）作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为G、H两点，作OK⊥l5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长.
∵y=-k+n，OK=80，
∴∠POK=45°，
∴，即l5：，
由l5与C2联立得，
解得：，，
∴，，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴；
故答案为：；
(2)把A(1，m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3，
∴A(1，3)，
把A(1，3)代入，得：，
∴k=3，
∴双曲线C1的解析式为，
联立，得：，
即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴B(3，1)，
∴；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x +b，则，
整理得：x2-bx+3=0，
∴Δ=(-b)2-4×1×3=b2-12=0，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴直线FG的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：，；
【分析】(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；
(2)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，则，整理得x2-bx+3=0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；
(3)如图，作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥I4，NH⊥I4，垂足为G、H两点，作OK⊥I5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长，由l5与C2联立得，解方程组即可求得答案.
21．（2022九上·深圳期中）矩形中，，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
（1）【特例证明】如图，当时，求证：；
（2）【类比探究】如图，当时，求的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图，当时，P为边CD上一点，连接AP，PF，，，则BC的长为　 　．
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．．
∵CF平分，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在BA上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵CF平分，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，E是BC边的中点，
∴设
∴，
∴；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：如图所示：连接，延长交于点，
设，则
∵，，
为等腰直角三角形，
，
作交于点N，
，
，
∴，
作，交延长线于M，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
1 / 1综合与实践—广东省（北师版）九（上）数学期末复习
一、综合与实践
1．（2024九上·禅城期末）综合与实践
课题：小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务.
现有条件： 一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房.
（1）如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙ABEF　 　米处；
（2）小明选择按比例制作视力表完成该任务.在制作过程中发现视力表上视力值V 和该行字母E的宽度a 之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母 E 的宽度a 如上中图所示，视力表上部分视力值 V和字母E 的宽度a 的部分对应数据如右上表所示：
①请你根据表格数据判断(说明理由)并求出视力值 V与字母E 宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E 的宽度a 的值17.5mm， 请问该行对应的视力值是多少
2．（2024九上·禅城期末）为弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，展现对家乡、对祖国的热爱之情，某校组织了有关佛山非物质文化进产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告.请根据报告中提供的信息，解答下列问题：
课题 佛山剪纸知识竞答成绩调查报告
问题 展示 佛山剪纸，在制作上主要有哪些方式 佛山剪纸的制作材料有哪些 ……
数据 的整 理与 描述
成绩/分 频数/人
频率 　
成绩/分 频数/ 人
频率
第1组.90≤x≤100 12 0.2 第4组.60≤x<70 m 0.117
第2组.70≤x<90 20 0.333 第5组.x<60 6 0.1
第3组.70≤x<80 15 0.25
调查 意义 了解佛山剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们对家乡的热爱.
调查 结果 　
（1）上述调查报告的数据收集方法是：　 　 (用“普查”或“抽样调查”填空)；
（2）调查报告中的m 值是　 　 ；在调查得到的数据中，中位数应该在第　 　组；
（3）将拍摄的“花”、 “竹”、“鸟”、 “兔”四张剪纸照片(除正面图案不同外，其余都相同)，背面朝上洗匀，甲、乙两同学随机各抽一张照片(不放回)做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的概率.
3．（2024九上·南海期末） 综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.
证明与计算：
（1）连接，证明：；
（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
4．（2024九上·南海期末） 如图①，矩形的边，将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形，与交于点.
图① 图②
（1）数学思考：填空：图①中　 　；（用含的代数式表示）
（2）深入探究：如图②，当点在对角线的垂直平分线上时，连接，求证：.
5．（2023九上·高州期末）综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．
图1 图2 图3 图4
【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，．
【计算与分析】
（1）当伞完全张开后，求的长度；
（2）当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．
6．（2023九上·高州期末）生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
（只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄 A B C D ……
个体数量 92 187 x y ……
注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．
（1）年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则　 　，　 　（其中）．
（2）若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？
（3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率．
7．（2024九上·顺德期末）【综合与探究】问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
（1）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
（2）应用拓展：如图3，在中，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．
①若，求的长；
②若，求的长（用含的式子表示）．
8．（2024九上·清远期末） 在一堂数学课上， 张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形， 甲同学很快想了一个办法， 他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形 (见图 1)； 乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形 (见图 2)； 丙同学也不甘示弱， 他沿矩形的对角线 折出 ，得到四边形 (见图 3). 请解答下列问题：
（1）关于甲、乙两位同学的做法描述正确的是____
A．甲、乙都得到菱形 B．甲、乙都没得到菱形
C．只有甲得到菱形 D．只有乙得到菱形
（2） 证明丙同学得到的四边形 是菱形.
9．（2022九上·南山期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．
【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即（ ▲ ）=4；
第二步：利用四个面积可用表示为 ▲ 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；
第三步：
【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数 ▲ ， ▲ ，求得方程的一个正根为 ▲ ．
10．（2024九上·南山期末）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形 EFGH 为矩形，请你帮助他 们解决下列问题：
（1）【初步尝试】：他们将矩形 EFGH 的顶点 E、G 分别在如图（1）所示的 ABCD 的边 AD、BC 上， 顶点 F、H 恰好落在 ABCD 的对角线 BD 上，求证：BF＝DH
（2）【深入深究】： 如图 2， 若口 为菱形， ， 若 ， 求 的值；
（3）【拓展延伸】：如图（3），若 ABCD 为矩形，AD=m；AB=n 且 AE=ED，请直接写出此时的值是 （用含有m，n的代数式表示）
11．（2024九上·南山期末）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第 122 页第 21 题：“怎样把一块三角形的 木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考。
（1）【特例感知】：若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形， ，根据 “相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形 DEFG 的边长　 　.
（2）【问题解决】：若木板是面积仍然为 1.5m 2 的锐角三角形 ABC，按照如图（乙）所示的方式加工，记所 得的正方形 DEFG 的面积为 S，如何求 S 的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设 边上的高 ， 则 ， 由 得： ， 从而可以求得 ， 若要内接正方形面积 最大， 即就是求 的最大值， 因为 为定值， 因此只需要分母最小即可。
小组同学借鉴研究函数的经验， 令 . 探索函数 的图象和性质：
①下表列出了 y 与 a 的几组对应值，其中m=____.
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是____。
A．当 a＞1时， y 随 a 的增大而增大.
B．该函数的图象可能与坐标轴相交.
C．该函数图象关于直线y=a对称.
D．当该函数取最小值时，所对应的自变量 a 的取值范围在1～ 2。
12．（2024九上·禅城期末）综合应用
【问题情境】
在正方形纸片ABCD中 ，AB=6，点P是边AD 上的一个动点，过点P作PQ∥AB 交 BC于点Q，将正方形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C落在线段PQ上，点B的对应点为B'，折痕所在的直线交边AB于点E、交边 CD于点F，EF与PQ交于点N.
【猜想证明】
（1）如图，连接CN，则四边形CNC'F 是_▲_形，请说明理由.
（2）如图，当E与B重合时，
①若AP=3，求 CF的长.
② 记AP 的长度为y，线段CF长度为x，求y与x之间的关系式，并直接写出当F是CD的三等分点时， AP 的长度.
13．（2024九上·南海期末） 综合运用
在矩形中，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点.
图① 图② 图③
（1）如图①，当矩形是正方形时，若点在线段上，线段与的数量关系是　 　（填“相等”或“不相等”）；
（2）如图②，当点在线段上，且，以点为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交于点，求的值；
（3）如图③，若点，点，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，，连接，取的中点，连接，设，，求关于的函数关系式.
14．（2024九上·电白期末）问题提出：如图1，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与β的数量关系．
问题探究：
（1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数；
（2）再探究一般情形，如图1，求与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当，，且时，求的值．
15．（2024九上·信宜期末）综合与实践
（1）探究发现：如图1，在的网格图中，在线段上求一点，使得；小明同学发现，先在点的左侧取点，使为1个单位长度，在点的右侧取点，使为2个单位长度，然后连接交于点（如图1），就可以得到点了．请你验证小明的做法，并求出的值．
（2）请你在图2中求作一点，使得．
16．（2024九上·深圳期末）某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
（1）【初步尝试】：他们将矩形的顶点E、G分别在如图（1）所示的的边、上，顶点F、H恰好落在的对角线上，求证：：
（2）【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；
（3）【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是（用含有m，n的代数式表示）.
17．（2024九上·深圳期末）【综合与实践】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考.
（1）【特例感知】：若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是　 　.
（2）【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为S，如何求S的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设，、边上的高，则，∴，由-得：，从而可以求得，若要内接正方形面积S最大，即就是求x的最大值。因为为定值，因此只需要分母最小即可.
小组同学借鉴研究函数的经验，令.探索函数的图象和性质：
①下表列出了y与a的几组对应值，其中 ▲ ；
a … 1 2 3 4 …
y … m 4 4 …
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是 ▲ .
A.当时，y随a的增大而增大.
B.该函数的图象可能与坐标轴相交.
C.该函数图象关于直线对称.
D.当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在之间.
18．（2023九上·深圳期末）
（1）【模型发现】如图1，△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
（2）【深入探究】如图2，等边△ABC中，AB＝3，D是AC上的动点，连接BD，将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，连接CE，当点D从A运动到C时，求点E的运动路径长．
（3）【应用拓展】如图3，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AD上的一点，连接BE，将BE绕着点E逆时针旋转90°，得到EF，EF交BC于点G，连接CF，若EG=FG，则的值为 　 　．
19．（2024九上·清远期末） 探索一个问题： "任意给定一个矩形 ， 是否存在另一个矩形 ， 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 "
（1） 完成下列空格：
当已知矩形 的边长分别为 6 和 1 时， 小明是这样研究的： 设所求矩形 B 的一边是 ， 则另一边为 ， 由题意得方程： ， 化简得：
解得： 　 　， 　 　.
满足要求的矩形 存在.
小红的做法是： 设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组： 消去 化简后也得到： ， (以下同小明的做法)
（2） 如果已知矩形 的边长分别为 2 和 1 时， 请你仿照小明或小红的方法研究是否存在满足要求的矩形 .
（3）在小红的做法中， 我们可以把方程组整理为： ， 此时两个方程都可以看成是函数表达式，从而我们可以利用函数图象解决一些问题. 仿照这种方法，如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象， 其中 和 分别表示矩形 的两边长， 直线经过点 ， 双曲线经过点 ， 请你结合刚才的研究，回答下列问题：（完成下列空格）
①这个图象所研究的矩形 的面积为　 　；周长为　 　.
②满足条件的矩形 的两边长为　 　和　 　.
20．（2024九上·深圳）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离.
例如，如图1，，线段AB的长度称为点，与直线之间的距离，当时，线段AB的长度也是与之间的距离.
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点.若，则DE与BC之间的距离是　 　
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点与点，之间的距离是，点与双曲线之间的距离是　 　；
（3）【拓展】按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
21．（2022九上·深圳期中）矩形中，，点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
（1）【特例证明】如图，当时，求证：；
（2）【类比探究】如图，当时，求的值（用含k的式子表示）；
（3）【拓展运用】如图，当时，P为边CD上一点，连接AP，PF，，，则BC的长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】（1）1.2
（2）解：①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，
设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0）
将V=0.1，a=70代入，解得k=7.
∴视力值V和字母E的宽度a(mm)的函数关系式为V=(a>0).
②将a=17.5代入V=，解得V=0.4
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
5-3.8=1.2
∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处
故答案为：1.2
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求出答案.
（2）①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0），根据待定系数法将V=0.1，a=70代入即可求出答案.
②将a=17.5代入函数关系式即可求出答案.
2．【答案】（1）抽样调查
（2）7；2
（3）解：列表如下：
可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果有6种，
(恰有1人抽到“花”)==，
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
上述调查报告的数据收集方法是抽样调查
故答案为：抽样调查
（2）由题意可得：
总人数为：12÷0.2=60人
∴m=60-12-20-15-6=7
将数据按照从小到大的顺序排列，第30和31位都在第二组
∴中位数在第2组
故答案为：7，2
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可求出答案.
（2）根据第1组频数和频率可得总人数，再根据总人数减去其他组人数即可得m值，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）列表，求出所有等可能结果，再求出其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
3．【答案】（1）证明：连接，
∵立杆相交于点，
.
又，
，
，
同理可得AC∥BD
（2）解：如图，过点作于点，过点作
，由（1）已证
，
是等腰三角形.
，
是边上的中线，
.
在中，根据勾股定理，得
.
，即，
解得，
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作，则，由（1）已证，则由相似三角形判定定理可得，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形.，则EN=16，再根据勾股定理可得ON=30，再根据相似三角形相似比可得，代值计算即可求出答案.
4．【答案】（1）
（2）证明：∵点在对角线的垂直平分线上，边经过点，
，
∵四边形是矩形，
，
由旋转得：
在与中，，
.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；旋转的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（1）∵将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形
∴
∵∠G=90°，∠F=90°
∴四边形AHFG中
∠AHF=
故答案为：
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据矩形性质可得∠G=90°，∠F=90°，再根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）根据垂直平分线性质可得AH=CH，再根据矩形性质可得，再根据旋转性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则EH=DH，即可求出答案.
5．【答案】（1）解：如图所示，连结，过点作于，
，
，
又如图3，连接，
伞在撑开过程中，点是中点，等于一半，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∴的长度为
（2）解：，
所以遮挡住的阴影部分的面积是
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；圆的面积
【解析】【分析】（1）连结，过点作于，由等腰三角形的三线合一可得CD=2CH；连接，由题意易证四边形ABCH是矩形，由矩形的性质可得AH=BC，结合已知用勾股定理可求得CH的值，然后根据CD=2CH可求解；
（2）根据圆的面积=πR2=πCH2计算即可求解.
6．【答案】（1）96；94
（2）解：（条），
答：湖泊里一共约有940条鱼
（3）解：根据题意可画树状图如下：
由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，
抓到的是和年龄的鱼的概率为
【知识点】用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率；概率公式；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）∵年龄为，，的个体数量的平均数为125，
∴，
解得：x=96；
∵年龄在，，，的个体数量的中位数是95，且92＜y＜96，
∴，
解得：y=94.
故答案为：第一空：96；第二空：94.
【分析】（1）根据平均数的计算公式可得关于x的方程，解方程可求解；根据中位数的定义可得关于y的方程，解方程即可求解；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，然后根据概率公式计算即可求解.
7．【答案】（1）证明：，
，
，
，
（2）解：①将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
由（1）可知，，
又，
，
②将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
，
，
由（1）可知，，
又
，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，则CE=CA，即，即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，由（1）可知，代值计算可得BD=2CD，再根据勾股定理可得BC，根据边之间的关系即可求出答案.
②根据折叠性质可得，根据锐角三角函数定义可得，由（1）可知，，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】（1）A
（2）证明：如图3，由折叠得，∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB
∵ADIIBC，
∴∠DAC= ∠ACB
∴∠CAE=∠ACF
∴AEIICF
∵AFIICE
∴四边形AECF是平行四边形
∵∠CAE=∠DAC，∠ACE=∠DAC
∴∠CAE=∠ACE
∴AE=CE，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAF=∠B=90°
由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°
∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°
∴四边形ABEF是矩形
∵AF=AB
∴四边形ABEF是正方形
∴四边形ABEF是菱形
如图2，连接AC、BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC，CD、AD的中点
，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形
∴甲、乙都得到菱形
故答案为：A
【分析】（1）甲：根据矩形性质可得∠BAF=∠B=90°，由折叠得AF=AB，∠AFE=∠B=90°，再根据矩形判定定理可得四边形ABEF是矩形，由AF=AB可得四边形ABEF是正方形，再根据菱形判定定理即可；乙：连接AC、BD，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系可得EF=GH=EH=GF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据折叠性质可得∠CAE=∠DAC，∠ACF= ∠ACB，再根据直线平行性质可得∠DAC= ∠ACB，则∠CAE=∠ACF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，再根据角之间的关系可得∠CAE=∠ACE，则AE=CE，再根据菱形判定定理即可求出答案.
9．【答案】解：【类比迁移】：第一步：x+3；第二步：x(x+3)；
如图：
第三步：
图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
表示边长，
，即；
【拓展应用】2；3；x=1
【知识点】列式表示数量关系；定义新运算；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）；
第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，
故答案为：，；
【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．
∴长方形的长为，宽为x，即：，
∴，
∴，，方程的一个正根为：．
故答案为：2，3，．
【分析】【类比迁移】参照题干中的计算方法求解即可；
【拓展应用】根据题意可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后求出x的值即可。
10．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
在△BGF和∠DEH中，
∴△BGF≌△DEH(AAS)，
∴BF=DH；
（2）如图2，连接EG交BD于点0，过点E作EH⊥BD于N，连接AO，
设AB=2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=2a，∠ADB=∠ABD=30°，
∴AE=DE=a，
∵EN⊥BD，∠ADB=30°，
∴，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EO=FO=HO=GO，
∵BF= DH，
∴BF+FO=DH+HO，
∴BO = DO，
∴，
∴EG=2EO=2a=FH，
∵AB=AD，BO=DO，
∴AO⊥BD，
又∵∠ADB=30°，
∴AD=2AO，，
∴AO=a，，，
∵，
，
∴；
（3）连接EG交BD于点O，过点E作EH⊥BD于N，
同理可得：，，
∵AD=m，AB=n，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴.
【知识点】全等三角形的应用；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】(1)由“AAS”可证△BGF≌△DEH，可得BF=DH；
(2)由矩形的性质和直角三角形的性质分别求出FH，EN，BD，AO的长，即可求解；
(3)用m，n表示FH，EN，BD的长，即可求解.
11．【答案】（1）
（2）D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：(1)过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，如图，
设DE=x，则DG=MN=x.
∵S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，
∴，
∴BC =2m.
∴.
∴，
∴BN=1.2m.
∴BM=BN-MN=(1.2-x)m，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
(2)①当a=时，.
故答案为：.
②在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象：
③由图象知：当a >1时，y随a的增大而增大，
∴A选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不可能与坐标轴相交，
∴B选项的结论不正确；
由图象知：该函数的图象不是轴对称图形，
∴C选项的结论不正确；
由图象知：当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在1~ 2之间，
∴D选项的结论正确.
故答案为： D.
【分析】(1)过点B作BN⊥AC于点N，交DE于点M，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
(2)将a值代入运算即可；
(3)画出函数的图象，结合函数的图象回答即可.
12．【答案】（1）解：四边形CNC'F 是菱形，理由如下.
连接CC'
由折叠性质可知，CO=C'O，C'F=CF
又∵PQ∥AB
∴C'N∥CF
∴∠NC'O=∠FCO
∵∠C'ON=∠COF
∴△C'ON≌△COF
∴C'N=CF
∴四边形CNC'F是平行四边形
又∵C'F=CF
∴四边形CNC'F 是菱形
（2）解：①过点C'作MN∥AD
由题意可知MC'=C'N=3，BC'=6
∴BM=3
易证△BC'M∽△C'FN
则，即
∴C'F=
∴CF=
②由①可知=，即 = ，
∴BM= ，FN=
∵BM=CF+FN
∴ =x+
∴y=
当F是CD的三等分点且靠近C点时，CF=x=2，y=
当F是CD的三等分点且靠近D点时，CF=x=4，y=
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接CC'，根据折叠性质可得CO=C'O，C'F=CF，再根据直线平行性质可得C'N∥CF，则∠NC'O=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△C'ON≌△COF，则C'N=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形CNC'F是平行四边形，再由菱形判定定理即可求出答案.
（2）①过点C'作MN∥AD，由题意可知MC'=C'N=3，BC'=6，则BM=3，根据相似三角形判定定理可得△BC'M∽△C'FN，则则，代值计算即可求出答案.
②由①可知=，即 = ，则BM= ，FN=，再根据边之间的关系可得y=，根据三等分点分情况讨论即可求出答案.
13．【答案】（1）相等
（2）解：是直角三角形
又
∴四边形是平行四边形
，
，
，
设，则，
，

（3）解：
，
，
过点作，交于点，过点作，垂足为
是的中点，
是的中位线
，
又
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵OF⊥AE
∴∠OAD+∠AOD=90°
∵∠AOD+∠COF=90°
∴∠OAD=∠COF
∵AO=CO，∠AOE=∠OCF
∴△AOE≌△OCF（ASA）
∴AE=OF
故答案为：相等
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠OAD=∠COF，再根据全等三角形判定定理可得△AOE≌△OCF（ASA），则AE=OF，即可求出答案.
（2）根据直角三角形性质可得，再根据直线平行判定定理可得FH∥OE，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，由直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，设，则，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，，即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，过点作，交于点，过点作，垂足为，根据三角形中位线性质可得，再根据边之间的关系可得，由直线平行性质可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】（1）解：如图2中，在上截取，使得．
∵四边形是正方形，
，，
∵，
，
∵，，
，
∵，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（2）解：结论：；
理由：如图1中，在上截取，使，连接．
∵，，
．
∵，
，
．
∵，，
．
∵，
，
∴，
；
问题拓展：如图3中，过点A作的垂线交的延长线于点P．
∵，，
，．
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴在中，，
，，
∴．
∵，
∴由（2）知，，
∴，
又∵，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)先在AB上取点J，使得BJ=BE，结合已知条件可知AJ=EC，∠CEF=∠EAJ，根据全等三角形的判定定理可知，全等三角形对应边和对应角分别相等，可知∠ECF=∠AJE，进而求出∠GCF即可；
(2)和(1)一样，在在AB上取点N，使得BN=BE，结合已知条件可知AN=EC，∠CEF=∠EAN，根据全等三角形的判定定理可知，全等三角形对应边和对应角分别相等，可知∠ECF=∠ANE，进而求出∠GCF即可；
问题拓展：过点A作的垂线交的延长线于点P，根据菱形的性质特点，四条边分别相等以及对边平行可知AD=AB=3，∠ADC=∠ADP，进而知∠PAD=30°，含30°的直角三角形对边等于斜边的一半，以及勾股定理可求出PD，结合相似三角形的判定定理推出，利用对应边成比例求出CF即可.
15．【答案】（1）解：∵，
∴△BCP∽△ADP，
∴，
∴；
平移至，此时，如图，作中边上的高，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∴；
（2）解：点如图所示，
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图﹣相似变换；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定和性质即可证明，由平移的性质得到∠APC=∠ABE，利用等积法求得中边上的高，再利用勾股定理求得，结合三角函数的定义，即可得解；
（2）仿照（1）的作法，根据相似三角形的性质，即可求解．
16．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，即
∵四边形是矩形
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）解：连接交于点O，连接、
∵四边形是菱形，
∴，即，
在中，E为中点，
∴，
∵，
∴，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
过点E作，
∴，
∴
∴
∵
∴
（3）解：
，
，
∴，
∴，
，
∴.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，矩形的性质和平行线的性质推出∠1=∠2，∠5=∠6，根据AAS判定△BFG≌△DHE，即可求得；
（2）根据菱形的性质可得，，根据直角三角形的斜边上的中线可得，根据矩形的性质可得，过点E作EM⊥EH，先求出△EFH的面积进而得到矩形的面积，再计算菱形的面积，再作比值即可；
（3）根据相似三角形的判定和性质可得，再根据矩形的面积公式计算并求比值即可.
17．【答案】（1）m；
（2）解：①；
②如图所示，即为所求
③D.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）过点B作BQ⊥AC，交DE于点MP，交AC于点Q，如图，
∵ S△ABC=1.5m2，AB=1.5m，
∴ BC=2 m，
∵ ∠B=90°，
∴ AC==2.5 m，
∴ S△ABC=AC×BN=1.5m2，
∴ BQ=m，
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ DE=DG=x m，DE∥GF，
∴ ∠BDE=∠BAC，
∵ ∠DBE=∠ABC，
∴ △DBE∽△ABC，
∵ 相似三角形对应的高的比等于相似比，
∴，即，
解得，x=m；
故答案为：m；
（2） ① 将a= 代入 得，y=；
③ 根据函数图象可得a＞1时，y随x的增大先减小后增大，故A项不符合题意；
因为a不等于0，所以函数图象与y轴无交点；若y=0，则a2=-3不成立，故函数图象与x轴也无交点，故B项不符合题意；
函数图象无对称性，故C项不符合题意；
当该函数取最小值时，所对应的自变量a的取值范围在之间，故D项符合题意；
【分析】（1）过点B作BQ⊥AC，交DE于点MP，交AC于点Q，根据勾股定理可得AC，再根据等面积法可得BQ，再根据相似三角形的判定与性质即可求得；
（2）① 将a=1代入y的函数，即可求得m；
② 先描点，再连接，即可求得；
③ 根据函数图象特征对选项逐一判断即可求得.
18．【答案】（1）证明：∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，=，
∴∠BAD＝∠CAE，=，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：连接BE，
∵将BD绕着点D逆时针旋转60°得到DE，
∴BD＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3＝AC，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，
∵点D从A运动到C，
∴点E的运动路径长为3；
（3）
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（3）如图，连接BF，过点F作FH⊥BC于点H，
∵将BE绕着点E逆时针旋转90°，
∴BE=EF，∠BEF=90°，
∴，∠EBF=45°，
∵∠BAC=90，AB=AC，AD⊥BC，
∴，∠ABC =45°=∠EBF=∠BAD=∠ACB，
∴∠ABE=∠CBF，
又∵，
∴△ABE∽△CBF，
∴，∠BCF=∠BAE =45°，
∴，
∵FH⊥BC，
∴∠BCF=∠HFC =45°，
∴HC=HF，
∴，
∴HF=AE，
∵AD⊥BC，HF⊥BC，
∴AD∥HF，
∴，
∴HF=2DE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，，利用相似三角形的判定可得结论；
（2）由旋转的性质可得BD = DE，∠BDE=60°，由“SAS”可证△ABD≌△CBE，可得AD=CE，即可求解；
（3）通过证明△ABE∽△CBF，可得，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解.
19．【答案】（1）2；
（2）解：设所求矩形的两边分别是 和 ， 由题意得方程组
消去 化简后得到：2x2-3x+2=0
∵
∴不存在矩形B
（3）8；18；；
【知识点】一元二次方程的根；反比例函数与一次函数的交点问题；数学思想；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
∵
∴
∴
∴ 满足要求的矩形 存在
故答案为：2，
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5
反比例函数解析式为
联立方程组，整理得：x2-4.5x+4=0
∴x1+x2=4.5，x1·x2=4
∴矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4
∴这个图象所研究的矩形 的面积为8，周长为18
故答案为：8，18
②由①可得，解得：或
∴满足条件的矩形 的两边长为和
故答案为：，
【分析】（1）根据求根公式解方程即可求出答案.
（2）设所求矩形的两边分别是 和 ，根据题意联立方程组可得2x2-3x+2=0，解方程即可求出答案.
（3）①由图可知，一次函数解析式为y=-x+4.5，反比例函数解析式为，联立方程组可得x2-4.5x+4=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=4.5，x1·x2=4，则矩形B的两边长和为4.5，周长为9，面积为4，结合题意即可求出答案.
②解方程组即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2），
（3）作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为G、H两点，作OK⊥l5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长.
∵y=-k+n，OK=80，
∴∠POK=45°，
∴，即l5：，
由l5与C2联立得，
解得：，，
∴，，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴；
故答案为：；
(2)把A(1，m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3，
∴A(1，3)，
把A(1，3)代入，得：，
∴k=3，
∴双曲线C1的解析式为，
联立，得：，
即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴B(3，1)，
∴；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x +b，则，
整理得：x2-bx+3=0，
∴Δ=(-b)2-4×1×3=b2-12=0，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴直线FG的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：，；
【分析】(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；
(2)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，则，整理得x2-bx+3=0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；
(3)如图，作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥I4，NH⊥I4，垂足为G、H两点，作OK⊥I5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长，由l5与C2联立得，解方程组即可求得答案.
21．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．．
∵CF平分，，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在BA上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵CF平分，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，E是BC边的中点，
∴设
∴，
∴；
（3）
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】（3）解：如图所示：连接，延长交于点，
设，则
∵，，
为等腰直角三角形，
，
作交于点N，
，
，
∴，
作，交延长线于M，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
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