新定义型—广东省（北师版）九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024九上·阳山期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】已知是“美丽”方程，则有，方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
二、填空题
2．（2024九上·南山开学考）对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ．
【答案】20
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：20．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1x2=求出x1+x2及x1x2的值，然后根据新定义运算法则得，从而整体代入计算可得答案.
3．（2024九上·深圳月考）关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ．
【答案】-50
【知识点】解二元一次方程组；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，
∴
即
∴b－4=－(2a+4)，8=a+3.
解得：a=5，b=﹣10.
∴ab=5×(－10)=－50.
故答案为：－50.
【分析】根据x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，可得 ，于是可得b－4=－(2a+4)，8=a+3.求出a，b的值，再代入ab求值即可.
4．（2023九上·南山期中）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：分两种情况：
当x≥-2时，
∵x （-2）=10，
∴x2+x-2=10，
x2+x-12=0，
（x+4）（x-3）=0，
x+4=0或x-3=0，
x1=-4（舍去），x2=3，
当x＜-2时，
∵x （-2）=10，
∴（-2）2+x-2=10，
x=8（舍去），
综上所述：x=3，
故答案为：3．【分析】根据题意分两种情况讨论x和(-2)的大小，①当x≥-2时得出x的值，②当x<-2时求出x的值，最后选择符合题意的x的值即为本题答案.
三、解答题
5．（2024九上·福田期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是"倍根方程".
（1）根据上述定义，一元二次方程 （填"是"或"不是"）"倍根方程"；
（2）若点在双曲线上，请说明关于的方程是"倍根方程"；
【答案】（1）不是
（2）解： 点 在双曲线 上，
方程 化为方程 ，
解得 ，
方程 是"倍根方程".
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）x2＋2x-8＝0，
（x-2）（x＋4）＝0，
解得x1＝2，x2＝-4，
故一元二次方程x2＋2x-8＝0 不是“倍根方程”．
故答案为：不是.
【分析】（1）先利用十字相乘法求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可.
6．（2021九上·禅城月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4 x+5＝0；②5x2+13 x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 +2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根．
【答案】（1）②
（2）解： x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得： ，
又 △ABC的周长为2 +2，
，
（3）证明：ax2+ cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①3x2+4 x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且b为直角边，
3x2+4 x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13 x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4 x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
【分析】（1）根据a、b、c是Rt△ABC的三边长，选取一组合适的数即可；
（2）由x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，代入x＝﹣1，得： ，因为△ABC的周长为2 +2，得出a+b+c的值，由此得出c的值；
（3）因为，得出即可得出该方程必有实数根．
7．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长．
【答案】（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．（答案不唯一）
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，得出，从而根据 邻余四边形定义，即可得出结论；
（2）利用方格纸的特点、正方形的性质及根据邻余四边形的定义画出符合条件的四边形即可，答案不唯一；
（3）利用等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=BD，由直角三角形斜边中线的性质得出DM=EM=FM，由等边对等角得∠BDQ=∠CEN，∠B=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△DBQ∽△ECN，再由相似三角形的对应边成比例，列出比例式解出CN长，即可解答．
（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
8．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
（3）如图，在的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点若，，，求邻余线的长．
【答案】（1）证明：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示，四边形ABEF即为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
由（1）得，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得BD⊥AC，从而得∠ADB=90°，进而求出∠FBA与∠EAB互余，得证结论；
（2）根据邻余四边形的概念、利用网格线中的平行线，即可画出图形；
（3）根据等腰三角形“三线合一”性质得AD=CD，然后求出AD=4AE、CE=7AE，接下来根据直角三角形斜边上的中线性质得DM=ME，从而根据“等边对等角”求出∠MDE=∠MED、∠A=∠C，进而证出，由相似三角形对应边成比例的性质得，求出CN=7，从而得BN=3.5，进而得BC=10.5，最后求出AB=BC的值.
四、阅读理解题
9．（2024九上·光明月考）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
（1）已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
（2）已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
【答案】（1）解：
解得：x1=2，x2=3
∴
∴ 再生韦达方程为：
即
（2）解：
解得：
令它的“原生方程”两根分别为
∴当时，
“原生方程”为：
当时
“原生方程”为：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“再生韦达方程”的定义即可求出答案.
（2）根据“再生韦达方程”的定义即可求出答案.
10．（2024九上·龙华月考）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
【答案】（1）4，18
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
两边平方得：，
∴，
∴，
故答案为：4；18.
【分析】（1）仿照题意，将已知的方程两边同时除以x，移项即可求得x-的值；把x-=4两边分别平分并整理即可求解；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，同理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
11．（2024九上·深圳开学考）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则 ， ．
②已知实数a，b满足：，则 ．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
【答案】（1）；；
（2）解：∵，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2-4x＝11＋t（即x2-4x-11-t＝0）的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-11-t，
∵0＜m＜n，
∴m＋n＞0，mn＞0，Δ＞0，
∴-11-t＞0，16-4（-11-t）＞0，
∴-15＜t＜-11，
∵（m＋1）（n＋1）＝mn＋（m＋n）＋1＝-11-t＋4＋1＝-t-6，
∴5＜-t-6＜9，
∴5＜（m＋1）（n＋1）＜9．
（3）解：∵3a2＋19a＋12＝0，12b2＋19b＋3＝0，
∴3()2＋19×＋12＝0，
∵ab≠1，
∴a≠，
∴a，是方程3x2＋19x＋12＝0的解，
∴a＋＝ ，a×＝4，
∴3ab＝ 19b 3，a＝4b，
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）①解：∵一元二次方程2x2-3x-5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝＝，x1 x2＝＝，
故答案为：；；
②∵a2＋4a-3＝0，b2＋4b-3＝0（a≠b），
∴a，b为关于x的一元二次方程x2＋4x-3＝0的两个实数根，
∴a＋b＝-4，ab＝-3，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）①利用一元二次方程根与系数的关系分析求解即可；
②先利用一元二次方程根与系数的关系分析求出a＋b＝-4，ab＝-3，再将其代入计算即可；
（2）先利用一元二次方程根与系数的关系分析求出m＋n＝4，mn＝-11-t，再求出-15＜t＜-11，结合（m＋1）（n＋1）＝mn＋（m＋n）＋1＝-11-t＋4＋1＝-t-6，求出5＜-t-6＜9，可得5＜（m＋1）（n＋1）＜9；
（3）先求出a，是方程3x2＋19x＋12＝0的解，再利用一元二次方程根与系数的关系分析求出a＋＝，a×＝4，最后将其代入计算即可.
12．（2024九上·龙岗开学考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图1，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定．
任务：
（1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图2，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法1：过点作的平行线，交于点，；
方法2：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
（2）①根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题： 的梯形是等腰梯形．
②等腰梯形的判定方法的猜想是真命题，请说明理由．
【答案】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）方法1：如图1，过点A作DC的平行线，交BC于点E，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AECD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AE=CD，结合已知推出AB=AE，由等边对等角及平行线的性质推出∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠A=∠D；方法2：如图2，过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由HL判断出Rt△ABM≌Rt△DCN，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠BAD=∠CDA；
（2）过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由AAS判断出△ABM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等得AB=DC，即可得出结论．
（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，真．
13．（2024九上·禅城期末）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角.
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠C 为卓越角，BC为卓越边，则∠B的度数为 ；
（2）如图①，卓越△ABC中，∠A=45°，∠B 是卓越角，BC 为卓越边，若AB=2，求 AC的长；
（3）如图②，卓越△ABC 中，BC 为卓越边，∠B为卓越角，且A(3，0)，点B、C均在函数y=(x＞0)的图象上，点C在点B的上方，点B的纵坐标为.当△ABC 是直角三角形时，求k的值.
【答案】（1）30°
（2）解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=45°，AB=2
∴AD=BD=
又∵∠B 是卓越角，BC 为卓越边
∴BC=2
在Rt△CBD中，∠CDB=90°，
∴CD=
∴AC=+
（3）解：由题意可知：∠ABC=90°或∠BAC=90°.
①当∠ABC=90°时，如图2，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB=∠F=∠ABC=90°，
∴∠BCF+∠CBF=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∴△BCF∽△ABE，
∵BC 为卓越边，∠B为卓越角
∴=
∵点B的纵坐标为
∴BE=
∴CF=3
∵点B在函数y=上
∴设B（x，）
∵A(3，0)
∴AE=x-3，BF=（x-3）
∴C（x-3，x-2）
∴（x-3）（x-2）=x
解得x1=3+，x2=3-
∵点C在点B的上方
∴B在A的右侧
∴x=3+
∴k=3+3
②当∠BAC=90°时，如图3，过点C作CM⊥x轴交于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC=∠F=∠ANB=90°，
∴∠ACM+∠MAC=∠MAC+∠MAN=90°，
∴∠ACM=∠MAN
∴△ACM∽△BAN，
∵BC 为卓越边，∠B为卓越角
∴=
∵点B的纵坐标为
∴BN=
∴AM=
∵点B在函数y=上
∴设B（x，）
∵A(3，0)
∴AN=x-3，CM=（x-3）
∴C（3-，x-3）
∴（3-）（x-3）=x
解得x=-，不符合题意
∴综上所述，k=3+3
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定；求特殊角的三角函数值；解直角三角形；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵△ABC为直角三角形
∴
∴∠C=30°
故答案为：30°
【分析】（1）根据卓越三角形定义可得，再根据直角三角形中正切值的定义，结合特殊角的三角形函数值即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得AD=BD=，再根据卓越三角形定义可得BC=2，在Rt△CBD中，CD=，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当∠ABC=90°时，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB=∠F=∠ABC=90°，根据角之间的关系可得∠BCF=∠ABE，再根据相似三角形判定定理可得△BCF∽△ABE，由卓越三角形定义可得=，则BE=，CF=3，设B（x，），则AE=x-3，BF=（x-3），C（x-3，x-2），根据题意建立方程，解方程可得x=3+，则k=3+3；当∠BAC=90°时，过点C作CM⊥x轴交于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC=∠F=∠ANB=90°，根据角之间的关系可得∠ACM=∠MAN，再根据相似三角形判定定理可得△ACM∽△BAN，由卓越三角形定义可得=，则BN=，AM=，设B（x，），则AN=x-3，CM=（x-3），C（3-，x-3），根据题意建立方程，解方程可得x=-，不符合题意.
14．（2024九上·南山期中）【阅读理解】
若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数现规定为该“快乐方程”的“快乐数”例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称互为“开心数”．
（1） “快乐方程”的“快乐数”为 ；
（2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程均为整数都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：关于x的一元二次方程，△，
，即：，
或4m+13=36，
，（舍去），
方程变为：，
则，，，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，或，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）方程：的“快乐数，，；
故答案为：；
（3），
△，
设△，
∴，
或2或或，
或4或或，
解得或，
方程变为：或；
，
△，
，，，
当时，，
解得：或（不合题意），
当时，，
解得：．
故，或，．
【分析】（1）参照题干中的定义及“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（2）先求出一元二次方程根的判别式可得△，再结合，求出，可得或4m+13=36，再求出m的值，可得方程，再利用“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（3）先利用“快乐方程”的定义求出m的值，可得方程或，再利用“快乐数”的定义及计算方法求出，，，再分类讨论：①当时，，②当时，，再求出n的值即可.
15．（2024九上·深圳月考）阅读下列材料：如图（1），在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．
（1）写出筝形的两个性质（定义除外）．
① ；② ．
（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
（3）如图（3），在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积．
【答案】（1）筝形的一条对角线平分一组对角；筝形的一组对角相等
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD．
∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD（AAS）．
∴AB＝AD，BE＝DF．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）解：过点B作BH⊥AC于点H，如图：
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴S△ABC＝S△ADC．
在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2．
在Rt△CBH中，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2．
∴262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，
∴AH＝10．
∴BH＝24．
∴S△ABC＝×17×24＝204．
∴筝形ABCD的面积为408．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC.
∴AC平方∠BAD和∠BCD.
可得结论：①筝形的一条对角线平分一组对角；②筝形的一组对角相等
故答案为：筝形的一条对角线平分一组对角；筝形的一组对角相等.
【分析】（1）证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC，由前两点即可得结论：筝形的一条对角线平分一组对角；由第三点可得结论：筝形的一组对角相等.
（2）利用AAS证明△AEB≌△AFD，可得AB=AD，BE=DC.证明平行四边形ABCD是菱形，可得BC=DC，从而有CE=CF，利用筝形的定义，即可得到结论.
（3）证明△ABC≌△ADC，可得S△ABC＝S△ADC．分别在Rt△ABH和Rt△CBH中利用勾股定理，可得方程262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，求出AH长，即可得BH长，再利用三角形的面积公式求解即可.
五、实践探究题
16．（2024九上·罗湖期中）【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段. 的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过. 作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 过 作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长 交 于点E，则线段CD的长度可以表示 且 在 中， 根据勾股定理可得：
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. 请在x轴上找一点P，使得 的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 请在x轴上找一点P'，使得. 最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 的最小值是 .
②代数式 的最大值是 .
【答案】（1）；
（2） ；
（3）；
【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）①∵点A (2，3)，B(4，5)，
∴线段AB长度＝；
②∵N（-3，5），M(-5，-7)，
∴线段MN长度＝；
故答案为：；；
（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，
∴此时，PP4 PP3的值最大，
∴PP4 PP3的最大值P3P4＝；
②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，
∴PP4＋PP3＝P'P4＝，
故答案为：；；
（3）①求代数式的最小值，
参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2， 3），
∴，
∴的最小值=；
②求代数式的最大值，
参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），
∴代数式的最大值为：P3P4＝，
故答案为：；．
【分析】（1）参照题干中的定义及两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）①连接P4P3延长交x轴于点P，再求出PP4 PP3的最大值P3P4，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
（3）①先将原代数式变形为，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②利用两点之间的距离公式分析求解即可.
17．（2024九上·深圳开学考）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是边上任意一点．
（1）当点G在边上时，的最小值是__________，因此d[点O，线段]__________；
（2）当点G在任意边上时，的最小值是__________，因此d[点O，]__________；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则n的取值范围为__________；
（4）当时，__________（结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．
【答案】（1）4，4；（2）3，3；（3）或；（4）；应用：米
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴AB=8，
∵四边形ABCD为平行四边形， 对角线AC，BD相交于点O ，
∴点G在边上时，当即时，的最小值是，
∴d[点O，线段]；
故答案为：4；4；
（2）解：∵点A，B的坐标分别为，，四边形为平行四边形，
∴当点G在任意边上时，即或时，的最小值是，
∴d[点O，]；
故答案为：3；3；
（3）解：如图：
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平分，
∴，
∴∠DAC=∠DCA，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分和，
∴线段到四边形的距离为，
∴[线段，]，
∴，
解得：或；
故答案为：或；
（4）解：由（3）得：四边形是菱形，
如图，作于，交于，作于，
则有，
∴，
∴；
故答案为：；
应用：解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，如图，
则所需彩绳的长度为：米．
【分析】（1）根据两点间的距离公式算出AB的长，结合平行四边形的性质及新定义，由垂线段最短即可得出答案；
（2）根据点的坐标与图形性质结合新定义，由合垂线段最短即可得出答案；
（3）根据平行四边形的对边平行得AB∥CD，由平行线的性质及角平分线的定义推出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，得出平分和，推出线段到四边形的距离为，从而得到[线段，]，即，计算即可得解；
（4）由（3）得：四边形是菱形，作于，交于，作于，则有，从而得到，即可得解；
应用：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，计算即可得解．
18．（2024九上·深圳）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离.
例如，如图1，，线段AB的长度称为点，与直线之间的距离，当时，线段AB的长度也是与之间的距离.
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点.若，则DE与BC之间的距离是
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点与点，之间的距离是，点与双曲线之间的距离是 ；
（3）【拓展】按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）
（2），
（3）作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为G、H两点，作OK⊥l5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长.
∵y=-k+n，OK=80，
∴∠POK=45°，
∴，即l5：，
由l5与C2联立得，
解得：，，
∴，，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴；
故答案为：；
(2)把A(1，m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3，
∴A(1，3)，
把A(1，3)代入，得：，
∴k=3，
∴双曲线C1的解析式为，
联立，得：，
即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴B(3，1)，
∴；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x +b，则，
整理得：x2-bx+3=0，
∴Δ=(-b)2-4×1×3=b2-12=0，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴直线FG的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：，；
【分析】(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；
(2)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，则，整理得x2-bx+3=0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；
(3)如图，作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥I4，NH⊥I4，垂足为G、H两点，作OK⊥I5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长，由l5与C2联立得，解方程组即可求得答案.
19．（2024九上·福田期中）如图
（1）【问题背景】已知D、E分别是的AB边和AC边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接BD和CE.
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形
②若AB=8，AC=6，BD=4，则CE=
（2）【迁移应用】如图3，在Rt和Rt中，，点是线段BC上一动点，连接EC
①请求出的值及的度数，并说明理由.
②如图4，点是DE的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长.
（3）【创新应用】如图5：是直角三角形，，将绕若点旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，求CF的取值范围.
【答案】（1）△BAD∽△CAE；3；
（2）解：①如图2 中，
②；
（3）解：如图， 过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ， 连接 F J.
，
.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①如图2中，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
故答案为：△BAD∽△CAE.
②∵△BAD∽△CAE，
∴，
∴，
∴CE＝3；
故答案为：3.
（2）②同①得：△BAD∽△CAE，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BCA＝90°，
∴∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠DCE＝90°，
当点D与B重合时，点E与C重合，BC的中点记为P'；
当点D与C重合时，点E是BA的延长线与CE的延长线的交点，记为E''，如图4所示：
则点P的运动轨迹为P'P''，P'P''是△BCE''的中位线，
∴P'P''＝BE''，
∵∠BAC＝∠CAE''＝90°，∠B＝∠CAE''，
∴△BCA∽△CE''A，
∴，
即，
∴AE''＝，
∴BE''＝AB＋AE''＝，
∴P'P''＝BE''＝，
即P点经过的路径长为.
【分析】（1）①利用相似三角形的判定方法分析求解即可；
②利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出求出CE的长即可；
（2）①先证出可得再利用角的运算和等量代还可得，即可得到；
②先证出△BCA∽△CE''A，可得，再将数据代入可得，求出AE''＝，再利用线段的和差求出BE''＝AB＋AE''＝，最后求出P'P''＝BE''＝即可；
（3） 过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ， 连接 F J，先求出，再证出，可得，求出，再利用三角形三边的关系可得.
20．（2024九上·福田期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．
【答案】解：[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
[性质探究]：．理由如下：
如图2，已知四边形中，，垂足为，
，
，
由勾股定理得，，
，
；
[问题解决]：连接、，如图3所示：
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
又，
，
即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】[概念理解]：根据线段的垂直平分线的判定定理“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可求解；
[性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理计算即可求解；
[问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可求解．
21．（2024九上·深圳开学考）【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是______，因此[点，线段]＝______；
（2）当点在任意边上时，的最小值是______，因此[点，]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则的取值范围为______；
（4）当时，______（结果用含的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．
【答案】（1）4；4；（2）3；3；（3）或；（4）；
【应用】解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，则如下图，
则所需彩绳的长度为：．
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边上时，即时
∴的最小值是，因此[点，线段]=，
故答案为：；
（2）∵ ，，四边形 是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边任意边上时，即或时，
∴的最小值是，因此[点， ]=，
故答案为：；
（3）如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分和，
∴线段到四边形的距离为， [线段，]=，
∴，
解得：或，
故答案为：或，
（4）由（3）得：四边形是菱形，过作于点，交于点，作于点，如图，则有，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（2）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（3）画出图形，由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质及角平分线的定义得∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的每条对角线平分一组对角得BD平分∠ABC与∠ADC，进而根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（4）根据定义画出图形，可得出答案；
应用：根据题意画出图形并结合矩形性质及弧长计算可得答案.
1 / 1新定义型—广东省（北师版）九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024九上·阳山期末）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2024九上·南山开学考）对于实数，定义运算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是关于的一元二次方程的两个实数根，则※= ．
3．（2024九上·深圳月考）关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ．
4．（2023九上·南山期中）对于实数m，n，先定义一种运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
三、解答题
5．（2024九上·福田期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为"倍根方程".例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是"倍根方程".
（1）根据上述定义，一元二次方程 （填"是"或"不是"）"倍根方程"；
（2）若点在双曲线上，请说明关于的方程是"倍根方程"；
6．（2021九上·禅城月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）以下方程为“直系一元二次方程”的是 ；（填序号）
①3x2+4 x+5＝0；②5x2+13 x+12＝0．
（2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 +2，求c的值．
（3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根．
7．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长．
8．（2024九上·深圳开学考）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点求证：四边形是邻余四边形．
（2）如图，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．
（3）如图，在的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点若，，，求邻余线的长．
四、阅读理解题
9．（2024九上·光明月考）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
（1）已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
（2）已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
10．（2024九上·龙华月考）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
11．（2024九上·深圳开学考）材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m、n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）①已知一元二次方程的两根分别为，则 ， ．
②已知实数a，b满足：，则 ．
（2）已知实数m、n、t满足：，且，求的取值范围．
（3）设实数a，b分别满足，且，求的值．
12．（2024九上·龙岗开学考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形．生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图1，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质1：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定．
任务：
（1）为证明等腰梯形的性质1，小颖的思考如下．请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图2，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法1：过点作的平行线，交于点，；
方法2：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
（2）①根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质1得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题： 的梯形是等腰梯形．
②等腰梯形的判定方法的猜想是真命题，请说明理由．
13．（2024九上·禅城期末）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角.
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠C 为卓越角，BC为卓越边，则∠B的度数为 ；
（2）如图①，卓越△ABC中，∠A=45°，∠B 是卓越角，BC 为卓越边，若AB=2，求 AC的长；
（3）如图②，卓越△ABC 中，BC 为卓越边，∠B为卓越角，且A(3，0)，点B、C均在函数y=(x＞0)的图象上，点C在点B的上方，点B的纵坐标为.当△ABC 是直角三角形时，求k的值.
14．（2024九上·南山期中）【阅读理解】
若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数现规定为该“快乐方程”的“快乐数”例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称互为“开心数”．
（1） “快乐方程”的“快乐数”为 ；
（2）若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程均为整数都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出的值．
15．（2024九上·深圳月考）阅读下列材料：如图（1），在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．
（1）写出筝形的两个性质（定义除外）．
① ；② ．
（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
（3）如图（3），在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积．
五、实践探究题
16．（2024九上·罗湖期中）【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段. 的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过. 作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 过 作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长 交 于点E，则线段CD的长度可以表示 且 在 中， 根据勾股定理可得：
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. 请在x轴上找一点P，使得 的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 请在x轴上找一点P'，使得. 最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 的最小值是 .
②代数式 的最大值是 .
17．（2024九上·深圳开学考）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是边上任意一点．
（1）当点G在边上时，的最小值是__________，因此d[点O，线段]__________；
（2）当点G在任意边上时，的最小值是__________，因此d[点O，]__________；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则n的取值范围为__________；
（4）当时，__________（结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．
18．（2024九上·深圳）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形和图形上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离.
例如，如图1，，线段AB的长度称为点，与直线之间的距离，当时，线段AB的长度也是与之间的距离.
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt中，，点为AB边上一点，过点作交AC于点.若，则DE与BC之间的距离是
（2）如图3，已知直线与双曲线交于与两点，点与点，之间的距离是，点与双曲线之间的距离是 ；
（3）【拓展】按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）.有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
19．（2024九上·福田期中）如图
（1）【问题背景】已知D、E分别是的AB边和AC边上的点，且，则，把绕着逆时针方向旋转，连接BD和CE.
①如图2，找出图中的另外一组相似三角形
②若AB=8，AC=6，BD=4，则CE=
（2）【迁移应用】如图3，在Rt和Rt中，，点是线段BC上一动点，连接EC
①请求出的值及的度数，并说明理由.
②如图4，点是DE的中点，在点从点运动到点的过程中，请直接写出点经过的路径长.
（3）【创新应用】如图5：是直角三角形，，将绕若点旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，求CF的取值范围.
20．（2024九上·福田期中）定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．
21．（2024九上·深圳开学考）【定义】对于没有公共点的两个图形，，点是图形上任意一点，点是图形上任意一点，把、两点之间的距离的最小值称为图形与图形的距离，记为．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，若点，的坐标分别为，，点是边上任意一点．
（1）当点在边上时，的最小值是______，因此[点，线段]＝______；
（2）当点在任意边上时，的最小值是______，因此[点，]＝______；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点，平分，点，的坐标分别为，，点是对角线上与点，，不重合的一点，点是对角线上与点，，不重合的一点．
（3）当[线段，]时，则的取值范围为______；
（4）当时，______（结果用含的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，请直接写出所需彩绳的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】已知是“美丽”方程，则有，方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案.
2．【答案】20
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：20．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，x1x2=求出x1+x2及x1x2的值，然后根据新定义运算法则得，从而整体代入计算可得答案.
3．【答案】-50
【知识点】解二元一次方程组；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，
∴
即
∴b－4=－(2a+4)，8=a+3.
解得：a=5，b=﹣10.
∴ab=5×(－10)=－50.
故答案为：－50.
【分析】根据x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，可得 ，于是可得b－4=－(2a+4)，8=a+3.求出a，b的值，再代入ab求值即可.
4．【答案】3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：分两种情况：
当x≥-2时，
∵x （-2）=10，
∴x2+x-2=10，
x2+x-12=0，
（x+4）（x-3）=0，
x+4=0或x-3=0，
x1=-4（舍去），x2=3，
当x＜-2时，
∵x （-2）=10，
∴（-2）2+x-2=10，
x=8（舍去），
综上所述：x=3，
故答案为：3．【分析】根据题意分两种情况讨论x和(-2)的大小，①当x≥-2时得出x的值，②当x<-2时求出x的值，最后选择符合题意的x的值即为本题答案.
5．【答案】（1）不是
（2）解： 点 在双曲线 上，
方程 化为方程 ，
解得 ，
方程 是"倍根方程".
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）x2＋2x-8＝0，
（x-2）（x＋4）＝0，
解得x1＝2，x2＝-4，
故一元二次方程x2＋2x-8＝0 不是“倍根方程”．
故答案为：不是.
【分析】（1）先利用十字相乘法求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可；
（2）先求出方程的解，再利用“倍根方程”的定义分析求解即可.
6．【答案】（1）②
（2）解： x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，
代入x＝﹣1，得： ，
又 △ABC的周长为2 +2，
，
（3）证明：ax2+ cx+b＝0，
该方程必有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①3x2+4 x+5＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且b为直角边，
3x2+4 x+5＝0不是“直系一元二次方程”；
②5x2+13 x+12＝0，
根据题意得：
三边构成直角三角形的三边且c为直角边，
3x2+4 x+5＝0是“直系一元二次方程”，
故答案为：②；
【分析】（1）根据a、b、c是Rt△ABC的三边长，选取一组合适的数即可；
（2）由x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，代入x＝﹣1，得： ，因为△ABC的周长为2 +2，得出a+b+c的值，由此得出c的值；
（3）因为，得出即可得出该方程必有实数根．
7．【答案】（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．（答案不唯一）
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，得出，从而根据 邻余四边形定义，即可得出结论；
（2）利用方格纸的特点、正方形的性质及根据邻余四边形的定义画出符合条件的四边形即可，答案不唯一；
（3）利用等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，CD=BD，由直角三角形斜边中线的性质得出DM=EM=FM，由等边对等角得∠BDQ=∠CEN，∠B=∠C，由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△DBQ∽△ECN，再由相似三角形的对应边成比例，列出比例式解出CN长，即可解答．
（1）证明：∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是邻余四边形．
（2）解：根据新定义，画图如下：
则四边形即为所求．
（3）解：∵，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，中点M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
解得，
∵ N为的中点，
∴．
8．【答案】（1）证明：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示，四边形ABEF即为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，
由（1）得，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”性质得BD⊥AC，从而得∠ADB=90°，进而求出∠FBA与∠EAB互余，得证结论；
（2）根据邻余四边形的概念、利用网格线中的平行线，即可画出图形；
（3）根据等腰三角形“三线合一”性质得AD=CD，然后求出AD=4AE、CE=7AE，接下来根据直角三角形斜边上的中线性质得DM=ME，从而根据“等边对等角”求出∠MDE=∠MED、∠A=∠C，进而证出，由相似三角形对应边成比例的性质得，求出CN=7，从而得BN=3.5，进而得BC=10.5，最后求出AB=BC的值.
9．【答案】（1）解：
解得：x1=2，x2=3
∴
∴ 再生韦达方程为：
即
（2）解：
解得：
令它的“原生方程”两根分别为
∴当时，
“原生方程”为：
当时
“原生方程”为：
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据“再生韦达方程”的定义即可求出答案.
（2）根据“再生韦达方程”的定义即可求出答案.
10．【答案】（1）4，18
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
两边平方得：，
∴，
∴，
故答案为：4；18.
【分析】（1）仿照题意，将已知的方程两边同时除以x，移项即可求得x-的值；把x-=4两边分别平分并整理即可求解；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，同理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
11．【答案】（1）；；
（2）解：∵，
∴m，n是关于x的一元二次方程x2-4x＝11＋t（即x2-4x-11-t＝0）的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-11-t，
∵0＜m＜n，
∴m＋n＞0，mn＞0，Δ＞0，
∴-11-t＞0，16-4（-11-t）＞0，
∴-15＜t＜-11，
∵（m＋1）（n＋1）＝mn＋（m＋n）＋1＝-11-t＋4＋1＝-t-6，
∴5＜-t-6＜9，
∴5＜（m＋1）（n＋1）＜9．
（3）解：∵3a2＋19a＋12＝0，12b2＋19b＋3＝0，
∴3()2＋19×＋12＝0，
∵ab≠1，
∴a≠，
∴a，是方程3x2＋19x＋12＝0的解，
∴a＋＝ ，a×＝4，
∴3ab＝ 19b 3，a＝4b，
∴.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）①解：∵一元二次方程2x2-3x-5＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝＝，x1 x2＝＝，
故答案为：；；
②∵a2＋4a-3＝0，b2＋4b-3＝0（a≠b），
∴a，b为关于x的一元二次方程x2＋4x-3＝0的两个实数根，
∴a＋b＝-4，ab＝-3，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）①利用一元二次方程根与系数的关系分析求解即可；
②先利用一元二次方程根与系数的关系分析求出a＋b＝-4，ab＝-3，再将其代入计算即可；
（2）先利用一元二次方程根与系数的关系分析求出m＋n＝4，mn＝-11-t，再求出-15＜t＜-11，结合（m＋1）（n＋1）＝mn＋（m＋n）＋1＝-11-t＋4＋1＝-t-6，求出5＜-t-6＜9，可得5＜（m＋1）（n＋1）＜9；
（3）先求出a，是方程3x2＋19x＋12＝0的解，再利用一元二次方程根与系数的关系分析求出a＋＝，a×＝4，最后将其代入计算即可.
12．【答案】（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；真命题与假命题；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）方法1：如图1，过点A作DC的平行线，交BC于点E，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AECD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到AE=CD，结合已知推出AB=AE，由等边对等角及平行线的性质推出∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠A=∠D；方法2：如图2，过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由HL判断出Rt△ABM≌Rt△DCN，由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C，再由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等即可证明∠BAD=∠CDA；
（2）过点A、D作BC的垂线，垂足分别为M、N，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形AMND是矩形，由矩形的对边相等得AM=DN，从而由AAS判断出△ABM≌△DCN，由全等三角形的对应边相等得AB=DC，即可得出结论．
（1）证明：方法1：如图1，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法2：
如图2，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图2，四边形是梯形，，，．
求证：．
证明：过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．
故答案为：同一底上的两个角相等，真．
13．【答案】（1）30°
（2）解：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=45°，AB=2
∴AD=BD=
又∵∠B 是卓越角，BC 为卓越边
∴BC=2
在Rt△CBD中，∠CDB=90°，
∴CD=
∴AC=+
（3）解：由题意可知：∠ABC=90°或∠BAC=90°.
①当∠ABC=90°时，如图2，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB=∠F=∠ABC=90°，
∴∠BCF+∠CBF=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∴△BCF∽△ABE，
∵BC 为卓越边，∠B为卓越角
∴=
∵点B的纵坐标为
∴BE=
∴CF=3
∵点B在函数y=上
∴设B（x，）
∵A(3，0)
∴AE=x-3，BF=（x-3）
∴C（x-3，x-2）
∴（x-3）（x-2）=x
解得x1=3+，x2=3-
∵点C在点B的上方
∴B在A的右侧
∴x=3+
∴k=3+3
②当∠BAC=90°时，如图3，过点C作CM⊥x轴交于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC=∠F=∠ANB=90°，
∴∠ACM+∠MAC=∠MAC+∠MAN=90°，
∴∠ACM=∠MAN
∴△ACM∽△BAN，
∵BC 为卓越边，∠B为卓越角
∴=
∵点B的纵坐标为
∴BN=
∴AM=
∵点B在函数y=上
∴设B（x，）
∵A(3，0)
∴AN=x-3，CM=（x-3）
∴C（3-，x-3）
∴（3-）（x-3）=x
解得x=-，不符合题意
∴综上所述，k=3+3
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定；求特殊角的三角函数值；解直角三角形；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵△ABC为直角三角形
∴
∴∠C=30°
故答案为：30°
【分析】（1）根据卓越三角形定义可得，再根据直角三角形中正切值的定义，结合特殊角的三角形函数值即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得AD=BD=，再根据卓越三角形定义可得BC=2，在Rt△CBD中，CD=，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当∠ABC=90°时，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB=∠F=∠ABC=90°，根据角之间的关系可得∠BCF=∠ABE，再根据相似三角形判定定理可得△BCF∽△ABE，由卓越三角形定义可得=，则BE=，CF=3，设B（x，），则AE=x-3，BF=（x-3），C（x-3，x-2），根据题意建立方程，解方程可得x=3+，则k=3+3；当∠BAC=90°时，过点C作CM⊥x轴交于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则∠AMC=∠F=∠ANB=90°，根据角之间的关系可得∠ACM=∠MAN，再根据相似三角形判定定理可得△ACM∽△BAN，由卓越三角形定义可得=，则BN=，AM=，设B（x，），则AN=x-3，CM=（x-3），C（3-，x-3），根据题意建立方程，解方程可得x=-，不符合题意.
14．【答案】（1）
（2）解：关于x的一元二次方程，△，
，即：，
或4m+13=36，
，（舍去），
方程变为：，
则，，，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，或，
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）方程：的“快乐数，，；
故答案为：；
（3），
△，
设△，
∴，
或2或或，
或4或或，
解得或，
方程变为：或；
，
△，
，，，
当时，，
解得：或（不合题意），
当时，，
解得：．
故，或，．
【分析】（1）参照题干中的定义及“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（2）先求出一元二次方程根的判别式可得△，再结合，求出，可得或4m+13=36，再求出m的值，可得方程，再利用“快乐数”的定义列出算式求解即可；
（3）先利用“快乐方程”的定义求出m的值，可得方程或，再利用“快乐数”的定义及计算方法求出，，，再分类讨论：①当时，，②当时，，再求出n的值即可.
15．【答案】（1）筝形的一条对角线平分一组对角；筝形的一组对角相等
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD．
∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD（AAS）．
∴AB＝AD，BE＝DF．
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（3）解：过点B作BH⊥AC于点H，如图：
∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴S△ABC＝S△ADC．
在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2．
在Rt△CBH中，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2．
∴262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，
∴AH＝10．
∴BH＝24．
∴S△ABC＝×17×24＝204．
∴筝形ABCD的面积为408．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC.
∴AC平方∠BAD和∠BCD.
可得结论：①筝形的一条对角线平分一组对角；②筝形的一组对角相等
故答案为：筝形的一条对角线平分一组对角；筝形的一组对角相等.
【分析】（1）证明△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC，由前两点即可得结论：筝形的一条对角线平分一组对角；由第三点可得结论：筝形的一组对角相等.
（2）利用AAS证明△AEB≌△AFD，可得AB=AD，BE=DC.证明平行四边形ABCD是菱形，可得BC=DC，从而有CE=CF，利用筝形的定义，即可得到结论.
（3）证明△ABC≌△ADC，可得S△ABC＝S△ADC．分别在Rt△ABH和Rt△CBH中利用勾股定理，可得方程262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，求出AH长，即可得BH长，再利用三角形的面积公式求解即可.
16．【答案】（1）；
（2） ；
（3）；
【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）①∵点A (2，3)，B(4，5)，
∴线段AB长度＝；
②∵N（-3，5），M(-5，-7)，
∴线段MN长度＝；
故答案为：；；
（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，
∴此时，PP4 PP3的值最大，
∴PP4 PP3的最大值P3P4＝；
②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，
∴PP4＋PP3＝P'P4＝，
故答案为：；；
（3）①求代数式的最小值，
参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2， 3），
∴，
∴的最小值=；
②求代数式的最大值，
参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），
∴代数式的最大值为：P3P4＝，
故答案为：；．
【分析】（1）参照题干中的定义及两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）①连接P4P3延长交x轴于点P，再求出PP4 PP3的最大值P3P4，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
（3）①先将原代数式变形为，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②利用两点之间的距离公式分析求解即可.
17．【答案】（1）4，4；（2）3，3；（3）或；（4）；应用：米
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：∵点A，B的坐标分别为，，
∴AB=8，
∵四边形ABCD为平行四边形， 对角线AC，BD相交于点O ，
∴点G在边上时，当即时，的最小值是，
∴d[点O，线段]；
故答案为：4；4；
（2）解：∵点A，B的坐标分别为，，四边形为平行四边形，
∴当点G在任意边上时，即或时，的最小值是，
∴d[点O，]；
故答案为：3；3；
（3）解：如图：
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平分，
∴，
∴∠DAC=∠DCA，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分和，
∴线段到四边形的距离为，
∴[线段，]，
∴，
解得：或；
故答案为：或；
（4）解：由（3）得：四边形是菱形，
如图，作于，交于，作于，
则有，
∴，
∴；
故答案为：；
应用：解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，如图，
则所需彩绳的长度为：米．
【分析】（1）根据两点间的距离公式算出AB的长，结合平行四边形的性质及新定义，由垂线段最短即可得出答案；
（2）根据点的坐标与图形性质结合新定义，由合垂线段最短即可得出答案；
（3）根据平行四边形的对边平行得AB∥CD，由平行线的性质及角平分线的定义推出∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，得出平分和，推出线段到四边形的距离为，从而得到[线段，]，即，计算即可得解；
（4）由（3）得：四边形是菱形，作于，交于，作于，则有，从而得到，即可得解；
应用：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，计算即可得解．
18．【答案】（1）
（2），
（3）作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为G、H两点，作OK⊥l5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长.
∵y=-k+n，OK=80，
∴∠POK=45°，
∴，即l5：，
由l5与C2联立得，
解得：，，
∴，，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴BD=AB-AD=6-4=2，
∴；
故答案为：；
(2)把A(1，m)代入y=-x+4中，得：m=-1+4=3，
∴A(1，3)，
把A(1，3)代入，得：，
∴k=3，
∴双曲线C1的解析式为，
联立，得：，
即x2-4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
∴B(3，1)，
∴；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x +b，则，
整理得：x2-bx+3=0，
∴Δ=(-b)2-4×1×3=b2-12=0，
∴或(不符合题意，舍去)，
∴直线FG的解析式为，
由，
解得：，
∴，
∴；
故答案为：，；
【分析】(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形性质即可求得答案；
(2)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式，联立方程组求得点A、B的坐标，再运用两点间距离公式求得AB；作FG∥AB，且FG与双曲线只有一个交点，设直线FG的解析式为y=-x+b，则，整理得x2-bx+3=0，利用根的判别式求得b，进而得出点K的坐标，即可求得OK；
(3)如图，作直线l5：y=-x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥I4，NH⊥I4，垂足为G、H两点，作OK⊥I5，垂足为K，当OK=80时，隔音屏障为GH的长，由l5与C2联立得，解方程组即可求得答案.
19．【答案】（1）△BAD∽△CAE；3；
（2）解：①如图2 中，
②；
（3）解：如图， 过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ， 连接 F J.
，
.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①如图2中，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．
故答案为：△BAD∽△CAE.
②∵△BAD∽△CAE，
∴，
∴，
∴CE＝3；
故答案为：3.
（2）②同①得：△BAD∽△CAE，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BCA＝90°，
∴∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠DCE＝90°，
当点D与B重合时，点E与C重合，BC的中点记为P'；
当点D与C重合时，点E是BA的延长线与CE的延长线的交点，记为E''，如图4所示：
则点P的运动轨迹为P'P''，P'P''是△BCE''的中位线，
∴P'P''＝BE''，
∵∠BAC＝∠CAE''＝90°，∠B＝∠CAE''，
∴△BCA∽△CE''A，
∴，
即，
∴AE''＝，
∴BE''＝AB＋AE''＝，
∴P'P''＝BE''＝，
即P点经过的路径长为.
【分析】（1）①利用相似三角形的判定方法分析求解即可；
②利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出求出CE的长即可；
（2）①先证出可得再利用角的运算和等量代还可得，即可得到；
②先证出△BCA∽△CE''A，可得，再将数据代入可得，求出AE''＝，再利用线段的和差求出BE''＝AB＋AE''＝，最后求出P'P''＝BE''＝即可；
（3） 过点 作 于点 ， 过点 作 于点 ， 连接 F J，先求出，再证出，可得，求出，再利用三角形三边的关系可得.
20．【答案】解：[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
[性质探究]：．理由如下：
如图2，已知四边形中，，垂足为，
，
，
由勾股定理得，，
，
；
[问题解决]：连接、，如图3所示：
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
又，
，
即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】[概念理解]：根据线段的垂直平分线的判定定理“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可求解；
[性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理计算即可求解；
[问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可求解．
21．【答案】（1）4；4；（2）3；3；（3）或；（4）；
【应用】解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为米，则如下图，
则所需彩绳的长度为：．
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，四边形是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边上时，即时
∴的最小值是，因此[点，线段]=，
故答案为：；
（2）∵ ，，四边形 是平行四边形，
∴根据题意可知，当点在边任意边上时，即或时，
∴的最小值是，因此[点， ]=，
故答案为：；
（3）如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分和，
∴线段到四边形的距离为， [线段，]=，
∴，
解得：或，
故答案为：或，
（4）由（3）得：四边形是菱形，过作于点，交于点，作于点，如图，则有，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（2）根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（3）画出图形，由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质及角平分线的定义得∠DAC=∠DCA，由等角对等边得AD=CD，由一组邻边相等的平行四边形是菱形得四边形ABCD是菱形，由菱形的每条对角线平分一组对角得BD平分∠ABC与∠ADC，进而根据定义及垂线段最短即可得出答案；
（4）根据定义画出图形，可得出答案；
应用：根据题意画出图形并结合矩形性质及弧长计算可得答案.
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