【精品解析】情境型—广东省（北师版）九（上）数学期末复习

情境型—广东省（北师版）九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024九上·禅城期末）2012年11月23日飞行员戴明盟驾驶国产第一代舰载机歼-15(绰号：飞鲨)在辽宁号航空母舰甲板上首降成功。小明想了解该机的观展长度(指机翼左右翼尖之间的距离)，可以选择以下哪些视图进行测量（　　）
主视图 左视图 俯视图
A．主(或左)视图 B．主(或俯)视图
C．左(或俯)视图 D．左视图
2．（2024九上·清远期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器， 它由"晷面"和"晷针"组成. 当太阳光 照在日晷上时， 晷针的影子就会投向晷面. 随着时间的推移， 晷针的影子在原面上慢慢地移动，以此来显示时刻。则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
3．（2024九上·顺德期中）如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上. 已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为(　　)
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
4．（2024九上·连山期末）物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·禅城期末）如图所示的花架中，AD∥BE∥CF，DE=24，EF=40，BC=50 (单位：cm)，则AB 长为（　　）
A． B． C．50 D．30
7．（2024九上·南海期末） 如图，电路连接完好，且各元件工作正常. 随机闭合开关中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）
A．0 B． C． D．
8．（2024九上·福田期中）每年春秋季节，流感盛行，极具传染性。如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人 设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确
的是（　　）
A．（x+1）2=81 B．1+x+x2=81
C．1+x+（x+1）2=81 D．1+（x+1）+（1+x）2=81
9．（2024九上·福田期中）如图，张老汉想用长为 70 米的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为 640 平方米的矩形羊圈AB 并在边 BC 上留一个 2 米宽的门（建在 EF 处，门用其他材料），设 AB 的长为 x 米，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x（70﹣x）＝640 B．x（70﹣2x）＝640
C．x（72﹣x）＝640 D．x（72﹣2x）＝640
二、填空题
10．（2024九上·连山期末）如图，小华做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛　 　的地方时，蜡烛焰是像的一半．
11．（2024九上·南山月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为　 　．
12．（2024九上·禅城期末） 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值.佛山电视塔(如图)塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P ( 点A、P、B 在同一直线)恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且BP>AP，则P点到底部B之间的高度是　 　米(结果保留根号).
13．（2024九上·宝安期中）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm，EF=12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是　 　m
14．（2024九上·福田期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为　 　m.
三、解答题
15．（2024九上·南海期末） 佛山某企业从2019年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：
年度 2019 2020 2021 2022
投入技改资金万元 2. 5 3 4 4. 5
产品成本（万元/件） 7. 2 6 4. 5 4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2023年投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？
②若打算在2023年把每件产品的成本降低到3. 2万元，则需投入技改资金多少万元？
16．（2024九上·南海期末） 2023年10月8日，第19届亚运会在杭州举办. 小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务. 现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为.
（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到（宸宸）的概率是　 　；
（2）小蔡从中随机抽取两盒，请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的概率.
17．（2024九上·电白期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段，某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
18．（2024九上·顺德期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图，是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度与时间的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
19．（2024九上·清远期末） 已知蓄电池的电压为定值， 使用蓄电池时， 电流 (单位： A )与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1） 这个反比例函数的表达式是　 　.
（2） 若使用时电阻 ， 则电流 　 　A.
（3） 如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 10 A ， 那么用电器的可变电阻至少是多少
20．（2024九上·福田期中）2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目.赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90-100 80-89 70-79 60-69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了　 　名选手，m=　 　，n=　 　
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是度：　 　
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率，
21．（2024九上·南山期中）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A.三阶6面魔方挑战赛；B.科技知识竞赛；C.环保调查；D.自制地球仪；E.机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为 ▲ ，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（2024九上·深圳期中）如右图，王华在晚上由路灯走向路灯 ，当他走到点 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行到达点时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 的底部．已知王华的身高是，两个路灯的高度都是，且
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华走到路灯处时，在图中画出他在路灯下的影子，并求影子的长度．
23．（2024九上·深圳期中）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是两种瓶装饮料，它们分别是：绿茶和红茶，抽奖规则如下：如图，①是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，回答下列问题：
（1）一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为　 　；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率．
四、实践探究题
24．（2024九上·禅城期末）综合与实践
课题：小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务.
现有条件： 一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房.
（1）如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙ABEF　 　米处；
（2）小明选择按比例制作视力表完成该任务.在制作过程中发现视力表上视力值V 和该行字母E的宽度a 之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母 E 的宽度a 如上中图所示，视力表上部分视力值 V和字母E 的宽度a 的部分对应数据如右上表所示：
①请你根据表格数据判断(说明理由)并求出视力值 V与字母E 宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E 的宽度a 的值17.5mm， 请问该行对应的视力值是多少
25．（2024九上·禅城期末）为弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，展现对家乡、对祖国的热爱之情，某校组织了有关佛山非物质文化进产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告.请根据报告中提供的信息，解答下列问题：
课题 佛山剪纸知识竞答成绩调查报告
问题 展示 佛山剪纸，在制作上主要有哪些方式 佛山剪纸的制作材料有哪些 ……
数据 的整 理与 描述
成绩/分 频数/人
频率 　
成绩/分 频数/ 人
频率
第1组.90≤x≤100 12 0.2 第4组.60≤x<70 m 0.117
第2组.70≤x<90 20 0.333 第5组.x<60 6 0.1
第3组.70≤x<80 15 0.25
调查 意义 了解佛山剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们对家乡的热爱.
调查 结果 　
（1）上述调查报告的数据收集方法是：　 　 (用“普查”或“抽样调查”填空)；
（2）调查报告中的m 值是　 　 ；在调查得到的数据中，中位数应该在第　 　组；
（3）将拍摄的“花”、 “竹”、“鸟”、 “兔”四张剪纸照片(除正面图案不同外，其余都相同)，背面朝上洗匀，甲、乙两同学随机各抽一张照片(不放回)做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的概率.
26．（2024九上·南海期末） 综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.
证明与计算：
（1）连接，证明：；
（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
27．（2024九上·宝安期中）如图
（1）【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.
（2）【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树A8的高.
28．（2024九上·深圳期中）【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如下表
物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒
缩小 倒立
等大 倒立
放大 倒立
与物同侧 放大 正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
（1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________；
（2）任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ；
②当时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
29．（2024九上·南山期中）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为 ▲ ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物 （已知，．）
30．（2024九上·福田期中）根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，，
素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面．
问题解决
任 务 一 计算角度 当等于时，______．
任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）．
任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
选择主(或俯)视图合适
故答案为：B
【分析】根据三视图特征即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
晷针在晷面上形成的投影是平行投影
故答案为：B
【分析】根据太阳光是平行投影即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过A作AG⊥DE于G，交BC与F，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∵AG⊥BC，AF=0.1m，设AG=h，
则：，即，
解得：h=5m．
故答案为：B．
【分析】过A作AG⊥DE于G，交BC与F，证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边的高的比等于相似比，可得，代入数据计算，即可得到投影机光源离屏幕的大概距离.
4．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果， 再求出能让两盏灯泡同时发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF
∴，即
解得：AB=30
故答案为：D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把开关分别记为A，B，C
画出树状图
共有6中等可能得结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2中
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为：
故答案为：B
【分析】画出树状图，求出所有等可能得结果，再求出能让两个小灯泡同时发光的结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每人每轮平均感染x人，
∵1人患流感，一个人传染x人，
∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1＋x；
∴第二轮传染的人数为（1＋x）x，此时患病总人数为1＋x＋（1＋x）x＝（1＋x）2，
∵经过两轮后共有81人得流感，
∴可列方程为：（1＋x）2＝81．
故答案为：A．
【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“经过两轮后共有81人得流感”可得（1＋x）2＝81．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB的长为x米，则边BC的长为70-2x+2=（72-2x）米，
根据题意可得：x（72﹣2x）＝640，
故答案为：D.
【分析】设AB的长为x米，则边BC的长为70-2x+2=（72-2x）米，利用矩形的面积公式列出方程x（72﹣2x）＝640即可.
10．【答案】7
【知识点】解分式方程；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，由题意得：
解得，
经检验，是原方程的解，
则小孔纸板应放在离蜡烛的地方时，蜡烛焰是像的一半．
故答案为：7．
【分析】设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据蜡烛焰是像的一半建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点为的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义得，再代入数据求解即可．
12．【答案】（119—119）
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且BP>AP
∴
故答案为：（119—119）
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
13．【答案】77.8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即，
解得：BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC＋BC＝1.8＋76＝77.8（m），
即“步云阁”的高度为77.8m，
故答案为：77.8．
【分析】先证出△DEF∽△DCB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
14．【答案】16.8
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，
∴AN＝AB＋BN＝22.4m，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴BC∥MN，
∴△ABD∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝16.8m，
故答案为：16.8．
【分析】先证出△ABD∽△ANM，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出MN的长即可.
15．【答案】（1）解：由表中数据知，关系，得：
，
不是一次函数关系，（言之有理，就给分）
∴表中数据是反比例函数关系；
（2）解：①当得：，万元；
答：预计成本比2022年降低0. 4万元.
②当，得，
答：需投入技改资金约5. 625万元.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据x，y之间的关系即可求出答案.
（2）①将x=5代入函数解析式即可求出答案.
②将y=3.2代入函数解析式即可求出答案.
16．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有6种结果：（A，B）（A，C）（B，A）（B，C）（C，A）（C，B），且每种结果出现的可能性相同，
其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的结果有2种：
∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到（宸宸）的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的结果，结合简单事件的概率即可求出答案.
17．【答案】（1）解：根据题意，单件的利润为元，销售件数为，
故，
化简，得：，
即函数关系为：．
（2）解：令，可得：，
解得：，，
当时，销量：（件）；
当时，销量：（件）；
销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为18元．
【知识点】一元二次方程的根；列二次函数关系式
【解析】【分析】(1)利润=单件利润×销售量，单件利润为(x-8)元，销售件数为y，列出方程即可；
(2)销售利润为2200，即令W=2200，求得x的值，再求出对应的y的值，减少库存的话最终定y值大的.
18．【答案】（1）解：设线段解析式为
线段过点
代入得解得
解析式为：
在线段上当时，
坐标为
线段的解析式为：
设双曲线解析式为：
双曲线解析式为：
关于的函数解析式为：
（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为
（3）解：把代入中，解得，
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）设线段解析式为，根据待定系数法即将点代入解析式可得AB解析式为：，将x=5代入解析式可得B坐标为，则线段的解析式为：，设双曲线解析式为：，根据待定系数法将点C坐标代入双曲线解析式可得双曲线解析式为：，即可求出答案.
（2）根据函数图象即可求出答案.
（3）将y=10代入中即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）3
（3）解：当时，则
解得：R≥3.6
∴用电器的可变电阻至少3.6
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：（1）设电流 与电阻 的关系式为
∴将（9，4）代入关系式可得，解得：k=36
∴这个反比例函数的表达式是
故答案为：
（2）将R=12代入表达式，则
故答案为：3
【分析】（1）设电流 与电阻 的关系式为，根据待定系数法将点(9，4)代入关系式即可求出答案.
（2）将R=12代入关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）800；40；5
（2）126
（3）解：用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目，
画树状图为：
共有 6 种等可能的结果， 其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为 2 种，所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率 .
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名），
所以m＝800×5%＝40，
所以n%＝，
即n＝5；
故答案为：800，40，5.
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°，
故答案为：126.
【分析】（1）利用A的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出m、n的值即可；
（2）先求出B的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
21．【答案】（1）解：50人
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加魔方游戏的学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），∴本次调查总人数为200；
（人），
∴喜欢D类的有50人；
【分析】（1）根据B类人数及所占百分比可得总人数，再求出D类人数，补全统计图即可求出答案.
（2）根据总人数×环保调查所占百分比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出恰好抽到1名男生和1名女生的结果，根据简单事件的概率计算即可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，根据题意得
，
∴，
∴，
设，则，
根据题意得：，
，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴两个路灯之间的距离为.
（2）解：如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
设影长是，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴影长是．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得，设，则，将数据代入求出x的值，从而可得AB的长；
（2）先证出，可得，设影长是，将数据代入求出y的值即可.
（1）解：如图，由题意得，
∴，
∴，
设，则，
依题意得：，
，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴两个路灯之间的距离为；
（2）解：如图，
，
由题意得：，
∴，
∴，
设影长是，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴影长是．
23．【答案】（1）
（2）解：画表格得：
绿 红 茶
绿 （绿，绿） （红，绿） （茶，绿）
红 （绿，红） （红，红） （茶，红）
茶 （绿，茶） （红，茶） （茶，茶）
共有种等可能的结果，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的有种情况，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率为：．
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样，
∴一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为：，
故答案为：；
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：∵转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样，
∴一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为：，
故答案为：；
（2）解：画表格得：
绿 红 茶
绿 （绿，绿） （红，绿） （茶，绿）
红 （绿，红） （红，红） （茶，红）
茶 （绿，茶） （红，茶） （茶，茶）
共有种等可能的结果，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的有种情况，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率为：．
24．【答案】（1）1.2
（2）解：①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，
设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0）
将V=0.1，a=70代入，解得k=7.
∴视力值V和字母E的宽度a(mm)的函数关系式为V=(a>0).
②将a=17.5代入V=，解得V=0.4
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
5-3.8=1.2
∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处
故答案为：1.2
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求出答案.
（2）①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0），根据待定系数法将V=0.1，a=70代入即可求出答案.
②将a=17.5代入函数关系式即可求出答案.
25．【答案】（1）抽样调查
（2）7；2
（3）解：列表如下：
可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果有6种，
(恰有1人抽到“花”)==，
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
上述调查报告的数据收集方法是抽样调查
故答案为：抽样调查
（2）由题意可得：
总人数为：12÷0.2=60人
∴m=60-12-20-15-6=7
将数据按照从小到大的顺序排列，第30和31位都在第二组
∴中位数在第2组
故答案为：7，2
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可求出答案.
（2）根据第1组频数和频率可得总人数，再根据总人数减去其他组人数即可得m值，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）列表，求出所有等可能结果，再求出其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
26．【答案】（1）证明：连接，
∵立杆相交于点，
.
又，
，
，
同理可得AC∥BD
（2）解：如图，过点作于点，过点作
，由（1）已证
，
是等腰三角形.
，
是边上的中线，
.
在中，根据勾股定理，得
.
，即，
解得，
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作，则，由（1）已证，则由相似三角形判定定理可得，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形.，则EN=16，再根据勾股定理可得ON=30，再根据相似三角形相似比可得，代值计算即可求出答案.
27．【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
∵太阳光线是平行的，
∴DF∥AC，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝6m，BC＝2m，EF＝3m，
∴，
∴DE＝9m，
答：立柱DE的长为9m.
（2）解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝1m，△BCE∽△B'BA'，
∴A'B'：B'B＝BE：BC，
即1：2＝BE：4，
∴BE＝2，
∴AB＝2＋1＝3（m），
答：这棵树高3m.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，EF就是DE的投影，先证出△ABC∽△DEF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可；
（2）过点C作CE∥AD交AB于点E，先证出△BCE∽△B'BA'，再利用相似三角形的性质可得A'B'：B'B＝BE：BC，将数据代入求出BE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
28．【答案】（1），，；
（2）①；
②减小
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）解：任务一：根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故答案为：，，；．
（2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，，
，
由任务一可知：，
，
即，
解得：；
故答案为：；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
【分析】（1）先证出， 再利用相似三角形的性质求出；再设，则，， 证出， 可得，即：， 再求出a的值，从而可得MN的长；
（2）①利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出即可；
②先画出函数图象，再结合函数图象分析求解即可.
（1）解：任务一：①根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故答案为：，，；．
（2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，，
，
由任务一可知：，
，
即，
解得：；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
29．【答案】（1）①
解：②由题意可得：
∴
解得：，
∴A
设经过点A的双曲线的函数表达式为
∴，解得：k=18
∴ 经过点A的双曲线的函数表达式
（2）解：由（1）可求：
，，，，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，，，
设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【知识点】反比例函数的性质；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解（1）①∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，
∴点D是AB的中点，，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，如图，
则、是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线定理可得A、B关于第一象限角平分线对称，则点D是AB的中点，，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，则则、是等腰直角三角形，则，，即，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由（1）可得，，，，根据矩形性质可得，，，设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点，建立方程可得，再根据边之间的关系可得，比较大小即可求出答案.
30．【答案】任务一：；
任务二：作于点，延长交于点，
①当时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②当时，
同理可得：，
∴；
任务三：方案二：如图，设新电池板的长度，
过点作水平线的垂线，交于点，则
∵在任意时刻均不能落在内，
∴最大，即当时，最大，
同任务二可得：，
∵电池板与坡度保持不变，，
，
∴，即，
解得，
由题意得：，
解得，
答：原来长的电池板最大可以定制约为
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：任务一：如图，过点作，
，
由题意得：，
，
故答案为：；
【分析】任务一：过点作，根据以及平行线的性质可得、，再由即可求解；
任务二：作于点，延长交于点，①当时，有，由可得，据此解直角三角形求出，再根据，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得的值，②当时，同样的方法可得的值，由此即可得出答案；
任务三：选择方案二：太阳能电池板不能被遮挡，则有在任意时刻均不能落在内，设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点，求出，再利用相似三角形的判定与性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得．
1 / 1情境型—广东省（北师版）九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024九上·禅城期末）2012年11月23日飞行员戴明盟驾驶国产第一代舰载机歼-15(绰号：飞鲨)在辽宁号航空母舰甲板上首降成功。小明想了解该机的观展长度(指机翼左右翼尖之间的距离)，可以选择以下哪些视图进行测量（　　）
主视图 左视图 俯视图
A．主(或左)视图 B．主(或俯)视图
C．左(或俯)视图 D．左视图
【答案】B
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
选择主(或俯)视图合适
故答案为：B
【分析】根据三视图特征即可求出答案.
2．（2024九上·清远期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器， 它由"晷面"和"晷针"组成. 当太阳光 照在日晷上时， 晷针的影子就会投向晷面. 随着时间的推移， 晷针的影子在原面上慢慢地移动，以此来显示时刻。则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
晷针在晷面上形成的投影是平行投影
故答案为：B
【分析】根据太阳光是平行投影即可求出答案.
3．（2024九上·顺德期中）如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上. 已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为(　　)
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，过A作AG⊥DE于G，交BC与F，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∵AG⊥BC，AF=0.1m，设AG=h，
则：，即，
解得：h=5m．
故答案为：B．
【分析】过A作AG⊥DE于G，交BC与F，证明△ABC∽△ADE，利用相似三角形对应边的高的比等于相似比，可得，代入数据计算，即可得到投影机光源离屏幕的大概距离.
4．（2024九上·连山期末）物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果， 再求出能让两盏灯泡同时发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
6．（2024九上·禅城期末）如图所示的花架中，AD∥BE∥CF，DE=24，EF=40，BC=50 (单位：cm)，则AB 长为（　　）
A． B． C．50 D．30
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF
∴，即
解得：AB=30
故答案为：D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．（2024九上·南海期末） 如图，电路连接完好，且各元件工作正常. 随机闭合开关中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把开关分别记为A，B，C
画出树状图
共有6中等可能得结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2中
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为：
故答案为：B
【分析】画出树状图，求出所有等可能得结果，再求出能让两个小灯泡同时发光的结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
8．（2024九上·福田期中）每年春秋季节，流感盛行，极具传染性。如果一人得流感，不加干预，经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人 设每人每轮平均感染x人，则下列方程正确
的是（　　）
A．（x+1）2=81 B．1+x+x2=81
C．1+x+（x+1）2=81 D．1+（x+1）+（1+x）2=81
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每人每轮平均感染x人，
∵1人患流感，一个人传染x人，
∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1＋x；
∴第二轮传染的人数为（1＋x）x，此时患病总人数为1＋x＋（1＋x）x＝（1＋x）2，
∵经过两轮后共有81人得流感，
∴可列方程为：（1＋x）2＝81．
故答案为：A．
【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“经过两轮后共有81人得流感”可得（1＋x）2＝81．
9．（2024九上·福田期中）如图，张老汉想用长为 70 米的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为 640 平方米的矩形羊圈AB 并在边 BC 上留一个 2 米宽的门（建在 EF 处，门用其他材料），设 AB 的长为 x 米，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x（70﹣x）＝640 B．x（70﹣2x）＝640
C．x（72﹣x）＝640 D．x（72﹣2x）＝640
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设AB的长为x米，则边BC的长为70-2x+2=（72-2x）米，
根据题意可得：x（72﹣2x）＝640，
故答案为：D.
【分析】设AB的长为x米，则边BC的长为70-2x+2=（72-2x）米，利用矩形的面积公式列出方程x（72﹣2x）＝640即可.
二、填空题
10．（2024九上·连山期末）如图，小华做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛　 　的地方时，蜡烛焰是像的一半．
【答案】7
【知识点】解分式方程；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，由题意得：
解得，
经检验，是原方程的解，
则小孔纸板应放在离蜡烛的地方时，蜡烛焰是像的一半．
故答案为：7．
【分析】设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据蜡烛焰是像的一半建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2024九上·南山月考）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点为的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的定义得，再代入数据求解即可．
12．（2024九上·禅城期末） 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏丰富的美学价值.佛山电视塔(如图)塔尖A到底部B的高度是238米，中间球体点P ( 点A、P、B 在同一直线)恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且BP>AP，则P点到底部B之间的高度是　 　米(结果保留根号).
【答案】（119—119）
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点P恰好是整个塔高的一个黄金分割点，且BP>AP
∴
故答案为：（119—119）
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
13．（2024九上·宝安期中）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm，EF=12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是　 　m
【答案】77.8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即，
解得：BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC＋BC＝1.8＋76＝77.8（m），
即“步云阁”的高度为77.8m，
故答案为：77.8．
【分析】先证出△DEF∽△DCB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
14．（2024九上·福田期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为　 　m.
【答案】16.8
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，
∴AN＝AB＋BN＝22.4m，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴BC∥MN，
∴△ABD∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝16.8m，
故答案为：16.8．
【分析】先证出△ABD∽△ANM，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出MN的长即可.
三、解答题
15．（2024九上·南海期末） 佛山某企业从2019年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表：
年度 2019 2020 2021 2022
投入技改资金万元 2. 5 3 4 4. 5
产品成本（万元/件） 7. 2 6 4. 5 4
（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
（2）按照这种变化规律，若2023年投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？
②若打算在2023年把每件产品的成本降低到3. 2万元，则需投入技改资金多少万元？
【答案】（1）解：由表中数据知，关系，得：
，
不是一次函数关系，（言之有理，就给分）
∴表中数据是反比例函数关系；
（2）解：①当得：，万元；
答：预计成本比2022年降低0. 4万元.
②当，得，
答：需投入技改资金约5. 625万元.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据x，y之间的关系即可求出答案.
（2）①将x=5代入函数解析式即可求出答案.
②将y=3.2代入函数解析式即可求出答案.
16．（2024九上·南海期末） 2023年10月8日，第19届亚运会在杭州举办. 小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务. 现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为.
（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到（宸宸）的概率是　 　；
（2）小蔡从中随机抽取两盒，请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的概率.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有6种结果：（A，B）（A，C）（B，A）（B，C）（C，A）（C，B），且每种结果出现的可能性相同，
其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的结果有2种：
∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到（宸宸）的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是（琮琮）和（莲莲）的结果，结合简单事件的概率即可求出答案.
17．（2024九上·电白期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段，某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）解：根据题意，单件的利润为元，销售件数为，
故，
化简，得：，
即函数关系为：．
（2）解：令，可得：，
解得：，，
当时，销量：（件）；
当时，销量：（件）；
销量越高，越有利于减少库存，即为了减少库存，将销售单价应定为18元．
【知识点】一元二次方程的根；列二次函数关系式
【解析】【分析】(1)利润=单件利润×销售量，单件利润为(x-8)元，销售件数为y，列出方程即可；
(2)销售利润为2200，即令W=2200，求得x的值，再求出对应的y的值，减少库存的话最终定y值大的.
18．（2024九上·顺德期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图，是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度与时间的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）解：设线段解析式为
线段过点
代入得解得
解析式为：
在线段上当时，
坐标为
线段的解析式为：
设双曲线解析式为：
双曲线解析式为：
关于的函数解析式为：
（2）解：由（1）恒温系统设定恒温为
（3）解：把代入中，解得，
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）设线段解析式为，根据待定系数法即将点代入解析式可得AB解析式为：，将x=5代入解析式可得B坐标为，则线段的解析式为：，设双曲线解析式为：，根据待定系数法将点C坐标代入双曲线解析式可得双曲线解析式为：，即可求出答案.
（2）根据函数图象即可求出答案.
（3）将y=10代入中即可求出答案.
19．（2024九上·清远期末） 已知蓄电池的电压为定值， 使用蓄电池时， 电流 (单位： A )与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1） 这个反比例函数的表达式是　 　.
（2） 若使用时电阻 ， 则电流 　 　A.
（3） 如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过 10 A ， 那么用电器的可变电阻至少是多少
【答案】（1）
（2）3
（3）解：当时，则
解得：R≥3.6
∴用电器的可变电阻至少3.6
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：（1）设电流 与电阻 的关系式为
∴将（9，4）代入关系式可得，解得：k=36
∴这个反比例函数的表达式是
故答案为：
（2）将R=12代入表达式，则
故答案为：3
【分析】（1）设电流 与电阻 的关系式为，根据待定系数法将点(9，4)代入关系式即可求出答案.
（2）将R=12代入关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．（2024九上·福田期中）2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目.赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90-100 80-89 70-79 60-69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了　 　名选手，m=　 　，n=　 　
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是度：　 　
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率，
【答案】（1）800；40；5
（2）126
（3）解：用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目，
画树状图为：
共有 6 种等可能的结果， 其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为 2 种，所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率 .
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名），
所以m＝800×5%＝40，
所以n%＝，
即n＝5；
故答案为：800，40，5.
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°，
故答案为：126.
【分析】（1）利用A的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出m、n的值即可；
（2）先求出B的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
21．（2024九上·南山期中）10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A.三阶6面魔方挑战赛；B.科技知识竞赛；C.环保调查；D.自制地球仪；E.机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．
根据上述信息，解决下列问题．
（1）本次调查总人数为 ▲ ，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数；
（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：50人
补全条形统计图如下：
（2）解：（人），
∴该校参加魔方游戏的学生人数约为810人；
（3）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），∴本次调查总人数为200；
（人），
∴喜欢D类的有50人；
【分析】（1）根据B类人数及所占百分比可得总人数，再求出D类人数，补全统计图即可求出答案.
（2）根据总人数×环保调查所占百分比即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出恰好抽到1名男生和1名女生的结果，根据简单事件的概率计算即可求出答案.
22．（2024九上·深圳期中）如右图，王华在晚上由路灯走向路灯 ，当他走到点 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行到达点时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 的底部．已知王华的身高是，两个路灯的高度都是，且
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华走到路灯处时，在图中画出他在路灯下的影子，并求影子的长度．
【答案】（1）解：如图，根据题意得
，
∴，
∴，
设，则，
根据题意得：，
，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴两个路灯之间的距离为.
（2）解：如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
设影长是，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴影长是．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得，设，则，将数据代入求出x的值，从而可得AB的长；
（2）先证出，可得，设影长是，将数据代入求出y的值即可.
（1）解：如图，由题意得，
∴，
∴，
设，则，
依题意得：，
，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴两个路灯之间的距离为；
（2）解：如图，
，
由题意得：，
∴，
∴，
设影长是，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，
∴影长是．
23．（2024九上·深圳期中）某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是两种瓶装饮料，它们分别是：绿茶和红茶，抽奖规则如下：如图，①是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品． 根据以上规则，回答下列问题：
（1）一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为　 　；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率．
【答案】（1）
（2）解：画表格得：
绿 红 茶
绿 （绿，绿） （红，绿） （茶，绿）
红 （绿，红） （红，红） （茶，红）
茶 （绿，茶） （红，茶） （茶，茶）
共有种等可能的结果，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的有种情况，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率为：．
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样，
∴一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为：，
故答案为：；
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：∵转盘被等分成三个扇形区域，每个区域上分别写有“绿”、“红”、“茶”字样，
∴一次“有效随机转动”可获得“茶”字的概率为：，
故答案为：；
（2）解：画表格得：
绿 红 茶
绿 （绿，绿） （红，绿） （茶，绿）
红 （绿，红） （红，红） （茶，红）
茶 （绿，茶） （红，茶） （茶，茶）
共有种等可能的结果，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的有种情况，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶绿茶的概率为：．
四、实践探究题
24．（2024九上·禅城期末）综合与实践
课题：小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务.
现有条件： 一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房.
（1）如图，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙ABEF　 　米处；
（2）小明选择按比例制作视力表完成该任务.在制作过程中发现视力表上视力值V 和该行字母E的宽度a 之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母 E 的宽度a 如上中图所示，视力表上部分视力值 V和字母E 的宽度a 的部分对应数据如右上表所示：
①请你根据表格数据判断(说明理由)并求出视力值 V与字母E 宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E 的宽度a 的值17.5mm， 请问该行对应的视力值是多少
【答案】（1）1.2
（2）解：①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，
设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0）
将V=0.1，a=70代入，解得k=7.
∴视力值V和字母E的宽度a(mm)的函数关系式为V=(a>0).
②将a=17.5代入V=，解得V=0.4
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
5-3.8=1.2
∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处
故答案为：1.2
【分析】（1）根据轴对称的性质即可求出答案.
（2）①根据表格数据可知，V随着a的减小而增大，且V和a的积为定值，故V和a成反比例函数关系，设V和a的函数解析式为V=（k＞0，a＞0），根据待定系数法将V=0.1，a=70代入即可求出答案.
②将a=17.5代入函数关系式即可求出答案.
25．（2024九上·禅城期末）为弘扬中华优秀传统文化，坚定文化自信，展现对家乡、对祖国的热爱之情，某校组织了有关佛山非物质文化进产知识的竞答活动，并随机抽取了八年级若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告.请根据报告中提供的信息，解答下列问题：
课题 佛山剪纸知识竞答成绩调查报告
问题 展示 佛山剪纸，在制作上主要有哪些方式 佛山剪纸的制作材料有哪些 ……
数据 的整 理与 描述
成绩/分 频数/人
频率 　
成绩/分 频数/ 人
频率
第1组.90≤x≤100 12 0.2 第4组.60≤x<70 m 0.117
第2组.70≤x<90 20 0.333 第5组.x<60 6 0.1
第3组.70≤x<80 15 0.25
调查 意义 了解佛山剪纸的知识，不仅能为同学们的美术色彩，工艺学习奠定基础，同时还能激发同学们对家乡的热爱.
调查 结果 　
（1）上述调查报告的数据收集方法是：　 　 (用“普查”或“抽样调查”填空)；
（2）调查报告中的m 值是　 　 ；在调查得到的数据中，中位数应该在第　 　组；
（3）将拍摄的“花”、 “竹”、“鸟”、 “兔”四张剪纸照片(除正面图案不同外，其余都相同)，背面朝上洗匀，甲、乙两同学随机各抽一张照片(不放回)做相关的知识介绍，请用树状图或列表的方式，求甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的概率.
【答案】（1）抽样调查
（2）7；2
（3）解：列表如下：
可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果有6种，
(恰有1人抽到“花”)==，
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
上述调查报告的数据收集方法是抽样调查
故答案为：抽样调查
（2）由题意可得：
总人数为：12÷0.2=60人
∴m=60-12-20-15-6=7
将数据按照从小到大的顺序排列，第30和31位都在第二组
∴中位数在第2组
故答案为：7，2
【分析】（1）根据抽样调查的定义即可求出答案.
（2）根据第1组频数和频率可得总人数，再根据总人数减去其他组人数即可得m值，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）列表，求出所有等可能结果，再求出其中甲、乙两人恰好有一人抽到“花”的等可能结果，再根据简单事件的概率即可求出答案.
26．（2024九上·南海期末） 综合与实践
主题：X型晒衣架稳固性检测
步骤：如图甲是晒衣架的实物图，图乙是晒衣架侧面示意图，经测量得到立杆，，现将晒衣架完全稳固张开，横扣链成一条线段，测得.
证明与计算：
（1）连接，证明：；
（2）利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
【答案】（1）证明：连接，
∵立杆相交于点，
.
又，
，
，
同理可得AC∥BD
（2）解：如图，过点作于点，过点作
，由（1）已证
，
是等腰三角形.
，
是边上的中线，
.
在中，根据勾股定理，得
.
，即，
解得，
答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）连接，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）过点作于点，过点作，则，由（1）已证，则由相似三角形判定定理可得，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形.，则EN=16，再根据勾股定理可得ON=30，再根据相似三角形相似比可得，代值计算即可求出答案.
27．（2024九上·宝安期中）如图
（1）【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.
（2）【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树A8的高.
【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
∵太阳光线是平行的，
∴DF∥AC，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝6m，BC＝2m，EF＝3m，
∴，
∴DE＝9m，
答：立柱DE的长为9m.
（2）解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝1m，△BCE∽△B'BA'，
∴A'B'：B'B＝BE：BC，
即1：2＝BE：4，
∴BE＝2，
∴AB＝2＋1＝3（m），
答：这棵树高3m.
【知识点】相似三角形的应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，EF就是DE的投影，先证出△ABC∽△DEF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可；
（2）过点C作CE∥AD交AB于点E，先证出△BCE∽△B'BA'，再利用相似三角形的性质可得A'B'：B'B＝BE：BC，将数据代入求出BE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
28．（2024九上·深圳期中）【项目式学习】
项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界
项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
项目素材：
素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如下表
物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒
缩小 倒立
等大 倒立
放大 倒立
与物同侧 放大 正立
素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．
项目任务：
（1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________；
（2）任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高，
①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ；
②当时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”）
（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．
【答案】（1），，；
（2）①；
②减小
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）解：任务一：根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故答案为：，，；．
（2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，，
，
由任务一可知：，
，
即，
解得：；
故答案为：；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
【分析】（1）先证出， 再利用相似三角形的性质求出；再设，则，， 证出， 可得，即：， 再求出a的值，从而可得MN的长；
（2）①利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出即可；
②先画出函数图象，再结合函数图象分析求解即可.
（1）解：任务一：①根据题意得：矩形，
∴，
根据题意得：与平行，
则，
∴，即：，
设，则，，
由题意得，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故答案为：，，；．
（2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，，
，
由任务一可知：，
，
即，
解得：；
②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：
当当时，随的增大而减小，
故答案为：减小．
29．（2024九上·南山期中）根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于CD对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
（1）问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，CD落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为 ▲ ．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗
若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物 （已知，．）
【答案】（1）①
解：②由题意可得：
∴
解得：，
∴A
设经过点A的双曲线的函数表达式为
∴，解得：k=18
∴ 经过点A的双曲线的函数表达式
（2）解：由（1）可求：
，，，，
∵四边形EFGH是矩形，
∴，，，
设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
【知识点】反比例函数的性质；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解（1）①∵CD落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于CD对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，
∴点D是AB的中点，，
过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，如图，
则、是等腰直角三角形，
∵，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线定理可得A、B关于第一象限角平分线对称，则点D是AB的中点，，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F，则则、是等腰直角三角形，则，，即，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）由（1）可得，，，，根据矩形性质可得，，，设OD和EH交于点，若能刚好通过，则点，建立方程可得，再根据边之间的关系可得，比较大小即可求出答案.
30．（2024九上·福田期中）根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，，
素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面．
问题解决
任 务 一 计算角度 当等于时，______．
任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）．
任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到）．
【答案】任务一：；
任务二：作于点，延长交于点，
①当时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②当时，
同理可得：，
∴；
任务三：方案二：如图，设新电池板的长度，
过点作水平线的垂线，交于点，则
∵在任意时刻均不能落在内，
∴最大，即当时，最大，
同任务二可得：，
∵电池板与坡度保持不变，，
，
∴，即，
解得，
由题意得：，
解得，
答：原来长的电池板最大可以定制约为
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：任务一：如图，过点作，
，
由题意得：，
，
故答案为：；
【分析】任务一：过点作，根据以及平行线的性质可得、，再由即可求解；
任务二：作于点，延长交于点，①当时，有，由可得，据此解直角三角形求出，再根据，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得的值，②当时，同样的方法可得的值，由此即可得出答案；
任务三：选择方案二：太阳能电池板不能被遮挡，则有在任意时刻均不能落在内，设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点，求出，再利用相似三角形的判定与性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得．
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