湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年高一（上）12月联考数学试题（PDF版，含答案）

湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中、洪山高中 2024-2025 学年高一（上）
12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 ( ) = 3 2，则在下列区间中，使函数 ( )有零点的区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. ( 2, 1) D. ( 1,0)
√ 2
2.函数 ( ) = 的定义域为( )
ln(2 +1)
1 1 1 1
A. ( , 2] B. [ , 2] C. ( , 0) ∪ (0,2] D. [ , 0) ∪ (0,2]
2 2 2 2
3.图中 1、 2、 3为三个幂函数 = 在第一象限内的图象，则解析式中指数 的
值依次可以是( )
1
A. 、3、 1
2
1
B. 1、3、
2
1
C. 、 1、3
2
1
D. 1、 、3
2
4.我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝( ).对

于一个强度为 的声波，其音量的大小 可由如下公式计算： = 10 lg (其中 0是人耳能听到的声音的最低 0
声波强度).设 1 = 70 的声音强度为 1， 2 = 60 的声音强度为 2，则 1是 2的( )
7 7 7
A. 倍 B. 10倍 C. lg 倍 D. ln 倍
6 6 6

5.函数 ( ) =
2
的部分图象大致是( )
+| | 2
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A. B.
C. D.
3 1 4 1 2 3
6.设 = ( )2, = ( )4, = ( )4，则 ， ， 的大小顺序是( )
4 3 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
2+3
7.已知 > 0， > 0， + 2 = 3，则 的最小值为( )

A. 3 2√ 2 B. 2√ 2 + 1 C. √ 2 1 D. √ 2 + 1
1 3
8.设函数 = ( 2) + 3是奇函数，函数 ( ) = 的图象与 ( )的图象有2024个交点，则这些交点的所
+2
有横坐标与纵坐标之和等于( )
A. 10120 B. 5060 C. 10120 D. 5060
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若10 = 4，10 = 25，则下列结论正确的是( )
A. + = 2 B. > lg6 C. = 1 D. > 8(lg2)2
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯取整函数为 = [ ]，[ ]表示不
1
超过 的最大整数，例如[ 3.5] = 4，[2.1] = 2，已知函数 ( ) = ， ( ) = [ ( )]，则下列说法中1+ 2
正确的是( )
A. ( )是奇函数 B. ( )在 上是增函数
C. ( )是偶函数 D. ( )的值域是{ 1,0}
11.若8 + 3 3 + 1 = 4 + 2 9(3 )，则( )
A. < B. < 2 C. > D. > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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3 ( ≤ 0) 1
12.已知函数 ( ) = { ，则 [ ( )] = ．
2 , ( > 0) 16
1
13.函数 = ( )与 ( ) = ( ) 的图象关于直线 = 对称，则 (4 2)的单调递增区间是
2
| 2( 1)|, 1 < ≤ 3
14.已知函数 ( ) = {1 10 ，若关于 的方程 ( ) = 有4个不同的实根 、 、 、 ，
2 + 8, > 3 1 2 3 4
3 3
( + )
且 1 < < < ，则
1 2 3 4
2 3 4 的取值范围为 ． 1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算下列各式的值：
1 1 1 0 4
(1)0.027 3 164 + ( ) √256；
7
5
(2)log 2 + 2lg4 + lg + 3ln21 ．
8
4
16.(本小题15分)
2
已知集合 = { | 2 + 3 4 ≥ 0}，集合 = { | ≤ 0}．

(1)若 = { |2 < < 1 + }，且 ( ∩ )，求实数 的取值范围．
1 1
(2) = { | 2 (2 + ) + ( + ) ≤ 0}，若 ∈ ∩ 是 ∈ 的必要不充分条件，判断实数 是否存
2 2
在，若存在求 的范围．
17.(本小题15分)
已知定义域为 = ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)的函数 ( )满足对任意 1、 2 ∈ 都有 ( 1 2) = 1 ( 2) + 2 ( 1)．
(1)求证： ( )是奇函数；
( )
(2)设 ( ) = ，证明：对任意 1、 2 ∈ 都有 ( 1 2) = ( 1
) + ( 2)；
(3)当 > 1时， ( ) < 0，求不等式 ( 2) > ( )的解集．
18.(本小题17分)
1
已知 ∈ ，函数 ( ) = 2 ( + )．
(1)若关于 的方程 ( ) + 2(
2) = 0的解集中恰有一个元素，求 的值；
1
(2)设 > 0，若对任意 ∈ [ , 1]，函数 ( )在区间[ , + 1]上的最大值与最小值的差不超过1，求 的取值范
2
围．
19.(本小题17分)
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关于 的方程( 2 1)2 2 | 2 1| + + 1 = 0( ∈ )．
(1)若方程无实根，求 的取值范围；
(2)若方程有4个不等实根，求 的取值范围；
1 1 1
(3)若 = + ，且满足 + = , > 0, > 0试判断方程根的个数．
+2 +3 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
81
13.【答案】(0,2)
14.【答案】(21,24)
1 1
4
15. ( )【答案】解：(1)原式= (0.3)3× 3 (24)4 + 1 √44
5
= 0. 3 1 2 + 1 4 = ;
3
log 2 5 3
(2)原式= 2 + lg421 + lg +
ln2
log 824
1 5 17
= + lg (16 × ) + 23 = ．
2 8 2
16.【答案】解：(1)由题意可得 = { | ≤ 4或 ≥ 1}， = { |0 < ≤ 2}，
∴ ∩ = { |1 ≤ ≤ 2}，
由于 ( ∩ )，
当 = 时，有1 + ≤ 2 ，即 ≥ 1；
< 1
1
当 ≠ 时，有{2 ≥ 1 ，解得 ≤ < 1．
2
1 + ≤ 2
1
综上所述， ∈ [ , +∞)；
2
(2)由题意可得， ( ∩ )且 ≠ ( ∩ )，
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1 1
∵ = { |( ) [ ( + )] ≤ 0} = { | ≤ ≤ + }，
2 2
≥ 1 3 3
∴ { 1 且等号不同时取，解得1 ≤ ≤ ，∴ ∈ [1, ]．
+ ≤ 2 2 2
2
17.【答案】(1)
因为函数 ( )的定义域为 = ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，
对任意 1、 2 ∈ 都有 ( 1 2) = 1 ( 2) + 2 ( 1)，
令 1 = 2 = 1，得 (1) = 2 (1)，故 (1) = 0，
令 1 = 2 = 1，得 (1) = 2 ( 1) = 0，可得 ( 1) = 0，
令 1 = ， 2 = 1，得 ( ) = ( ) + ( 1) = ( )，故函数 ( )为奇函数．
(2)
因为 ( 1 2) = 1 ( 2) + 2 ( 1)，且 1 ≠ 0， 2 ≠ 0，
( 1 2) ( 1) ( 2)所以， = + ，即 ( 1 2) = ( 1) + ( 2)． 1 2 1 2
(3)

设 1 11 > 2 > 0，则 > 1，所以 ( ) < 0， 2 2

因为 ( 1) = ( 2
1) = ( ) + ( 1) < ( )，
2 22 2
所以， ( )在(0, +∞)上是减函数，
( )
因为函数 ( )的定义域为 = ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)， ( ) = ，且 ( )为奇函数，

( ) ( ) ( )
所以， ( ) = = = = ( )，即函数 ( )是偶函数，

| | |
( ) ( ) (| |) (| |) 2 <
|
由 2 > 可得 2 > ，则{ ，解得 > 1且 ≠ 2，
2 ≠ 0
因此，不等式 ( 2) > ( )的解集为(1,2) ∪ (2, +∞)．
18.【答案】(1)
关于 的方程 ( ) + ( 22 ) = 0的解集中恰有一个元素，
1 1
将 ( )代入可得 2 ( + ) + 2(
2) = 0，即 2 [( + ) (
2)] = 0，

1
由对数运算性质可得( + ) ( 2) = 1，化简可得 2 + 1 = 0，

即方程 2 + 1 = 0的解集中恰有一个元素，
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当 = 0时，代入可得 1 = 0，解得 = 1，满足题意，
1
当 ≠ 0时，则 = 1 + 4 = 0，解得 = ，
4
再代入方程可解得 = 2，代入经检验可知，合乎题意．
满足关于 的方程 ( ) + 2(
2) = 0的解集中恰有一个元素，
1
综上可知， = 0或 = ．
4
(2)
1
若 > 0，对任意 ∈ [ , 1]，函数 ( )在区间[ , + 1]上单调递减，
2
1 1
由题意可知 2 ( + ) 2 ( + ) ≤ 1， +1
1
+ 1 1 1 2
化简可得 1 ≤ 2，即 + ≤ 2 ( + )，所以 ≤ ，
+ +1 +1
+1
1 1 2 +1 2 1
令 ∈ [ , 1]， ( ) = = =
2 +1 ( +1) [( 1)+1][( 1)+2]
1
= 2 ， ( 1) +3( 1)+2
当 = 1时， ( ) = 0，
1 1
当 ∈ [ , 1)时， ( ) = ，
2 2 + 2
1
2 1
设 ( ) = + 2， ∈ [ , 1),
1 2
1 2 2
设 ≤ 1 < 2 < 1，则 ( 2 1
) ( 2) = 1 + + 1 2 1 1 2
2( ) ( )[(1 )(1 ) 2]
= 2 1 +
1 2 = 2 1 1 2 ，
(1 1)(1 2) (1 1)(1 2)
1 1 1
∵ ≤ 1 < 2 < 1，则0 < 1 1 ≤ ，0 < 1 2 2 2 < ， 2
∴ (1 1)(1 2) 2 < 0，∴ ( 1) < ( 2)，
1 1 3
所以 ( )在 ∈ [ , 1)是增函数， ( ) ≥ ( ) = ，
2 2 2
2 2
∴ 0 ≤ ( ) ≤ ，∴ ≥ ，
3 3
2
所以 的取值范围为[ , +∞)．
3
19.【答案】解：(1)令 = | 2 1|，则 ≥ 0，
原方程转化为 2 2 + + 1 = 0( )， = (2 )2 4( + 1)，
原方程无实根，则需( )式无实根或实根均小于零，
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令 ( ) = 2 2 + + 1，
①若( )式无实根，则 < 0，
1 √ 5 1+√ 5
解得 < < ，
2 2
0
②若( )式实根均小于零，则{ < 0 ,
(0) > 0
1 √ 5
解得 1 < ≤ ，
2
1+√ 5
综合①②，可知 的取值范围是( 1, )；
2
(2)作函数 = | 2 1|的图象，
可知 = 0或 > 1时，每一个 值对应2个不同的 值，
= 1时一个 值对应3个不同的 值，
0 < < 1时一个 值对应4个不同的 值，
要使原方程有四个不等实根，
①( )式一根为零，另一根大于1，无解；
> 0
1+√ 5
②( )有两不等根且两根均大于1，则{ > 1 ，解得 < < 2；
2
(1) > 0
(0) < 0
④( )式有1实根在(0,1)之间，另一根小于零，则{ ，
(1) > 0
解得 < 1 ．
1+√ 5
综上所述， 取值范围为( ∞, 1) ∪ ( , 2)；
2
1 1 +2 + +3 2( + )+3 1
(3)因为 + = = = ，
+2 +3 ( +2 )( +3) ( +2 )( +3) 2
1
所以2( + ) + 3 = ( + 2 )( + 3)，
2
1 1 1 1 1
因为 , 为正实数，所以 = + ≥ 2√ × ，
2 +2 +3 +2 +3
1 1 1
可得 ≥ × ，即( + 2 )( + 3) ≥ 16，
16 +2 +3
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5
所以2( + ) + 3 ≥ 8，即 + ≥ ，
2
1 1 3
当且仅当 = 即 = 1， = 时等号成立，
+2 +3 2
> 0
5
故 ≥ ，此时有{ > 1 ,
2
(0) > 0, (1) < 0
故( )式有两不等实根且一根在(0,1)之间，另一根大于1，
故原方程有6个实根．
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