浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二（上）12月月考数学试题（PDF版，含答案）

浙江省杭州学军中学 2024-2025 学年高二（上）12 月月考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 经过点 ( 1,0)， (0,7)，则直线 的方程为( )
A. 7 + + 7 = 0 B. 7 + 7 = 0 C. 7 7 = 0 D. 7 +7 = 0
2 2
2.若椭圆 2 + = 1( > √ 3)的长半轴长等于其焦距，则 =( ) 3
A. 2 B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 4
3.已知直线 1:2 + 3 1 = 0与 2 :3 + ( + 1) + 2 = 0垂直，则实数 =( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
4.抛物线 = 2025 2的准线方程为( )
2025 2025 1 1
A. = B. = C. = D. =
2 4 4050 8100
5.在四面体 中， 为棱 的中点，点 为线段 上一点，且 = 4 ，设 = ， = ， = ，
则 =( )
1 2 1 2 1 2 2 1A. B. + C. + D. +
5 5 5 5 5 5 5 5
6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕
天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，
向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石
)( )
A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块
7.已知点 为圆 : ( 2)2 + 2 = 2( > 0)上一动点，若直线 √ 3 + 6 = 0上存在两点 ， ，满足| | =
4，且∠ = 90 ，则 的最小值为( )
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A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为棱 1 1的中点， 为侧面 1 1的中心，点 ， 分别为
直线 ， 上的动点，且 ⊥ ，当| |取得最小值时，点 到平面 的距离为( )
√ 6 √ 5 √ 3
A. B. C. 1 D.
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，下列命题为真命题的是( )
A. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B. 若 // ， // ，则 //
C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 或 D. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 或
10.一般地，对于数列{ }，如果存在一个正整数 ，使得当 取每一个正整数时，都有 + = ，那么数列
{ }就叫作周期数列， 叫作这个数列的一个周期，则下列结论正确的是( )
A. 对于数列{ }，若 ∈ {1,2}( = 1,2,3, )，则{ }为周期数列
B. 若{ }满足： 2 = 2 +2，

2 1 = 2 +1( ∈ )，则{ }为周期数列
C. 若{ }为周期数列，则存在正整数 ，使得| | < 恒成立
D. 已知数列{ }的各项均为非零整数， 为其前 项和，若存在正整数 ，使得| | < 恒成立，则{ }为
周期数列
11.已知点 为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点，点 为抛物线 上位于第一象限内的点，直线 为抛物线 的
准线，点 在直线 上，若| | = 2+ √ 2，| | = √ 2，∠ = 90 ，且直线 与抛物线 交于另一点 ，
则下列结论正确的是( )
A. 直线 的倾斜角为60 B. 抛物线 的方程为 2 = 2
| |
C. = 3+ 2√ 2 D. 点 在以线段 为直径的圆上 | |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等差数列{ }中，若 3 + 9 = 10，则 2 + 5 + 11 = ．
2 2
13.已知 1， 2是双曲线 2 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，以 2为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐
近线交于 ， 两点，若2| | = | 1 2 |，则双曲线的离心率是 ．
+ 2, < ,
14.已知 > 0，函数 ( ) = {√ 2 2 , ≤ ≤ ,设 ( 3 , ( 3))， ( 4, ( 4))，其中 3 < ， 4 ≥ ，
√ 1, > .
若| |存在最小值，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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已知双曲线的中心在原点，右焦点为(2,0)，过点(√ 3, 1)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线 = ( 1)与双曲线有且只有一个公共点，求实数 的值．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，∠ = 60 ， ⊥平面 ， = 3，且 = 2 ，
= ， = 3 ．
(1)求直线 与直线 所成角的余弦值;
(2)证明： ， ， ， 四点共面．
17.(本小题15分)
2 1
记 为数列{ }的前 项和， 为数列{ }的前 项积，已知 + = 2．
(1)证明：数列{ }是等差数列;
(2)求{ }的通项公式．
18.(本小题17分)
2
如图，在矩形 中，点 , 分别在线段 , 上， = = = = 4.沿直线 将 翻折成
3
′ ，使平面 ′ ⊥平面 ．
(1)证明： ′ ⊥ ；
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(2)求二面角 ′ 的余弦值；
(3)点 ， 分别在线段 、 上，若沿直线 将四边形 向上翻折，使 与 ′重合，求线段 的长．
19.(本小题17分)
已知点 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，定义 ， 的“倒影距离”为[ , ] = | 1 2| + | 2 1|，我们把到两定点
1( 2,0)， 2(2,0)的“倒影距离”之和为6的点 的轨迹 叫做“倒影椭圆”．
(1)求“倒影椭圆” 的方程;
(2)求“倒影椭圆” 的面积;
(3)设 为坐标原点，若“倒影椭圆” 的外接椭圆为 ， 为外接椭圆 的下顶点，过点(0,2)的直线与椭圆
交于 ， 两点(均异于点 )，且△ 的外接圆的圆心为 (异于点 )，证明：直线 与 的斜率之积为
定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】15
2√ 10
13.【答案】
5
14.【答案】(0,1)
15.【答案】解：(1)由双曲线的中心在原点，焦点在 轴上， = 2，过点(√ 3, 1)，
2 2
设双曲线的方程为： 2 2 = 1( > 0, > 0)，由
2 + 2 = 4，

3 1
过点(√ 3, 1)，可得 22 2 = 1，可得 = 2，即得
2 = 2 = 2，

2 2
故双曲线标准方程为： = 1；
2 2
= ( 1)
(2)由{ 2 2 ，得(1
2) 2 +2 2 2 2 = 0
= 1
2 2
1 2 ≠ 0
由题意得{ ，解得 = ±
= 4 4 4(1 2)( 2 2) = 0 √
2．
当1 2 = 0，即 = ±1时，直线与双曲线的渐近线 = ± 平行，直线与双曲线只有一个公共点，
所以 = ±√ 2或 = ±1．
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16.【答案】(1)解：连接 ，因为四边形 为菱形，又∠ = 60 ，所以△ 为等边三角形，取 的
中点 ，连接 ，则 ⊥ ，所以 ⊥ ，因为 ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系 ，
，
则 (0,0,0)， (0,0,3)
2
， (√ 3, 1,0)， (0,2,0)， = (0,0,3)，由 = 3 ，可知 (0, , 2)，所以 =
3
1
6 3 3
( √ 3, , 2)，于是cos < ， >=
3 | ||
= 8 = 4，故直线 与直线 所成角的余弦值为 ； | 3× 4
3
(2) 3证明：因为 = 2 ， = ，所以 ， 分别为 ， 的中点，则
√ 3 1
( , , 0)， (0,0, )，连接 ，
2 2 2
，则
3 √ 3 3 1
= ( √ 3, 1, )， = ( , , 0)，设 = + ，由(1)知 = ( √ 3, , 2)，则
2 2 2 3
3 √ 3 3 1
( √ 3, 1, ) = ( , , 0) + ( √ 3, , 2)，
2 2 2 3
√ 3
√ 3 = √ 3
2
则 3 1 = 1 ,
2 3
3
{2 = 2
1 3
解得 = ， = ，
2 4
所以
1
=
3
+ ，故 ， ， ， 四点共面．
2 4
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17.【答案】解：(1)证明：[方法一]：
2 1 2 1
由已知 + = 2 得 = ，且 ≠ 0 ， ≠ ，

2 1 2
3
取 = 1 ，由 1 = 1 得 1 = ， 2
由于 为数列 { } 的前 项积，
2 1 2 2 所以 2 · · = ，
2 1 1 2 2 1 2 1

2 1 2 所以 2
2 +1
· · = ，
2 1 1 2 2 1 2 1
+1
+1
2 +1 +1
所以 = ，
2 +1 1
由于 +1 ≠ 0，
2 1 1
所以 = ，即 +1 = ，其中 ∈
，
2 +1 1 2
3 1
所以数列 { } 是以 1 = 为首项，以 = 为公差等差数列; 2 2
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 = 1 2 3 1 ①
于是 1 = 1 2 3 1( ≥ 2) . ②

由①②得 = ， ③ 1
2 1
又 + = 2 ， ④

1
由③④得 1 = ， 2
3
令 = 1 ，由 1 = 1 ，得 1 = ， 2
{ 3 1所以数列 } 是以 为首项， 为公差的等差数列； 2 2
[方法三]：
2 1
由 + = 2 ，得

= ，且 ≠ 0 ， ≠ 0 ， ≠ 1 ，
2 2


1 1
又因为 = 1 1 = 1 ，所以 1 = = ，所以 = = 2 2 1 2 2 2 2
1 1= ( ≥ 2) ，
2( 1) 2
2 1 3
在 + = 2 中，当 = 1 时， 1 = 1 = ， 2
3 1
故数列 { } 是以 为首项， 为公差的等差数列； 2 2
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[方法四]：数学归纳法
2 1 2 3 5 3 1
由已知 + = 2 ，得 = ， 1 = ， 2 = 2 ， 3 = ，猜想数列 { } 是以 为首项， 为公 2 1 2 2 2 2
1
差的等差数列，且 = + 1 ， 2
下面用数学归纳法证明，
当 = 1 时显然成立，
1 +2
假设当 = 时成立，即 = + 1, 2 = ， +1
1 +3 +3 1
那么当 = + 1 时， +1 = +1 = ( + 1) = = ( + 1) + 1 ， 2 +2 2 2
综上，猜想对任意的 ∈ 都成立，
即数列 {
3 1
} 是以 为首项， 为公差的等差数列； 2 2
3 1
(2)由(1)可得，数列 { } 是以 1 = 为首项，以 = 为公差的等差数列， 2 2
3 ( ) 1 ∴ = + 1 × = 1+ ， 2 2 2
2 2+
=
= ，
2 1 1+
3
当 = 1时， 1 = 1 = ， 2
2+ 1+ 1
当 ≥ 2时， = 1 = = ，显然对于 = 1不成立， 1+ ( +1)
3
, = 1
∴ = {
2
1 ．
, ≥ 2
( +1)
18.【答案】解：(1)
取 中点 ，连接 , ′ ．
∵ = ，∴ ⊥ ，由折叠得 ⊥ ′ ．
∵ ∩ ′ = , , ′ 平面 ′ ，∴ ⊥平面 ′ ．
∵ ′ 平面 ′ ，∴ ′ ⊥ ．
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(2) ∵平面 ′ ⊥平面 ，平面 ′ ∩平面 = ， ′ 平面 ′ ， ′ ⊥ ，∴ ′ ⊥平面 ．
2
∵ = = = = 4,∠ = ，
3 2
1
∴ = 8, = 6, = 10, = 4√ 2, = ′ = = 2√ 2．
2
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 (4,0,0)， (0,4,0)， (2,2,0)， ′(2,2,2√ 2)， (10,0,0)，
(10,8,0)，
∴ = (6,0,0)， ′ = (2, 2, 2√ 2)，
6 = 0
设平面 ′ 的法向量为 = ( , , )，则{ ，取 = (0, 2, 1)．
2 2 2√ 2 = 0
√
由题意得，平面 的法向量为 = (0,0,1)，
1 √ 3
∴ cos , = = = ，
| || | √ 3×1 3
√ 3
由图可得二面角 ′ 的平面角为锐角，∴二面角 ′ 的余弦值为 ．
3
(3)连接 ′ , ．
设 = (0 ≤ ≤ 6)，则 ( + 4,0,0)．
∵翻折后 与 ′重合，∴ ′ = ，
由(2)得， ′(2,2,2√ 2)， (10,8,0)，
2 21 21
∴ ( + 2)2 + ( 2)2 + ( 2√ 2) = ( 6)2 + ( 8)2 + 02，解得 = ，即 = ．
4 4
19.【答案】解：(1)设 ( , )，由“倒影距离”的定义可知，[ , 1] = | 0| + | 2 | = | | + | + 2|，
[ , 2 ] = | 0| + |2 | = | | + | 2|，
由题可知[ , 1] + [ , 2 ] = 6，即2| | + | 2| + | + 2| = 6.所以“倒影椭圆” 的方程为2| | + | 2| +
| + 2| = 6．
(2)由2| | + | 2| + | + 2| = 6得，2| | = 6 | 2| | + 2|，
+ 3, 3 ≤ ≤ 2,
当 ≥ 0时， = {1, 2 < < 2,
+ 3,2 ≤ ≤ 3,
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3, 3 ≤ ≤ 2,
当 < 0时，由对称性可知， = { 1, 2 < < 2, 其图象如图所示，
3,2 ≤ ≤ 3,
1
故“倒影椭圆” 的面积为 = 2 × × (4 + 6)× 1 = 10．
2
(3)
2 5 2
证明：由上图可得，“倒影椭圆” 的外接椭圆 长半轴长为3，且经过点(1,2)，可得 的方程为 + = 1．
9 9
由(2)可知， (0, 3)，由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2 , 2).
= +2,
{ 4 5联立 2 5 2 ，∴ ( 2 +5) 2 + 4 5 = 0， > 0恒成立，则
+ = 1 1
+ 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
+5 +5
9 9

线段 的中点为( 1
1 3 1 +3 +5, )，即( 1 , 1 )，又 1 = =
1
，
2 2 2 2 1 1
1
则 的中垂线的方程为
1 = 1 ( 1)，即( 2+ 1) 21 + (4 2 2 ) 1 5 10 = 0． 2 1+5 2
同理可得 的中垂线的方程为( 2+ 1) 22 + (4 2 2 ) 2 5 10 = 0．
设△ 的外接圆的圆心 的坐标为( 0, 0)，则 1， 2是方程(
2 +1) 2 + (4 2 0 2 0) 5
10 0 = 0的两个根，
4 2 0 2 5 10 4 5 2 0 0
所以 1+ 2 =
0， = 02 1 2 2 ，又 1+ 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，可得 = 2 ，
+1 +1 +5 +5 1+2 0
1 1
整理得 0 = 5
0
0，则 = ，即 5 = ， 0 5
1
故直线 与 的斜率之积为定值 ．
5
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