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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共16道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（八年级·广东佛山·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数.
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，.
像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
(1)解决问题：分母有理化，得_____________，的有理化因式是____________；
(2)计算：；
(3)化简：.
2．（八年级·四川眉山·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：；
例2：，，；
利用以上结论解答以下问题：
(1)______；______；
(2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）；
(3)利用上面结论，求的值．
3．（八年级·四川宜宾·阶段练习）阅读例题，并解答后面的问题．
例：．
(1)化简：①；②；
(2)利用解答（1）的经验，比较与的大小；
(3)根据所积累的经验，比较与的大小．
4．（八年级·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，，
(1)若，求的值；
(2)比较与的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算：．
5．（八年级·四川成都·期中）阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出_____；
(2)利用上面的解法，请化简：
(3)和的值哪个较大，请说明理由．
6．（八年级·山东济南·阶段练习）【阅读材料】
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．
解：．
【理解应用】
(1)______；______；
(2)若a是的小数部分，化简；
(3)根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
；
(4)已知，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
1．（八年级下·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然再解答：
我们可以利用完全平方公式化简形如的代数式，只要我们找到两个正数、，使使得那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于4+3=7，4×3=12
即
（1）填空______，_______．
（2）化简：．
2．（八年级下·福建莆田·期中）若要化简我们可以如下做：
仿照上例化简下列各式：
（1）
（2）
3．（八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：
∵，∴，即
∴的最小值为
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；
（2）求的最值；
（3）已知，求的最值．
4．（八年级·湖北十堰·期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，
这样，，于是.
例如：化简.
解：这里，，由于，，即，，
.
由上述例题的方法化简：（1）；（2）
5．（八年级·湖南娄底·期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的．
例如：
仿照上例完成下面各题：
填上适当的数：
②试将予以化简．
6．（八年级·山东枣庄·期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中，，，都是正整数），则有.∴，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法.
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得__________，___________；
（2）利用上述方法，填空：（________-____）；
（3）如果，且，，都是正整数，求的值.
1．（八年级·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），
请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，
∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
1．（八年级·广东揭阳·期中）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
2．（八年级·陕西宝鸡·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式，
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范围．
3．【阅读理解】在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，
∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
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【专题突破】2024-2025八年级下册数学人教版 能力提升
本题组共16道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（八年级·广东佛山·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数.
如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，.
像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
(1)解决问题：分母有理化，得_____________，的有理化因式是____________；
(2)计算：；
(3)化简：.
【答案】(1)，(2)2(3)
【详解】（1）解：，
由，则的有理化因式是．
故答案为：，．
（2）解：
．
（3）解：
．
2．（八年级·四川眉山·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
例1：；
例2：，，；
利用以上结论解答以下问题：
(1)______；______；
(2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律（无需证明）；
(3)利用上面结论，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【详解】（1）解：解：原式=；
原式=．
（2）解：由题可知：．
（3）解：利用第小问结论得，
原式；
；；
；．
3．（八年级·四川宜宾·阶段练习）阅读例题，并解答后面的问题．
例：．
(1)化简：①；②；
(2)利用解答（1）的经验，比较与的大小；
(3)根据所积累的经验，比较与的大小．
【答案】(1)①；②；(2)(3)
【详解】（1）解：① ；
②
（2）解： 由（1）可知：
，，
（3）解： ，
，
．
4．（八年级·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，，
(1)若，求的值；
(2)比较与的大小，并说明理由．
(3)利用这一规律计算：．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵，
∴原式，，；
（2）解：∵，
，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
∴原式，．
5．（八年级·四川成都·期中）阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)观察上面的解答过程，请写出_____；
(2)利用上面的解法，请化简：
(3)和的值哪个较大，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：，理由如下：
∵，，且，
∴，
∴．
6．（八年级·山东济南·阶段练习）【阅读材料】
把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简．
解：．
【理解应用】
(1)______；______；
(2)若a是的小数部分，化简；
(3)根据你的猜想、归纳，运用规律计算：
；
(4)已知，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)(4)
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：由题意，
，
∴；
（4）解：由（3）知，
，
，
，
∵，
∴．
1．（八年级下·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然再解答：
我们可以利用完全平方公式化简形如的代数式，只要我们找到两个正数、，使使得那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于4+3=7，4×3=12
即
（1）填空______，_______．
（2）化简：．
【答案】（1），；（2）.
【详解】解：（1）==；
==；
故答案为：；；
（2）==.
2．（八年级下·福建莆田·期中）若要化简我们可以如下做：
仿照上例化简下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）-
【详解】解：（1）∵4+2= 3+1+2=（）2+2××1+12=（+1）2，
∴
（2）∵=
∴=（）2-2××+（）2=（-）2，
∴
3．（八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,如：
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式, 利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．
如：
∵，∴，即
∴的最小值为
阅读上述材料解决下面问题：
（1） ， ；
（2）求的最值；
（3）已知，求的最值．
【答案】（1）；（2）-；（3）-4.
【详解】（1），；
（2）∵==≥-1
∴的最小值为-；
（3）∵=
∴==
=≤-4
故的最大值为-4.
4．（八年级·湖北十堰·期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，
这样，，于是.
例如：化简.
解：这里，，由于，，即，，
.
由上述例题的方法化简：（1）；（2）
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）原式，
（2）原式.
5．（八年级·湖南娄底·期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的．
例如：
仿照上例完成下面各题：
填上适当的数：
②试将予以化简．
【答案】①，，；②5.
【详解】先阅读下列材料，再解决问题：
①填上适当的数：
②解：原式
6．（八年级·山东枣庄·期中）阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.继续进行以下的探索：设（其中，，，都是正整数），则有.∴，，这样就得出了把类似的式子化为平方式的方法.
请仿照上述方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，都是正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得__________，___________；
（2）利用上述方法，填空：（________-____）；
（3）如果，且，，都是正整数，求的值.
【答案】（1），；（2）1，2；（3）14或46
【详解】解：(1)用完全平方公式把展开即可得:
,
进而得：，.
(2)由(1)可得：
，，
解得：，
.
(3)由(1)得，
∴，而，都为正整数，
∴，或，.
当，时，
当，时，
1．（八年级·吉林长春·期中）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件．
【感知探索】补全下面两个问题的解答过程：
（）已知，化简．
解：原式，
∵（显性条件），
请进一步完成的化简．
（）三角形的三边长分别为，化简．
解：∵三角形的三边长分别为，
∴的取值范围是______．（隐含条件）
化简．
【拓展应用】解方程：．
【答案】（）；（），；【拓展应用】．
【详解】解：（）原式，
∵（显性条件），
由题意得（隐含条件），
∴，∴，
∴原式，；
（）∵三角形的三边长分别为，
∴，∴的取值范围是，（隐含条件）
∴原式，，
故答案为：；
【拓展应用】由题意得，
∴（隐含条件），
∴原方程可化为：，
解得，符合题意．
1．（八年级·广东揭阳·期中）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2(2)的值为或7
【详解】（1）解：当时，，，
∴．
（2）解：原式，
当时，原式，解得，符合条件；
当时，原式，舍去；
当时，原式，解得，符合条件．
∴的值为或7．
2．（八年级·陕西宝鸡·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式，
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范围．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，即，
∴；
（2）由题意得，，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
∴x的取值范围是．
3．【阅读理解】在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件为，解得，
∴，
∴原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简：；
(2)已知a、b、c为的三边长，化简：．
【答案】(1)1(2)
【详解】（1）解：隐含条件为，得，
∴．
∴原式；
（2）解：∵a，b，c为的三边长，
∴，
∴，
∴
．
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