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专题16.3二次根式的加减八大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的加减运算及其扩展题型）
【人教版】
题型一：同类二次根式的判断
【经典例题1】在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【详解】解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意；
B、，故和是同类二次根式，符合题意；
C、，故和不是同类二次根式，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不符合题意；
【变式训练1-1】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】C
【详解】解：、与不是同类二次根式，该选项不合题意；
、∵，
∴与不是同类二次根式，该选项不合题意；
、∵，，
∴与是同类二次根式，该选项符合题意；
、∵，，
∴与不是同类二次根式，该选项不合题意；
【变式训练1-2】根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，
∴与是同类二次根式为，共个
【变式训练1-3】已知，下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、是同类二次根式，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不符合题意；
【变式训练1-4】下列根式中，能与合并的二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、与是同类二次根式，能合并，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
【变式训练1-5】在，，，中不是的同类二次根式的有 ．
【答案】，
【详解】解：，，，，
，不是的同类二次根式
题型二：利用二次根式的性质求参数的值
【经典例题2】与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】
【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
解得：
【变式训练2-1】若最简二次根式与是同类根式，则 ．
【答案】9
【详解】解：由题意可知，，，
解得，，
；
【变式训练2-2】最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与可是同类二次根式，
∴，，
解得，则，
∴
【变式训练2-3】若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根．
【答案】
【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，，
即，
解得，
x、y的平方和为，
x、y平方和的平方根为．
【变式训练2-4】若最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
∴，解得，
∴．
【变式训练2-5】如果最简二次根式与能进行合并，且化简：．
【答案】4
【详解】解：由题意，得，
解得．
当时，，
，
，
，
原式．
题型三：二次根式的混合运算
【经典例题3】计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解∶
【变式训练3-1】计算：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练3-2】计算题：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【变式训练3-3】计算：
(1)； (2)
(3)
【答案】(1) (2) (3)3
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【变式训练3-4】计算
(1) (2)
【答案】(1)2 (2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练3-5】计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：∵，
∴，
∴
．
题型四：已知字母的值，化简求值
【经典例题4】设，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【变式训练4-1】已知．
(1)求的值；
(2)若的小数部分是的小数部分是，求的值．
【答案】(1)35 (2)
【详解】（1）解：∵，
，
∴
．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，，
由（1）可知，，，
∴，，
∵的小数部分是的小数部分是，
∴，，
∴
．
【变式训练4-2】已知，求的值．
【答案】
【详解】解：，
，
，
．
【变式训练4-3】已知，，求下列代数式的值：
(1)
(2)先化简，再求值：．
【答案】(1) (2)，
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：
，
由（1）可得：，故原式．
【变式训练4-4】已知，，
(1)求及的值；
(2)求的值．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
将代入得：
【变式训练4-5】人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题：
已知，．
(1)填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________．
(2)填空：___________，___________．
(3)计算：求的值．
【答案】(1)， (2)， (3)11
【详解】（1）解：∵，
∴x的绝对值是，
∵，
∴y的相反数是；
（2）∵，，
∴，；
（3）由（2）知：，，
∴
．
题型五：已知条件式，化简求值
【经典例题5】已知：，，且，求的值．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
【变式训练5-1】已知 ，，求的值．
【答案】
【详解】，，
，，
∴原式=
．
原式．
【变式训练5-2】已知，求的值．
【答案】当时，原式；当时，原式．
【详解】解： 要有意义，即，
且或且，
当且时，
，
或（舍去），
解得：，
把代入得：；
当且时，
，
（舍去）或，
解得：，
把代入得：．
【变式训练5-3】已知 ，且 为奇数，求的值．
【答案】
【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得，
解得，且为奇数，
∴，
∴原式
．
【变式训练5-4】已知与满足，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
解得：，
，
，
∴
．
【变式训练5-5】已知，求．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，可以得到所求式子无意义，应该舍去，
∴，
∴，
∴
∴．
题型6：二次根式加减中估算问题
【经典例题6】估算的结果（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【答案】C
【详解】解：，
而，
∴，
∴；
【变式训练6-1】估算的结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【答案】A
【详解】解：
，
，
，
即：，
，
【变式训练6-2】估算的值（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【答案】D
【详解】∵
，
∵，
∴，
∴
即的值在9和10之间
【变式训练6-3】估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】D
【详解】，
，
，
式子的值应在8和9两个相邻整数之间
【变式训练6-4】估算式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：
∵，，
∴，即，
故最接近的整数是5．
【变式训练6-5】若为正整数，且满足估算，则的值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【详解】解：，
∵，即：，
∴，
∴
题型7：二次根式的实际应用
【经典例题7】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示：由题意可得：，
，
故两个阴影部分面积和为：，
故答案为：．
【变式训练7-1】如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：）
【答案】元
【详解】解：通道的面积为
（平方米），
∴购买地砖需要花费元．
【变式训练7-2】现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
故答案为：2，，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
∴长方形木板①的长为，宽为，
∴阴影部分面积为；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【变式训练7-3】如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成3个棱长为4厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【答案】厘米
【详解】解：，
∴长方体铁块的底面正方形的面积为，
∴长方体铁块的底面正方形的边长为厘米．
【变式训练7-4】如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为
(1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量．
【答案】(1) (2)585千克
【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为
，
答：大长方形空地的周长为；
（2）解：由题意，种植蔬菜的面积为
，
∴（千克），
∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克．
【变式训练7-5】某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为．
(1)求长方形的周长；
(2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用．
【答案】(1)长方形的周长是 (2)定期维护的总费用为2360元
【详解】（1）解：长方形的周长为：
，
答：长方形的周长是；
（2）定期维护的总费用为：
（元）．
答：定期维护的总费用为2360元．
题型八：二次根式中分母有理化
【经典例题8】阅读下列解题过程：
，
，
……
请解答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律；
(3)利用上面的规律，请化简：．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：
；
故答案为：．
（2）解：观察前面例子的过程和结果得：
．
（3）解：
．
【变式训练8-1】阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
【答案】(1) (2)16 (3)2022
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
；
（3）解：
．
【变式训练8-2】阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：
已知，求的值．
他是这样分析与解的：，
，，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求值．
(2)化简：.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：∵；
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：原式
．
【变式训练8-3】阅读下列运算过程：
，
，，
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：
(1)化简： ， ， ；
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)， ， (2)3 (3)
【详解】（1）解：，
，
；
故答案为：，，；
（2）解：∵==，
==，
==，
……，
==，
原式
；
（3）解：原式=
=
=
=
=
=．
【变式训练8-4】阅读下列材料：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请根据以上材料解决下列问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
当时，原式．
【变式训练8-5】有这样一个问题：已知，求的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
(1)计算：．
(2)已知．
①求的值；
②求的值．
【答案】(1) (2)①，②
【详解】（1）解：
；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴
．
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（内容:二次根式的加减运算及其扩展题型）
【人教版】
题型一：同类二次根式的判断
【经典例题1】在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式训练1-1】下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式训练1-2】根式，，，中，与是同类二次根式的有（ ）个
A． B． C． D．
【变式训练1-3】已知，下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】下列根式中，能与合并的二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】在，，，中不是的同类二次根式的有 ．
题型二：利用二次根式的性质求参数的值
【经典例题2】与最简二次根式是同类二次根式，则 ．
【变式训练2-1】若最简二次根式与是同类根式，则 ．
【变式训练2-2】最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
【变式训练2-3】若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根．
【变式训练2-4】若最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【变式训练2-5】如果最简二次根式与能进行合并，且化简：．
题型三：二次根式的混合运算
【经典例题3】计算：
(1) (2)
【变式训练3-1】计算：
(1)； (2)．
【变式训练3-2】计算题：
(1)； (2)．
【变式训练3-3】计算：
(1)； (2)
(3)
【变式训练3-4】计算
(1) (2)
【变式训练3-5】计算：
(1) (2)
题型四：已知字母的值，化简求值
【经典例题4】设，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式训练4-1】已知．
(1)求的值；
(2)若的小数部分是的小数部分是，求的值．
【变式训练4-2】已知，求的值．
【变式训练4-3】已知，，求下列代数式的值：
(1)
(2)先化简，再求值：．
【变式训练4-4】已知，，
(1)求及的值；
(2)求的值．
【变式训练4-5】人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题：
已知，．
(1)填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________．
(2)填空：___________，___________．
(3)计算：求的值．
题型五：已知条件式，化简求值
【经典例题5】已知：，，且，求的值．
【变式训练5-1】已知 ，，求的值．
【变式训练5-2】已知，求的值．
【变式训练5-3】已知 ，且 为奇数，求的值．
【变式训练5-4】已知与满足，求代数式的值．
【变式训练5-5】已知，求．
题型6：二次根式加减中估算问题
【经典例题6】估算的结果（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【变式训练6-1】估算的结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【变式训练6-2】估算的值（ ）
A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间
【变式训练6-3】估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【变式训练6-4】估算式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练6-5】若为正整数，且满足估算，则的值为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
题型7：二次根式的实际应用
【经典例题7】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ．
【变式训练7-1】如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：）
【变式训练7-2】现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【变式训练7-3】如图是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成3个棱长为4厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．
【变式训练7-4】如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为
(1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量．
【变式训练7-5】某市为做好2024年城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感，对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地，为，为，绿地内有一块长方形花坛（即图中阴影部分），长为，宽为．
(1)求长方形的周长；
(2)图中的空白部分另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用．
题型八：二次根式中分母有理化
【经典例题8】阅读下列解题过程：
，
，
……
请解答下列问题：
(1)观察上面的解题过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律；
(3)利用上面的规律，请化简：．
【变式训练8-1】阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：______，______，______，______．
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
【变式训练8-2】阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：
已知，求的值．
他是这样分析与解的：，
，，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)若，求值．
(2)化简：.
【变式训练8-3】阅读下列运算过程：
，
，，
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题：
(1)化简： ， ， ；
(2)计算：；
(3)计算：．
【变式训练8-4】阅读下列材料：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请根据以上材料解决下列问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【变式训练8-5】有这样一个问题：已知，求的值．
小明是这样解答的：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
根据小明的解答过程，解决以下问题：
(1)计算：．
(2)已知．
①求的值；
②求的值．
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