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专题16.1.2二次根式（二）六大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的性质）
【人教版】
题型一：二次根式的化简与数轴结合
【经典例题1】已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简= ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和绝对值，有理数的加减运算法则，正确推出是解题的关键．
【详解】解：由数轴，得，
∴，
∴
．
【变式训练1-1】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，整式的加减等知识，相距数轴得出，进而得出，，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义以及整式的加减法则计算即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【变式训练1-2】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：由数轴知：，
∴，
∴
，
故答案为：3．
【变式训练1-3】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简．
【答案】
【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案．
【详解】解∶由题图可知，，
，，，，
．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，利用二次根式的性质化简，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握实数与数轴的相关知识并运用数形结合思想是解题的关键．
【变式训练1-4】已知：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据数轴判断的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质化简，然后合并同类项即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
．
【变式训练1-5】实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，立方根；先由数轴得出，则，，再化简，然后合并同类项，即可作答．
【详解】解：由数轴得，，
则，，
故
．
题型二：利用二次根式的性质化简
【经典例题2】化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据有意义的条件可得，则有，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D ．
【变式训练2-1】化简：，那么化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练2-2】把根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选D．
【变式训练2-3】把根号外的因式移到根号内，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的性质，把放到根号内并变为，即可得到答案．
【详解】解：．
故选：D．
【变式训练2-4】将根号外的因式移到根号内得 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练2-5】把二次根式根号外面的因式移到根号内
【答案】．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，首先根据既在根号下又在分母中，可得，所以原式可以化为，然后把根号外面的式子写到根号里面可得，把根号里面的部分约分即可．
【详解】解：既在根号下又在分母中，
，
，
．
题型三：利用二次根式的性质进行估算
【经典例题3】估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先确定的范围，即可得出答案.
【详解】解：∵，
∴.
故选：C．
【变式训练3-1】估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的性质，先把化为，再由，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，即，
即的值在7到8之间．
故选：B．
【变式训练3-2】估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】B
【分析】将原式化简为，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：，
，
，
即的值在3和4之间，
故选：B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，正确的计算得到，估算无理数的大小是正确解答的关键．
【变式训练3-3】估计3﹣1应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【答案】B
【分析】求出，估算出的范围，再求出的范围，再得出选项即可．
【详解】解：3＝＝，
∵2＜3，
∴1＜﹣1＜2，
即，
∴3﹣1在1和2之间，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，能估算出的范围是解此题的关键．
【变式训练3-4】估计（5+2）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】先用乘法分配律将原式化简，再估算，最后估算值即可知道答案．
【详解】解：原式=
∵
∴
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的化简和无理数估算，牢记相关知识点并能准确计算是解题的关键．
【变式训练3-5】（1）比较大小： 4；（2）估计介于 与 两个连续整数之间．
【答案】 4 5
【分析】（1）根据，利用二次根式的性质和无理数的估算即可得；
（2）根据，利用无理数的估算即可得．
【详解】解：（1），
，即，
故答案为：；
（2），
，即，
故答案为：4，5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
题型四：二次根式与绝对值的综合
【经典例题4】阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)的值为或7
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
（1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可；
（2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可．
【详解】（1）解：当时，，，
∴．
（2）解：原式，
当时，原式，解得，符合条件；
当时，原式，舍去；
当时，原式，解得，符合条件．
∴的值为或7．
【变式训练4-1】已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题：
(1)______；若，______；
(2)若a，b，c为三角形三边长，化简：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查二次根式的性质及化简，根据二次根式的性质即可求出答案．
（1）根据，结合已知条件求出结果即可；
（2）根据三角形的三边关系可得，，，据此化简原式即可．
【详解】（1）解：，
；
当时，，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵a，b，c为三角形三边长，
∴，，，
，，，
原式
．
【变式训练4-2】求代数式的值，其中．以下是小芳的解答过程．原式请你模仿小芳的解答过程，求解代数式的值，其中．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值,先根据化简二次根式得到，进一步化简得到，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
．
【变式训练4-3】【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式，
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范围．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边关系，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键．
（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可；
（3）先将化简为，然后分类讨论：当时，
当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可．
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，即，
∴
；
（2）由题意得，，
∴，
∴
；
（3）∵，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
∴x的取值范围是．
【变式训练4-4】是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
(1)化简： ，
(2)已知实数在数轴上的对应点如图所示．
① ，
②化简：
【答案】(1)2，
(2)①，；②
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据所给的二次根式的性质即可求解；
（2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解；
②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解．
【详解】（1）解：，；
故答案为：2，．
（2）解：①由数轴可得：，，
∴，，
∴，
．
故答案为：，．
②∵，，
∴，，
∴
．
【变式训练4-5】阅读下面的材料后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同；
甲的解答是：；
乙的解答是：．
(1) 的解答是错误的．
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．
(3)模仿上题化简并求值：，其中．
【答案】(1)甲
(2)当时，
(3)；8
【分析】本题考查二次根式的性质，掌握，是解题的关键：
（1）甲在化简二次根式的时候出现错误；
（2）当时，；
（3）根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简求值即可．
【详解】（1）解：甲在化简二次根式的时候出现错误；
故答案为：甲；
（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：当时，；
（3）∵
∴
．
题型五：双重二次根式的化简
【经典例题5】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可．
【详解】解：，这里，
由于，，
∴，
∴
．
【变式训练5-1】阅读材料．
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______，______．
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．
（1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
；
，
；
（2）解：
．
【变式训练5-2】像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）∵
∴，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴k的值为：或．
【变式训练5-3】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简、运算，
（1）结合题干思路方法作答即可；
（2）结合题干思路方法作答即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【变式训练5-4】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)7或13
(4)当时，，当时，
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．
【变式训练5-5】先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，
（1）根据解答过程即可得解，
（2）将转化为，再根据解答过程即可得解，
（3）将转化为，再根据解答过程即可得解；
先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
题型六:二次根式中定义新运算
【经典例题6】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．
(1)无理数的“麓外区间”是 ；
(2)若，求的“麓外区间”；
(3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
（1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果；
（2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可；
（3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：无理数的“麓外区间”是；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的“麓外区间”为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立：，
解得：，
∴的算术平方根为，
∵，
∴；
∴的算术平方根的“麓外区间”为．
【变式训练6-1】对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由新定义运算得，再求算术平方根即可；
（2）由新定义运算得方程组，再用加减法求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：依题意得：
，
由得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，用加减法解二元一次方程组，理解新定义和熟练掌握加减法解二元一次方程组是解题的关键，注意整体思想的应用．
【变式训练6-2】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)代数式中x的取值范围是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
【答案】(1)；
(2)①2；②．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；
（2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可．
【详解】（1）解：，解得：，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴．
故答案为：2．
②由题意可得：，则，解得：，
经检验，是方程的根．
∴方程的解为．
【变式训练6-3】阅读材料：
规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与．
(1)数对的一对“对称数对”是________与________；
(2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？
(3)若数对一个“对称数对”是，求、的值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)，或，
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值；
（3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知、的值．
【详解】（1）由题意得，，
数对的一对“对称数对”是与；
故答案为：，；
（2）由题意得，
数对的一对“对称数对”为与，
数对的一对“对称数对”相同，
，
；
（3）数对一个“对称数对”是，，
，或，，
，或，．
【变式训练6-4】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下：，如：．请求当时，的值．
【答案】
【分析】根据所给的新定义得到，再计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，化简二次根式，正确理解题意是解题的关键．
【变式训练6-5】规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与．
(1)数对的一对“对称数对”是________．
(2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？
(3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)；或
【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值；
（3）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一个“对称数对”是”，即可得出的值；先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据数对一个“对称数对”是，即可得出的值；
【详解】（1）解：由题意得，，
∴数对的一对“对称数对”是与；
（2）解：由题意得，
∴数对的一对“对称数对”为与，
∵数对的一对“对称数对”相同，
∴
∴；
（3）解：∵数对的一对“对称数对”是与
而数对的一个“对称数对”是，
∴，
；
由题意得，
∴数对的一对“对称数对”为与，
数对一个“对称数对”是
或
或
【点睛】本题考查了实数的运算，“对称数对”的定义．理解题意是解题的关键．
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专题16.1.2二次根式（二）六大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的性质）
【人教版】
题型一：二次根式的化简与数轴结合
【经典例题1】已知实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简= ．
【变式训练1-1】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ．
【变式训练1-2】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ．
【变式训练1-3】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简．
【变式训练1-4】已知：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：．
【变式训练1-5】实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：
题型二：利用二次根式的性质化简
【经典例题2】化简二次根式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】化简：，那么化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】把根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】把根号外的因式移到根号内，所得的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】将根号外的因式移到根号内得 ．
【变式训练2-5】把二次根式根号外面的因式移到根号内
题型三：利用二次根式的性质进行估算
【经典例题3】估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式训练3-1】估计的值在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【变式训练3-2】估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【变式训练3-3】估计3﹣1应在哪两个连续自然数之间（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4
【变式训练3-4】估计（5+2）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【变式训练3-5】（1）比较大小： 4；（2）估计介于 与 两个连续整数之间．
题型四：二次根式与绝对值的综合
【经典例题4】阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
∴的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当时，化简：______．
(2)解方程：．
【变式训练4-1】已知：，，，，，根据上面的计算结果，回答下列问题：
(1)______；若，______；
(2)若a，b，c为三角形三边长，化简：．
【变式训练4-2】求代数式的值，其中．以下是小芳的解答过程．原式请你模仿小芳的解答过程，求解代数式的值，其中．
【变式训练4-3】【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得．
所以．
所以原式，
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简；
【拓展提升】（3）若，求x的取值范围．
【变式训练4-4】是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题：
(1)化简： ，
(2)已知实数在数轴上的对应点如图所示．
① ，
②化简：
【变式训练4-5】阅读下面的材料后，回答问题：
甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中．”甲、乙两人的解答不同；
甲的解答是：；
乙的解答是：．
(1) 的解答是错误的．
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质： ．
(3)模仿上题化简并求值：，其中．
题型五：双重二次根式的化简
【经典例题5】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【变式训练5-1】阅读材料．
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______，______．
(2)
【变式训练5-2】像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简：
如：，
再如：，
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且为正整数，求的值．
【变式训练5-3】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简．
例如，，
请仿照上例解下列问题：
(1)；
(2)．
【变式训练5-4】阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【变式训练5-5】先阅读下列解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简
解：首先把化为，这里，；由于，，即，
。
根据上述例题的方法化简：
(1)；
(2)；
(3)．
题型六:二次根式中定义新运算
【经典例题6】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．
(1)无理数的“麓外区间”是 ；
(2)若，求的“麓外区间”；
(3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”．
【变式训练6-1】对于实数a、b，定义关于“”的一种运算，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【变式训练6-2】定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)代数式中x的取值范围是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
【变式训练6-3】阅读材料：
规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与．
(1)数对的一对“对称数对”是________与________；
(2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？
(3)若数对一个“对称数对”是，求、的值．
【变式训练6-4】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下：，如：．请求当时，的值．
【变式训练6-5】规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与．
(1)数对的一对“对称数对”是________．
(2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？
(3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值．
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