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专题16.2二次根式的乘除八大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的乘除运算及其扩展题型）
【人教版】
题型一：二次根式乘除法法则成立的条件
【经典例题1】若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此可得关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-1】若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法计算，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴由①得，；由②得，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．
【变式训练1-3】等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．
【详解】由题意可知： ,
解得：,
故选：．
【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
【变式训练1-4】已知等式成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简是解题的关键．
由题意知，，，计算求解即可．
【详解】解：∵等式成立，
∴，，
解得，，
故答案为：．
【变式训练1-5】使等式成立的条件时，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案.
【详解】解： 等式成立，
由①得：
由②得：
所以则的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键.
题型二：二次根式乘除混合运算
【经典例题2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键．
（1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案；
（2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可；
（3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案；
（4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式训练2-1】计算：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算：
（1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式训练2-2】计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案．
【详解】解：
．
【变式训练2-3】计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
【变式训练2-4】
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
．
【变式训练2-5】计算：；
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可
【详解】解：∵
∴，
∴
题型三：把根式外的因数移到括号内
【经典例题3】把式子m中根号外的m移到根号内得（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件易得m＜0，再根据二次根式的性质有原式=﹣，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】∵﹣＞0，
∴m＜0，
则原式=-=﹣，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
【变式训练3-1】若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质解答．
【详解】解：，
故选C.
【点睛】将根号外的m移到根号内，要注意自身的符号，只有正数平方后可以移到根号里面作因数，是负数的把负号留在根号外，同时注意根号内被开方数的符号．
【变式训练3-2】把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-3】把根号外的因式移到根号内结果为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出．
【变式训练3-4】若，，把代数式中的移进根号内结果是 .
【答案】
【分析】根据二次根式的性质变形即可得到答案.
【详解】解：，，
把代数式中的m移进根号结果是：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性质，熟知二次根式的性质和计算法则是解题关键.
【变式训练3-5】将a因式内移的结果为 ．
【答案】﹣
【详解】由题意得：a<0，
故答案是为﹣ .
题型四：判断是否为最简二次根式
【经典例题4】下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式符合两个条件：1．被开方数不含能开的尽的因数或因式；2．被开方数的因数是整数，因式是整式．据此求解判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，所以不符合题意；
B、，不是最简二次根式，所以不符合题意；
C、是最简二次根式，所以符合题意；
D、，不是最简二次根式，所以不符合题意．
故选：C．
【变式训练4-1】在二次根式，，，，，最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．
【详解】解：，，，，
最简二次根式有：共1个．
故选：A．
【变式训练4-2】下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式中不含能开得尽方的因式或因数，分母中不含根号．
【详解】解：A选项：分母中含有根号，不是最简二次根式，故A选项不符合题意；
B选项：是最简二次根式，故B选项符合题意；
C选项：，分母中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意；
D选项：不是二次根式，故D选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练4-3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．根据二次根式的性质进行求解即可．
【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意；
B、，原式化简错误，不符合题意；
C、，原式化简正确，符合题意；
D、，原式化简错误，不符合题意；
故选：C
【变式训练4-4】二次根式、、、中是最简二次根式的有 个．
【答案】1
【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，，，都不是最简二次根式，
是最简二次根式，
则最简二次根式有1个，
故答案为：1．
【变式训练4-5】下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键．
根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可．
【详解】
解：，因此是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式，
故答案为：．
【变式训练4-6】在，，，，中最简二次根式有 个．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：，
不是最简二次根式，
，
不是最简二次根式，
最简二次根式有：，，，共个，
故答案为：．
题型五：化为最简二次根式
【经典例题5】若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次根式中，，
，
，
故答案为：．
【变式训练5-1】我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
利用完全平方公式进行化简即可．
【详解】解：
∴是型无理数．
故答案为：．
【变式训练5-2】化简： ； ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可．
【详解】解：，
，
故答案为：，．
【变式训练5-3】已知，化简： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-4】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析
【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解： 是最简二次根式
【变式训练5-5】把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质化简即可．
（2）根据二次根式的性质化简即可．
（3）根据二次根式的性质化简即可．
（4）根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
题型六：已知最简二次根式求参数
【经典例题6】最简二次根式与2可以合并，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【答案】B
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可；
【详解】由题意得：3m﹣1=2，
解得：m=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键．
【变式训练6-1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
答案不唯一，整数m满足是最简二次根式即可．
【详解】∵是最简二次根式，
∴．
故答案为：4（答案不唯一）．
【变式训练6-2】若和都是最简二次根式，则 ， ．
【答案】 1 2
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可.
【详解】根据题意得：
解得
故答案为：，．
【变式训练6-3】若是最简二次根式，则自然数 ．
【答案】0或1
【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键．
由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴，
又∵n是自然数，
∴或1，
故答案为：0或1．
【变式训练6-4】已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】4，±2．
【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，
∴a=1，2b﹣5=1，
解得：a=1，b=3，
∴==4，
∴的平方根为±2．
【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键．
题型七：二次根式中分母有理化
【经典例题7】观察下面分母有理化的过程：，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：的值是（ ）
A． B． C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】首先利用已知化简二次根式，进而结合平方差公式计算得出答案．
【详解】解：
，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，平方差公式，正确化简二次根式是解题的关键．
【变式训练7-1】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键．
【详解】解：特例1：；
特例2：；
特例3：；
……
以上规律为：，
当时，，
故选：B．
【变式训练7-2】阅读下列问题：
；；
以上化简的方法叫作分母有理化，仿照以上方法化简：
（1）______；
（2）求的值：
（3）求（为正整数）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分子分母同乘以()计算即可；
（2）分子分母同乘以()化简即可；
（3）分子分母同乘以()，化简彻底．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，抓住根式特点，确定有理化因式是解题的关键．
【变式训练7-3】阅读材料，解答问题：
有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
﹣1，．
请根据上述材料，计算:的值．
【答案】
【分析】分别把每个加数分母有理化，再合并即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是分母有理化，即二次根式的除法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
【变式训练7-4】阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如 、这一类式子，通常可以这样进行化简
方法一：
==
= == -1.这种化简步骤叫分母有理化.
方法二：
还可以用下面方法化简
= = = = -1.
请用上面的两种方法化简
【答案】
【详解】试题分析：本题根据给出的例子按照两种方法写出化简过程即可.
试题解析：
===- (方法一)
====- （方法二）
【变式训练7-5】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
(1)请用其中一种方法化简
(2)化简：
【答案】（1）；
（2）
【详解】试题分析：（1）运用第一种方法求解；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案
试题解析：（1）；
（2）原式=
考点：分母有理化
题型八：二次根式中规律探索问题
【经典例题8】在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：
==. ①
==. ②
===. ③
以上化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====. ④
1.请用不同的方法化简
（1）参照③式化简=____________
（2）参照④式化简____________
2.化简：+++…+
【答案】
【详解】试题分析：（1）根据二次根式的三种不同的分母有理化的方法，模仿解题即可求解；
（2）根据二次根式的分母有理化的方法对式子变形，找到其变化规律，然后化简即可.
试题解析：解：（1）参照③式化简==.
（2）参照④式化简
====.
2.化简：
=
=
=.
考点：二次根式的分母有理化
【变式训练8-1】观察下面式子及其验证过程．
，验证：．
(1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上面式子反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且）的等式表示出来，并验证．
【答案】(1)，理由见解析
(2)（n为任意自然数，且）
【分析】本题考查了二次根式的规律计算，根据根式特点，探索规律是解题的关键
（1）仿照阅读内容提供的方法，验证解得即可；
（2）根据两次验证，归纳猜想计算即可．
【详解】（1）．
（2）结论：．
．
【变式训练8-2】先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【答案】(1)①（答案不唯一）；②
(2)，见解析
【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键．
（1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值；
（2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．
【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）．
②∵（a，b为正整数），
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：第一个等式为，即；
第二个等式为，即；
第三个等式为，即．
∴用含正整数的式子表示为：，
验证如下：
．
【变式训练8-3】（1）计算：______，______，______，______．
（2）请按（1）中的规律计算：
①；
②．
（3）已知，用含a，b的式子表示．
【答案】（1）12，12，20，20（2）①12，②4（5）
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别算出每个算术平方根，再运算乘法，即可作答．
（2）按（1）中的规律，进行运算，即可作答．
（3）因为，所以，因为，所以含a，b的式子表示，即可作答．
【详解】解：（1），
，
；
故答案为：12，12，20，20；
（2）；
；
（3）∵，
∴
即
∴．
【变式训练8-4】阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而，
∴，即
回答以下问题：
(1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系；
(2)运用以上结论，计算：①；②；
(3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积．
【答案】(1)
(2)①20；②77
(3)16
【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答．
（1）根据阅读材料中的例题，即可解答；
（2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：当时，；
（2）①，
②；
（3）由题意得：长方形的面积．
【变式训练8-5】按要求填空：
(1)填表并观察规律：
a 4 400
(2)根据你发现的规律填空：
已知：，则______；
已知：，，则______；
(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明；
【答案】(1)见解析
(2)，3800
(3)求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍
【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，二次根式的乘法运算，根据解题过程找出一般规律是解题关键．
（1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，即可得到答案；
（3）根据解题过程找出规律即可．
【详解】（1）解：，，，，
填表如下：
a
（2）解：
；
，
，
，
；
（3）解：由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍（意思正确即可）．
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专题16.2二次根式的乘除八大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的乘除运算及其扩展题型）
【人教版】
题型一：二次根式乘除法法则成立的条件
【经典例题1】若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练1-2】若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练1-3】等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】已知等式成立，则的取值范围是 ．
【变式训练1-5】使等式成立的条件时，则的取值范围为 ．
题型二：二次根式乘除混合运算
【经典例题2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练2-1】计算：
(1)；
(2)，．
【变式训练2-2】计算：．
【变式训练2-3】计算：．
【变式训练2-4】
【变式训练2-5】计算：；
题型三：把根式外的因数移到括号内
【经典例题3】把式子m中根号外的m移到根号内得（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．﹣
【变式训练3-1】若m＜0，n＞0，把代数式中的m移进根号内的结果是( )．
A． B． C． D．
【变式训练3-2】把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【变式训练3-3】把根号外的因式移到根号内结果为 ．
【变式训练3-4】若，，把代数式中的移进根号内结果是 .
【变式训练3-5】将a因式内移的结果为 ．
题型四：判断是否为最简二次根式
【经典例题4】下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】在二次根式，，，，，最简二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练4-2】下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】下列各式化成最简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】二次根式、、、中是最简二次根式的有 个．
【变式训练4-5】下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
【变式训练4-6】在，，，，中最简二次根式有 个．
题型五：化为最简二次根式
【经典例题5】若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
【变式训练5-1】我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
【变式训练5-2】化简： ； ．
【变式训练5-3】已知，化简： ．
【变式训练5-4】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
【变式训练5-5】把下列二次根式化为最简二次根式：
(1)
(2)
(3)
(4)
题型六：已知最简二次根式求参数
【经典例题6】最简二次根式与2可以合并，则m的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．4
【变式训练6-1】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
【变式训练6-2】若和都是最简二次根式，则 ， ．
【变式训练6-3】若是最简二次根式，则自然数 ．
【变式训练6-4】已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
题型七：二次根式中分母有理化
【经典例题7】观察下面分母有理化的过程：，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：的值是（ ）
A． B． C．2021 D．2022
【变式训练7-1】通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（ ）
A．2024 B． C． D．
【变式训练7-2】阅读下列问题：
；；
以上化简的方法叫作分母有理化，仿照以上方法化简：
（1）______；
（2）求的值：
（3）求（为正整数）的值．
【变式训练7-3】阅读材料，解答问题：
有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
﹣1，．
请根据上述材料，计算:的值．
【变式训练7-4】阅读下列材料，然后解答问题：在化简二次根式时，有时会碰到形如 、这一类式子，通常可以这样进行化简
方法一：
==
= == -1.这种化简步骤叫分母有理化.
方法二：
还可以用下面方法化简
= = = = -1.
请用上面的两种方法化简
【变式训练7-5】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：
(1)请用其中一种方法化简
(2)化简：
【经典例题8】在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：
==. ①
==. ②
===. ③
以上化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====. ④
1.请用不同的方法化简
（1）参照③式化简=____________
（2）参照④式化简____________
2.化简：+++…+
【变式训练8-1】观察下面式子及其验证过程．
，验证：．
(1)按照上面等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上面式子反映的规律，试用含n（n为任意自然数，且）的等式表示出来，并验证．
【变式训练8-2】先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______；
(2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【变式训练8-3】（1）计算：______，______，______，______．
（2）请按（1）中的规律计算：
①；
②．
（3）已知，用含a，b的式子表示．
【变式训练8-4】阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而，
∴，即
回答以下问题：
(1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系；
(2)运用以上结论，计算：①；②；
(3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积．
【变式训练8-5】按要求填空：
(1)填表并观察规律：
a 4 400
(2)根据你发现的规律填空：
已知：，则______；
已知：，，则______；
(3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明；
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