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专题16.1.1二次根式（一）六大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的定义）
【人教版】
题型一：判断是否为二次根式
【经典例题1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】已知，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】在下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练1-4】在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-5】下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型二：已知字母的值，求二次根式的值
【经典例题2】已知，则代数式的值是 ．
【变式训练2-1】当时，的值是 ．
【变式训练2-2】（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时，的值最大，为 ．
【变式训练2-3】若，则 ．
【变式训练2-4】若，，则的值为 ．
【变式训练2-5】当 时，二次根式的值最小.
题型三：求二次根式中的参数
【经典例题3】已知，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式训练3-1】已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】计算：如果，那么 ； ．
【变式训练3-3】已知，均为实数，，则的值为 ．
【变式训练3-4】已知，则 ．
【变式训练3-5】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为．
(1)无理数的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”．
题型四：二次根式中整数值问题
【经典例题4】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练4-1】已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【变式训练4-2】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练4-3】已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练4-4】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
题型五：二次根式有意义的条件
【经典例题5】若x是整数，且有意义，则的值是（ ）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【变式训练5-1】若式子有意义，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【变式训练5-2】如果代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【变式训练5-3】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【变式训练5-4】如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ．
【变式训练5-5】若为实数，求的值．
题型六：二次根式中规律问题
【经典例题6】观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ．
【变式训练6-2】二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
【变式训练6-3】观察下列各式及其验证过程
，
验证：
，
验证：
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明．
【变式训练6-4】先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
(3)计算：
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专题16.1.1二次根式（一）六大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的定义）
【人教版】
题型一：判断是否为二次根式
【经典例题1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意；
C、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-1】已知，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：∵，
，
，
故选：C．
【变式训练1-2】在下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意；
B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意；
C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意；
D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可．
【详解】解：①符合二次根式的定义，故正确；
②无意义，故错误；
③中的，符合二次根式的定义，故正确；
④中的，符合二次根式的定义，故正确；
⑤是开3次方，故错误；
⑥中的，符合二次根式的定义，故正确．
正确的有①③④⑥，共4个．
故选：B．
【变式训练1-4】在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，，，，是二次根式，
，没有意义，
不是二次根式，
是整式，
即二次根式有4个，
故选：C．
【变式训练1-5】下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，明确二次根式的被开方数是非负数是解题的关键； 首先观察所给式的根式，根据二次根式的定义可知根指数必须是2； 再根据被开方数必须为非负数，由此即可对题中各式进行判断，进而得出结果．
【详解】解：①当时，不符合二次根式定义，
②当时，不符合二次根式定义，
③，
，一定是二次根式，
④当时，不符合二次根式定义，
故一定是二次根式的有1个，
故选：D．
题型二：已知字母的值，求二次根式的值
【经典例题2】已知，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案．
【详解】∵，
∴
．
故答案为：．
【变式训练2-1】当时，的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-2】（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时，的值最大，为 ．
【答案】 1 2
【分析】本题主要考查二次根式的性质：
（1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值；
（2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴的最小值为1，
此时，解得．
所以，当时，的值最小，为1．
故答案为：；1；
（2）∵，
∴，
∴的最大值为2．
此时，解得．
所以，当时，的值最大，为2．
故答案为：，2
【变式训练2-3】若，则 ．
【答案】2
【分析】将a的值代入原式，再进一步计算可得．
【详解】解：当时，
原式=
=
=
=2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的有关运算法则和性质．
【变式训练2-4】若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的定义可求得的值，继而求得结论．
【详解】∵，，即，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，化成最简二次根式是解题的关键．
【变式训练2-5】当 时，二次根式的值最小.
【答案】
【分析】根据非负数的性质解答即可.
【详解】∵(x+1)2≥0，
∴(x+1)2+3≥3，
∴≥，
∴当x=-1时，二次根式的值最小.
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了非负数的性质，熟练掌握(x+1)2≥0是解答本题的关键.
题型三：求二次根式中的参数
【经典例题3】已知，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键．
根据二次根式有意义的条件求出，进而求出的值，代入中进行计算求解．
【详解】解：根据二次根式的意义得，，
，
当时，，，
，
∴，
故选：A．
【变式训练3-1】已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练3-2】计算：如果，那么 ； ．
【答案】 5
【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：5，．
【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键．
【变式训练3-3】已知，均为实数，，则的值为 ．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
【变式训练3-4】已知，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，同底数幂的乘法，积的乘方等知识，先利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求出x的值，从而得出y的值，代入中，利用同底数幂的乘法公式，积的乘方公式求解即可．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-5】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为．
(1)无理数的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”．
【答案】(1)
(2)37
(3)
【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可；
（2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可；
（3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可．
【详解】（1）解：，
，
，
无理数的“臻美区间”是，
故答案为：；
（2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解，
是正整数，，
一个无理数的“臻美区间”为，
，
，
当，即时，不存在，舍去；
当，即时，不满足不等式，舍去；
当，即时，满足不等式，则；
当，即时，不存在，舍去；
满足题意的，的值为，
，则；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，，
①，②，
①②得，则，即，解得，
，即，
的算术平方根的“臻美区间”为．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义．
题型四：二次根式中整数值问题
【经典例题4】已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为6，
故选：D．
【变式训练4-1】已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
【变式训练4-2】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为2，
故选：A．
【变式训练4-3】已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．
【变式训练4-4】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
【答案】3
【分析】根据是整数可知是一个完全平方数，即可得出结果．
【详解】∵是整数，
∴可知是一个完全平方数，
∴的最小值为16，
当时，
解得；
故答案为：3
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键在于理解完全平方数．
题型五：二次根式有意义的条件
【经典例题5】若x是整数，且有意义，则的值是（ ）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∵x是整数，
∴或4或5，
原式或1，
故选：C．
【变式训练5-1】若式子有意义，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：且，
解得：且；
故选：C．
【变式训练5-2】如果代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：
【变式训练5-3】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且，．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件．根据被开方数为非负数，分式的分母不能为0，零指数幂的底数不能为0解答即可，也是解题关键．
【详解】解：∵有意义，
∴，，，
∴且，．
故答案为：且，．
【变式训练5-4】如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：在实数范围内有意义，
则，
总小于0，
，
，
故答案为：．
【变式训练5-5】若为实数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键．
根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，
∴
．
题型六：二次根式中规律问题
【经典例题6】观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第个数据应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简，根据数据可得第个数为，据此即可求解，由已知数据找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：由数据可得，第个数为，
第个数为，
第个数为，
第个数为，
第个数为，
第个数为，
第个数为，
，
∴第个数为，
∴个数据应是，
故选：．
【变式训练6-1】数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式，再证明即可．
【详解】∵n是正整数，
∴．
故答案为：．
【变式训练6-2】二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：
（1）仿照①化简求解即可；
（2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可；
（3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①；
②；
③；
④；
……．，
以此类推，可知；
（3）证明：
．
【变式训练6-3】观察下列各式及其验证过程
，
验证：
，
验证：
(1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明．
【答案】(1)猜想，验证见详解
(2)，验证见详解
【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键．
（1）根据题目中所提供的方法进行验证即可；
（2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可．
【详解】（1）解：猜想，
验证：；
（2）解：，
验证：．
【变式训练6-4】先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键．
（1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案；
（2）利用根据前面等式的规律求解；
（3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：
（2）第n个式子为：；
（3）
．
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