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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题16.2 二次根式的乘除八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，利用完全平方公式、提公因式进行化简是解题的关键，化简后根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】A．是最简二次根式，符合题意；
B． ，不是最简二次根式，不符合题意；
C．，不是最简二次根式，不符合题意；
D．，不是最简二次根式，不符合题意；
故选A．
2．估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，由二次根式的乘法可得，再利用夹逼法估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
故选：．
3．对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（ ）
A． B．
C．= D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键．利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答．
【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立；
当都小于0时，，故B不一定成立；
，故C不成立；
，故D成立，
故选：D．
4．已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解：，，
，
原式，
故选：C．
5．如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B． C． D．60
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解，，可得，再利用面积公式计算即可．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和12；
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
故选：B
6．，，则值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】先根据有理数的乘法法则和加减法则可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的乘法法则和加减法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则，根据题意和二次根式的性质得出，是解题的关键．
7．若等式成立，则（ ）
A． B． C． D．为一切实数
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法计算，解不等式组，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，积的乘方的逆运算，平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法运算，积的乘方的逆运算，平方差公式是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：原式
．
故选：D．
9．若，其中都是整数，则的值为（ ）．
A． B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得： ，
∴．
故选：A．
10．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的是（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握解分式方程，分式的化简求值，二次根式的运算是解题的关键．
由题意知，，进而可判断①的正误；由，可得，计算求解，进而可判断②的正误；由，可得，则，进而可求，可判断③的正误；根据，可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，，
∴①错误，故不符合要求；
∵，
∴，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴②正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴③正确，故符合要求；
由题意知，
，
∴④错误，故不符合要求；
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法及完全平方公式的应用，设，，即，则，，然后利用完全平方公式的运算即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设，，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．计算 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可．
【详解】解：
．
13．已知，，则 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，熟记运算法则是解本题的关键．先计算出，，再将变形为，代入数据计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
故答案为：8．
14．已知是一个完全平方式，则 ．
【答案】24
【分析】此题考查了完全平方式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行讨论、求解．
运用完全平方式的定义进行讨论、列方程组求解．
【详解】解：是一个完全平方式，
设，
，
，
或，
．
故答案为：24．
15．如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ．
【答案】26
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先求出图中留下来的阴影部分的面积等于两个长方形的面积之和，再将的值代入计算即可得．
【详解】解：由题意可知，图中留下来的阴影部分的面积为，
，，
，
故答案为：26．
16．能使等式 成立的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答．
【详解】解：∵成立，
∴，
∴．
故答案为：．
17．已知，则 .
【答案】10
【分析】设，则，可得，然后根据平方差公式可得，然后代入计算即可解答．
【详解】设，则，
∴
∵，
∴，
∴，即．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了换元法、乘方、平方差公式等知识点，掌握换元法是解答本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2023个等腰直角三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】根据确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据确定第2个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】解：∵点，
∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2，
∴第1个等腰直角三角形的面积，
∵，
∴第2个等腰直角三角形的腰长为，
∴第2个等腰直角三角形的面积，
∵，
∴第3个等腰直角三角形的边长为，
∴第3个等腰直角三角形的面积，
…
第n个等腰直角三角形的面积
则第2023个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算：
（1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可；
（2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
20．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，3
【分析】先利用平方差公式，完全平方公式，进行乘法运算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
；
当，时，原式．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，整式加减中的化简求值，二次根式的乘法运算等知识．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，整式加减中的化简求值，二次根式的乘法运算是解题的关键．
21．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设圆的半径应是，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：圆的半径应是．
22．发现：数轴上从左至右排列的三个数，若每相邻的两个数相差为1，则中间的数的平方与两边的数的积的差为定值．
验证：（1）______，______，______．
探究：（2）设“发现”中的中间的数为n，请论证“发现”中的结论的正确性．
【答案】（1）1，1，1；（2）结论正确，证明见解析
【分析】本条考查了整式的乘法运算，实数的混合运算及二次根式的乘法运算．
（1）根据实数的混合运算法则即二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据题意，设“发现”中的中间的数为n，则两边的数分别为，根即题意列出式子，计算验证即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2）设“发现”中的中间的数为n，则两边的数分别为，
依题意，得．
23．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若为正整数），则的值为______．
(2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
【答案】(1)①；②71
(2)用含正整数的式子表示为，证明见解析
【详解】（1）①有“穿墙”现象的数为：．
②由题意，a=8，b=63，
∴a+b=8+63=71，
故答案为71.
（2）第一个等式为，即
第二个等式为，即；
第三个等式为，即，
用含正整数的式子表示为，
验证如下：
．
24．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
例如：当时，求的最小值．
解：，又
，，当时取等号．的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【答案】(1)6，
(2)
(3)60米
【分析】本题考查了配方法的应用，二次根式的应用，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据例题中的公式计算即可；
（2）先化简，再运用公式计算即可；
（3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
【详解】（1）解：，
，
又，
，当且仅当时取等号．
的最小值为6；
，
，
，
又，
，当且仅当时取等号．
，
的最大值为．
故答案为：6；；
（2）解：，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；
（3）解：根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米．
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专题16.2 二次根式的乘除八大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
3．对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（ ）
A． B．
C．= D．
4．已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B． C． D．60
6．，，则值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
7．若等式成立，则（ ）
A． B． C． D．为一切实数
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若，其中都是整数，则的值为（ ）．
A． B．4 C．6 D．8
10．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的是（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则 ．
12．计算 ．
13．已知，，则 ．
14．已知是一个完全平方式，则 ．
15．如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ．
16．能使等式 成立的x的取值范围是 ．
17．已知，则 .
18．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤…依此规律，则第2023个等腰直角三角形的面积是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
(1)；
(2)，．
20．先化简，再求值：，其中，．
21．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？
22．发现：数轴上从左至右排列的三个数，若每相邻的两个数相差为1，则中间的数的平方与两边的数的积的差为定值．
验证：（1）______，______，______．
探究：（2）设“发现”中的中间的数为n，请论证“发现”中的结论的正确性．
23．先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若为正整数），则的值为______．
(2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
24．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
例如：当时，求的最小值．
解：，又
，，当时取等号．的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ．
(2)当时，求的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
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