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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题16.1.1 二次根式（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的叙述不正确的是（ ）
A． B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数 D．是正无理数
3．使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的结果是（ ）.
A． B． C． D．
6．下列各式从左到右一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．设，则不超过的最大整数为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如果实数满足．那么的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，且，则的值为 ．
12．是二次根式，则的取值范围是 ．
13．已知，求的平方根为 ．
14．化简： ．
15．当 时，有意义；若有意义，则x必须满足 ．
16．观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是 ．
17．实数x，y，z满足，则 ．
18．若三个实数，，满足，且，则有：，则的值 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为．
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
20．化简求值：，其中．
21．已知．
(1)计算：当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
(2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
(3)请说明（）中猜想的合理性．
22．已知、是实数，且，求的值．
23．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
24．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
(1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题16.1.1 二次根式（一）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的意义和性质．根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．
【详解】解：A、被开方数为负数，二次根式无意义，故选项不符合题意；
B、是三次根式，故选项不符合题意；
C、当时，二次根式无意义，故选项不符合题意；
D、一定成立，被开方数是非负数，故选项正确．
故选：D．
2．关于的叙述不正确的是（ ）
A． B．面积是8的正方形的边长是
C．是有理数 D．是正无理数
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟知无理数的定义及二次根式的性质．
根据二次根式的性质即可依次判断．
【详解】解：A.，正确，不符合题意；
B.∵，
∴面积为8的正方形边长是，正确，不符合题意；
是无理数，故C错误，D正确，符合题意的选项为C．
故选：C．
3．使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件的知识点，代数式的意义一般从三个方面考虑：（1）当代数式是整式时，字母可取全体实数；（2）当代数式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．据此求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选：B．
4．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．根据二次根式的性质进行列式计算即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故选：D
5．若，则的结果是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、代数式求值等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零成为解题的关键.
先根据二次根式的性质列方程组求得x的值，进而求得y的值，最后代入代数式计算即可.
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴，即，
∴.
故选A.
6．下列各式从左到右一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．利用二次根式的性质进行化简进而得出答案．
【详解】解：A．不能化简，原式不符合题意；
B．的符号不确定，需分情况，不符合题意；
C．，，∴，符合题意；
D．，的符号不确定，不符合题意；
故选：C．
7．已知，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，化简二次根式，先根据完全平方公式得到，，则，再由得到，则．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．设，则不超过的最大整数为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据把原式的对应项化简，然后计算求解即可．
【详解】解：对于正整数，有
，
∴，
∴
，
，
∴不超过的最大整数为2024．
故选：D．
9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数大小的比较方法，二次根式的性质，先利用二次根式的性质求出，再分别求出a，b，c的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，即可得出答案．
【详解】解：，
∵，，，且，
∴，即，
故选：B．
10．如果实数满足．那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值，实数的运算，由二次根式中的被开方数是非负数，得到，即可得．解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，绝对值的意义．
【详解】解：∵实数满足，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，以及二次根式的化简公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
将所求式子左右两边平方，利用二次根式的化简公式及完全平方公式变形后，将已知的的值代入，开方即可求出值．
【详解】解：，
，
，
，即，
则．
故答案为：．
12．是二次根式，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得，即得．
【详解】∵是二次根式，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
13．已知，求的平方根为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，得出x、y的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
把代入已知等式得：，
所以，，
故的平方根是，
故答案为：．
14．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的性质，利用完全平方公式进行转化为，再根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：
15．当 时，有意义；若有意义，则x必须满足 ．
【答案】 且
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：当，即时，有意义；
当且，即：且时，有意义，
故答案为：，且．
16．观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，能够由题中得出的规律求解一些第几项的值的问题，根据0，，2，，，，，即可得到0，，，，，，，从而得到第个数为．
【详解】解：由题意寻找规律可得：第个数为，
∴数10个数为，
故答案为：．
17．实数x，y，z满足，则 ．
【答案】或0
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质．根据二次根式有意义的条件，求得，推出，再根据绝对值和平方数的非负性分类求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，则有
∴x的取值范围大于等于4，
∴，
又∵，，，
∴，
当时等号成立，此时，，
∴，
当时，或7，∴或3.5，此时或3.5，
∴，
故答案为：或0．
18．若三个实数，，满足，且，则有：，则的值 ．
【答案】
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的条件．
【详解】解：三个实数，，满足，且，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为．
(1)求、的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查立方根、平方根，二次根式的性质化简；
（1）根据平方根和立方根的定义得出，，求出、的值；
（2）将、的值代入，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，；
（2）解：∵，
∴的平方根为．
20．化简求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
先将除法转化为乘法，再约分，然后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，再根据二次根式有意义的条件求出，；最后把x与y的值代入化简后的式子，计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵，
∴，，
∴，，
∴原式．
21．已知．
(1)计算：当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
(2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
(3)请说明（）中猜想的合理性．
【答案】(1)，；，；，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（）把的值分别代入计算即可求解；
（）根据（）所得结果即可判断求解；
（）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证；
本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，，
故答案为：，；
当时，，，
故答案为：，；
当时，，；
故答案为：，；
（2）解：猜想：无论为任何非负数时，，
故答案为：；
（3）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
22．已知、是实数，且，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，3，3
(2)①无解，②不能，理由见解析
【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解；
②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答．
【详解】（1）解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
（2）解：①
移项，得
去根号，两边同时平方得，
即
解得：，
检验：时，方程左边右边，
∴不是原方程的解，原方程无解；
②若代数式的值等于7，即，
移项，得，
两边同时平方，得，
化简，得，
两边同时平方，得，
∴该方程无解，
∴代数式的值不能等于7．
24．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
(1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________；
(3)请你利用发现的规律，计算：
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可；
（2）根据（1）找的规律进行计算即可；
（3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可；
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，
（3）解：
．
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