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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【人教版】
专题16.1.2 二次根式（二）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．12
3．若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．－1 B．1 C． D．
4．化简得（ ）
A．2 B． C． D．
5．化简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
7．已知，为实数，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知等式：；……，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论I：（为正整数）；
结论Ⅱ：
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ，Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对
9．已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
10．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．化简： ．
12．已知，则x的取值范围是 ．
13．若化简的结果为 ．
14．已知是正整数，是整数，则的最小值为 ．
15．已知，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应的y值的总和是 ．
16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，其面积S的整数部分为m，则m的值为 ．
17．观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ．
18．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．
20．在下列条件下化简．
(1)；
(2)；
(3)．
21．已知 ABC三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时， ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
22．已知、、是 ABC的三边，化简．
23．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：
．
例如：化简：．
解：首先把化为，这里，，
因为，，
即，，
所以．
(1)化简为_____．
(2)根据上述方法化简：．
24．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设，求不超过的最大整数是多少？
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专题16.1.2 二次根式（二）六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
直接根据二次根式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项正确，符合题意；
D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算和算术平方根，二次根式的性质，先估算，则，结合题意得到，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，且x，y是两个连续自然数，
，
，
的算术平方根为．
3．若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．－1 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．
【详解】解：由图知：，
，，
．
故选：C．
4．化简得（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式，先化简，得出，则，结合进行化简，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
则
，
故选：A．
5．化简二次根式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
6．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
【详解】解：∵，
，
，
则，
，
，
，
故选：B．
7．已知，为实数，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴分情况讨论，
当，时，
∴；
当，时，
∴，
综上，的值为．
故选：D．
8．已知等式：；……，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论I：（为正整数）；
结论Ⅱ：
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ，Ⅱ都不对 C．Ⅰ对，Ⅱ不对 D．Ⅰ不对，Ⅱ对
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
先根据分式的通分和二次根式的性质证明Ⅰ中的等式成立，再由Ⅰ中的等式求出，再代入进行计算，然后判断即可．
【详解】解：Ⅰ：∵左边
左边=右边，（n为正整数），
Ⅱ：（n为正整数），
，
，
综上可知：Ⅰ对，Ⅱ不对，
故选：C
9．已知a、b为有理数，且满足，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为．
先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故选：D．
10．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴
．
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质进行化简即可，解题的关键是正确理解二次根式的性质．
【详解】解：，
故答案为：．
12．已知，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
解得．
x的取值范围是．
故答案为：．
13．若化简的结果为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，化简绝对值，熟练掌握和运用利用二次根式的性质化简是解决本题的关键．首先根据二次根式的性质化简，再根据化简绝对值，据此即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
故答案为：3．
14．已知是正整数，是整数，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根．首先根据：是正整数，可得，从而可得．
【详解】解：是正整数，
是一个能开得尽方的整数，
的最小值为，
，
解得：．
故答案为：．
15．已知，当x分别取1，2，3，……，2022时，所对应的y值的总和是 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．
依据二次根式的性质化简，即可得到，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y值的总和．
【详解】解：∵，
∴当时，，
即当时，；
当时，，
即当x分别取2，3，…，2022时，y的值均为1，
∴当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应的y值的总和是．
故答案为：2024．
16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，其面积S的整数部分为m，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
将各值代入计算求解即可．
【详解】由题意知，，
∴，
∴m的值为．
17．观察下列各式：、、……，请你找出其中规律，并将第个等式写出来 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，化简二次根式，观察可知，二次根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，二次根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可．
【详解】解：、
、
……，
以此类推可知，，
故答案为：．
18．观察下列各式：
，
，……．请运用以上的方法化简 ．
【答案】/
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
依据数轴即可得到，再根据二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可得，
，
．
20．在下列条件下化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可；
（2）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可；
（3）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可；
【详解】（1）解：．
当时，，
原式．
（2）当时，，
原式．
（3）当时，，
原式．
21．已知 ABC三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时， ABC的最长边的长度是 （请直接写出答案）；
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）；
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．
（1）把代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长；
（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围．
【详解】（1）解：当，
则，
∵，
∴的最长边的长度是3；
（2）解：由二次根式有意义的条件得，
解得：，
∴，，
∴
．
22．已知、、是 ABC的三边，化简．
【答案】
【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，掌握相关知识是解题关键．直接利用三角形三边关系得出，，，进而得到，最后去括号、合并同类项即可求解．
【详解】解：∵是的三边，
∴，
∴，，，
∴
23．先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：
．
例如：化简：．
解：首先把化为，这里，，
因为，，
即，，
所以．
(1)化简为_____．
(2)根据上述方法化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，对于（1），根据理解可知，可得完全平方公式，再开方即可；
对于（2），先把化为，由，可得完全平方公式，开方即可．
【详解】（1）解：因为，
即，
所以.
故答案为：；
（2）解：先把化为，这里，
因为，
即，
所以．
24．先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
(1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果）
(2)根据上述规律，解答问题：
设，求不超过的最大整数是多少？
【答案】(1)
(2)2023
【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可；
（2）根据题目中的规律计算即可得到结论．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律．
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ，
故．
（2）解：①
；
②
；
③
，
，……
，
故．
故不超过的最大整数是2023．
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