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【期末臻选】2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末卷（第23章解直角三角形）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】：
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 根据三角函数的定义求解．
【详解】解∶ 在中， 为斜边，
．
故选：B．
2．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离．
【详解】解：由题意得：，
即，
由勾股定理得：，
故选：C．
3．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可．
【详解】解：由题意可得：，
∵，
∴，
解得：，即坡面的长度为．
故选：C．
4．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
∴，
故选：A．
5．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】如图：延长到点D，连接
由题意得∶，
，
∴
故选：B．
6．在中，都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键．
由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∵都是锐角，
∴，
∴，
故选：D．
7．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可．
【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意；
B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意；
C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意；
D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．
故选：D．
8．如图，在的正方形网格图形中，点，，，都在格点上，与小正方形的一边交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．连接，则点在上
C．点为的外心 D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外心的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴是的中线，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点O在上，点O不是的外心，故B符合题意，C不符合题意，
∵，
∴，故D不符合题意，
故选：B．
9．如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
过点B作于点F，由平行四边形的性质得到，，解直角三角形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用正弦值的概念求解即可．
【详解】过点B作于点F．
∵在平行四边形中，，
∴，，
∴，即
∴
∴，
，
．
，
，
．
故选：C．
10．如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，故当与垂直平分线垂直时，最小，过点作 于点Q，过点M作于点R，则四边形为矩形，故，，，，设，则，，则，可得，则，故，解得：，则，故，
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∴，即，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∵是线段的中点，，
∴，
∴在线段的垂直平分线上运动，
∴当与线段的垂直平分线垂直时，最小，如图：
过点作 于点Q，过点M作于点R，
∴四边形为矩形，
∴，，，
此时，
∴在中，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置．
二、填空题
11．在中，，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．根据余弦值，求出三角形的各边，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】解：如图示：
∵在中，，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案是：．
12．某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴，
故答案为：．
13．在中，，则 ．
【答案】
【分析】根据，得，结合解答即可．
本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．
【详解】解：根据，得，
故．
故答案为：．
14．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接，
①若，则 ．
②探究的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
①由直角三角形的性质可得，再运用勾股定理求出的长，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长；②如图：过点A作，交的延长线于点H，利用平角定义可求出∠，从而可得是等腰直角三角形，则，先求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，最后证明，从而利用平行线的性质可得，最后根据正切的定义即可解答．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵中，，
∴；
如图：过点A作，交的延长线于点H，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
三、解答题
15．求下列式子的值：．
【答案】
【详解】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算；根据特殊角的三角函数值作答．
【分析】解：．
16．如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）．
【答案】处距离灯塔的距离约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过作，垂足为，根据题意将和用表示出来，再结合得出方程，求得，在中，利用正弦求出．
【详解】解：如图，过作，垂足为，
根据题意，，，，
∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
答：处距离灯塔的距离约为．
17．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键．
（1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；
（2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
所以的长为5．
（2）解：∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
所以的正弦值为．
18．如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部垂直于墙面，且当导风板所在的直线与竖直直线的夹角α为时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，于点D，于点F．若，，床铺，求空调机的底部位置距离床的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据已知得出是解题的关键．由题意根据已知得出的长度以及利用锐角三角函数求出的长度即可．
【详解】解：由题知 ， 四边形 是矩形，，，
∴．
在 中 ，
∴
∴ ．
答：空调机的底部位置距离床的高度约为．
19．某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？
（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米）
【答案】2.5米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．延长交于点，构造直角和矩形，设米．通过解直角三角形分别表示出、的长度，根据得到，解得即可求得 进而即可求得．
【详解】解：延长交于点，设米．
由题意得，，，
，，
（米），（米），
（米）．
解得，
（米），
（米）．
答：测温门顶部处距地面的高度约为2.5米．
20．如图，已知在中，是上一点，连接使得．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可证明；
（2）根据和得出，过点C作，根据，，在中，结合勾股定理求出，根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
过点C作，
∵，，
∴，
设，
则，，
在中，，即，
解得：或0（舍去），
∴，
∴．
【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程等知识点，解题的关键是证明三角形相似．
21．小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
(1)求小明从点到点的过程中上升的高度；
(2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
【答案】(1)小明从点到点的过程中上升的高度为米；
(2)大树的高度是米．
【分析】（）过点作于点，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解；
（）过点作于点，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，
由题意知米，
∵斜面的坡比为，
∴，
设米，则米，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴小明从点到点的过程中上升的高度为米；
（2）解：过点作于点，设米，
由（）得：（米），
∴（米），
∵，
∴四边形为矩形，
∴米，（米），
∵，
∴（米），
∴米，
∵，
在中，，
∴，
∴，
经检验：是原方程的解，
∴（米），
答：大树的高度是米．
22．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿边向终点B匀速运动，点P出发后，过点P作交射线于点Q，当点Q不与点C重合时，作点Q关于的对称点D，连结．设．
(1)___________．
(2)用含x的代数式表示的长．
(3)设与边的交点为E，当是锐角三角形时，求x的取值范围．
(4)当时，直接写出x的值．
【答案】(1)8
(2)或
(3)
(4)或
【分析】（1）根据正弦的定义和勾股定理即可解答；
（2）先根据勾股定理计算，分两种情况：①当点Q在边上时，②当点Q在的延长线上时，根据线段的差和对称性即可解答；
（3）先确定当是直角三角形时x的值，分三种情况：当或或时，过点P作于点H，列方程可解答；
（4）分两种情况：①当点Q在边AC上时，②当点Q在AC的延长线上时，根据，利用正切的定义列式即可解答．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵，
∴；
由勾股定理得：，
故答案为：8．
（2）∵点Q关于的对称点为点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
分两种情况：
①如图1，当点Q在边上时，
∴；
②如图2，当点Q在的延长线上时，
∴；
综上所述，的长或．
（3）解：时，如图3，过点P作交于点H，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点D，Q关于对称，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
当时，是锐角三角形；
当时，与重合，则不存在；
当时，如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由对称得：，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
当时，是锐角三角形；
综上，当是锐角三角形时，．
（4）解： ①当点Q在线段上时，如图5，过点D作交延长线于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点Q在的延长线上时，如图6，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，x的值是或．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，涉及直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的应用以及分类讨论、数形结合的思想是解题的关键．
23．综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）
【测量数据】
如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求入射角的大小和的长．
(2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，明确题意、掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）由中点的定义可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，再根据角的和差以及等腰三角形的判定即可解答；
（2）利用锐角三角函数求出长，然后再运用线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：∵，点为的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴在中，．
∵，
∴，，
∴，
∴在中，．
（2）解：∵在中，，
∴，
∴．
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【期末臻选】2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末卷（第23章解直角三角形）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在中，都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在的正方形网格图形中，点，，，都在格点上，与小正方形的一边交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．连接，则点在上
C．点为的外心 D．
9．如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题
11．在中，，，则的值是 ．
12．某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ．
13．在中，，则 ．
14．将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形，连接，
①若，则 ．
②探究的值为 ．
三、解答题
15．求下列式子的值：．
16．如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）．
17．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
18．如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部垂直于墙面，且当导风板所在的直线与竖直直线的夹角α为时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，于点D，于点F．若，，床铺，求空调机的底部位置距离床的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
19．某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得小聪的有效测温区间的长度是1米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？
（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米）
20．如图，已知在中，是上一点，连接使得．
(1)求证：；
(2)若，，求．
21．小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）．
(1)求小明从点到点的过程中上升的高度；
(2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米）
22．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿边向终点B匀速运动，点P出发后，过点P作交射线于点Q，当点Q不与点C重合时，作点Q关于的对称点D，连结．设．
(1)___________．
(2)用含x的代数式表示的长．
(3)设与边的交点为E，当是锐角三角形时，求x的取值范围．
(4)当时，直接写出x的值．
23．综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）
【测量数据】
如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求入射角的大小和的长．
(2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，）
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