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【期末臻选】2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末卷（第21章二次函数与反比例函数）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质和顶点坐标可得结论．
【详解】解：∵二次函数中，，顶点坐标为，
∴该二次函数的图象开口向上，
∴当时，二次函数有最小值．
故选：A．
2．将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为，
故选：C．
3．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（ ）
A． B．图象也经过点
C．若时，则 D．，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中．
把代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．
【详解】】
解：把代入反比例函数的解析式得：，故A正确；
∵反比例函数的解析式为，
把代入求得，
∴图象也经过点，故B正确；
由图象可知时，则，故C错误；
，
随x的增大而减小，
，y随x的增大而减小，故D正确；
故选：C．
4．二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解．
【详解】解：根据题意，，且，
解得，且，
故选：B ．
5．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：二次函数的图象与x轴有交点，且，
且，
故选：A
6．如图，点为双曲线上一点，点为轴正半轴上一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，作轴于，如图，设，根据勾股定理得，求得或，进而求得点的坐标，再利用三角形面 积公式即可求得，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作轴于，如图，设，
∴，，
∵，，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或，
当时，；
当时，；
综上，的面积为或，
故选：．
7．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键．
以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可．
【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，
∵，抛物线的对称轴为轴，
∴点，
设抛物线为．
∵抛物线过点，
，
，
∴抛物线解析式为，
设水面下降，
，
，
∵点在抛物线上，
，
解得：．
故选：B．
8．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标．
【详解】解：如图，
把点纵坐标代入中得：
(舍去负值)，即，
所以．
故选：C．
9．函数的图象如图所示，那么函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线中，是解题的关键．
利用二次函数的图象判断，，，，据此即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵对称轴在轴的右侧，
，
，
∵抛物线与轴交于正半轴，
，
∵，，
，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
10．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，；
当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∵，，是等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴
∴；
当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，是等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴
∴．
综上所述：
结合图像可得只有项符合题意，
故选：．
【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
二、填空题
11．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
【详解】解：根据二次函数的平移规律可得，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是，
故答案为：．
12．抛物线的对称轴是 ．
【答案】直线
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
根据二次函数的性质确定对称轴即可．
【详解】解：由二次函数的性质可得：抛物线的对称轴是直线．
故答案为：直线．
13．在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得对称轴为直线，由可得，根据抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大及，对于，都有，可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
∵，对于，都有，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．
（1） ；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据已知条件得出的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出的坐标，进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过斜边的中点．
∴；
故答案为：；
（2）设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，
将点代入中，解得，
∴直线的解析式为，
由（1）得反比例数解析式为，
联立，
解得：或，
当时， ，
当时， ，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
三、解答题
15．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
（1）y=x2+2x﹣3（配方法）； （2）y=x2﹣x+3（公式法）．
【答案】（1）开口向上，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1， ）．
【详解】试题解析：
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
16．已知二次函数．
(1)将二次函数化成的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)图象见解析，
【分析】本题主要考查了画二次函数图像，求二次函数的顶点式，根据图像求二次函数的自变量取值范围，对于（1），配方得出顶点式即可；
对于（2），先求出图像的顶点坐标，与x轴交点坐标，并画出图像，再根据图象在x轴下方时函数值小于0得出答案．
【详解】（1）；
（2）由（1）得顶点坐标是；
当时，，，
可知抛物线与x轴的交点是，．
画出图像如图所示．
当时，．
17．已知抛物线经过点，．
(1)求，的值．
(2)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)的值为或．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用等定系数法求解即可；
（2）分别求出和，根据列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
（2）解：由（1）可得：抛物线的解析式为：，
∵，是抛物线上不同的两点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴的值为或．
18．计算：
(1)设实数，满足，求的最小值．
(2)设，求的整数部分．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解的应用，二次函数的最值，有理数的混合运算等．
（1）根据因式分解法将方程化简，求得或，分别代入，根据二次函数的最值即可求解；
（2）根据，可推得，整理可求得，结合公式可得，即可求解．
【详解】（1）解：
即或，
解得：或，
若，则，
当时，有最小值为；
若，则，
当时，有最小值为；
故的最小值为．
（2）解：对于（是不等于的任意正数），满足，
∵，
∴，
故，
即，
∴
∴，
即，
∵，
∴，
∴的整数部分为．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果）
(3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，梯形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
（1）根据即可得到M的横坐标为1，然后代入一次函数求出M的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解；
（2）利用图像法求解即可得到答案；
（3）过B作轴于E，先求出A，B的坐标，即可得到的长，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵，
把代入中，得，
∴，
把，代入中，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）∵，
∴一次函数的图像要在反比例函数图像的下方，
∴结合函数图像可知时，满足题意，
∴当时，；
（3）过B作轴于E，
把代入中，得，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∵A是直线与y轴的交点，
∴，
∴，
∴
．
20．悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式；
(2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题．
（2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
由题易知，四边形为矩形，
，
点距离桥面为，，
，
平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴，
，
C点坐标为，P点坐标为，
将，代入中，
得 ，解得．
主索抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，此时吊索的长度为（），
由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为．
同理，时，，此时吊索的长度为（），
时，此时吊索的长度也为．
四根吊索的总长度为．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数解析式和一次函数解析式；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接 ，，求的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为；
(2)或；
(3)．
【分析】（）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把坐标代入即可求出一次函数解析式；
（）根据函数图象即可求解；
（）求出点坐标，由计算即可求解；
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图，连接、，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
22．某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x/（元/件） 80 100
销售量y/件 100 60
(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．
(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)①；②W有最大值．最大值为2400
【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）设，待定系数法求函数解析式即可；
（2）①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设销售量y关于售价x的函数关系式为．
根据题意，得
解得：，
销售量y关于售价x的函数关系式为：．
（2）解：①由（1）知每天的销售量．
∵商品进价为60元/件，
∴W与x之间的函数关系式为
即；
②∵．
∴，
∴．
∵．
∴当时．W有最大值．最大值为2400．
23．定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数．
(1)若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
(2)已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）首先表示出二次函数（a是常数，）的牵引函数，联立两函数解析式得到一元二次方程，根据只有一个交点令，即可求出a的值；
（2）首先求出一次函数的原函数，得到，，对称轴为直线，顶点坐标为．得到，，当点M在点A的左侧，即时，y随x的增大而减小，得到，解得；设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时， ，不符合题意；当点M在点的右侧，即时．y随x的增大而增大，，解得．
【详解】（1）由题意，得二次函数的牵引函数为，
联立，
得．
∵二次函数（a是常数，）的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，
∴
解得或．
（2）由题意可知原函数的解析式为，
∴当时，；当时，．
，，原函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
∴，
当时，，
∴．
①如答图①，当点M在点A的左侧，即，时，y随x的增大而减小，
∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，
∴，
解得或（舍去）．
②如答图②，设点A的对称点为，当点M在点A与点之间时，，即，而，不符合题意；
③如答图③，当点M在点的右侧，即，时．y随x的增大而增大，
∴M点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得（舍去）或．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了新定义——牵引函数和原函数，熟练掌握新定义，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和二次函数的图象唯一交点性质，二次函数的对称性和增减性，是解题的关键．
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【期末臻选】2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末卷（第21章二次函数与反比例函数）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
2．将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法错误的是（ ）
A． B．图象也经过点
C．若时，则 D．，y随x的增大而减小
4．二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．且 B．且 C． D．
6．如图，点为双曲线上一点，点为轴正半轴上一点，且，则的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象如图所示，那么函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 ．
12．抛物线的对称轴是 ．
13．在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是
14．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过斜边的中点．
（1） ；
（2）为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ．
三、解答题
15．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
（1）y=x2+2x﹣3（配方法）； （2）y=x2﹣x+3（公式法）．
16．已知二次函数．
(1)将二次函数化成的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围．
17．已知抛物线经过点，．
(1)求，的值．
(2)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．
18．计算：
(1)设实数，满足，求的最小值．
(2)设，求的整数部分．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果）
(3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积．
20．悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式；
(2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数解析式和一次函数解析式；
(2)观察函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)连接 ，，求的面积．
22．某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x/（元/件） 80 100
销售量y/件 100 60
(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．
(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．定义：对于一次函数（k，m是常数，）和二次函数（a，b，c是常数，），如果，，那么一次函数叫做二次函数的牵引函数，二次函数叫做一次函数的原函数．
(1)若二次函数（a是常数，的图象与其牵引函数的图象有且只有一个交点，求a的值；
(2)已知一次函数是二次函数的牵引函数，在二次函数上存在两点，．若也是该二次函数图象上的点，记二次函数图象在点A，M之间的部分为图象G（包括M，A两点），记图象G上任意一点纵坐标的最大值与最小值的差为t，且，求m的取值范围．
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