中小学教育资源及组卷应用平台
【期末臻选】2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末卷（第22章 相似三角形）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．，则（ ）
A． B．2 C．3 D．-2
3．如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（ ）
A．5 B． C．6 D．
6．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（ ）
A．只有①是 B．只有②是
C．①和②都是 D．①和②都不是
7．如图，已知等边三角形的边长是，为上一点，且，为上一点，，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．9
二、填空题
11．已知，那么 ．
12．如图，在中，点D在边上．若，且，则线段的长为
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点．若，，则的长为 ．
14．如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出．
(3)①点的坐标为 ．②求的面积．
16．如图，和相交于点，点在上，，．
(1)求的长；
(2)已知，求的面积．
17．如图，在中，，点在上，于点．
(1)求证：；
(2)，且，求的长．
18．有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．
19．如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
20．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
22．如图①，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点的坐标为，连接，．
(1)请直接写出二次函数的表达式；
(2)若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标；
(3)如图②，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当的面积最大时，求此时点的坐标．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在钝角中，，的面积为42，求证：是“亚直角三角形”．（提示：作，垂足是点D）
【素养提升】
（3）如图2，在中，，点D在边上，连接，若是“亚直角三角形”，直接写出线段的长；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【期末臻选】2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末卷（第22章 相似三角形）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．
按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，条线段不成比例，故选项不符合题意；
B. ，条线段成比例，故选项符合题意；
C. ，条线段不成比例，故选项不符合题意；
D. ，条线段不成比例，故选项不符合题意；
故选：．
2．，则（ ）
A． B．2 C．3 D．-2
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，化简原式即可得出答案，掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键．先得出，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，，
．
又，
．
又，
，
则，
．
故选：C．
4．如图，在中，点是上一点，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，两组对应角相等或者夹角相等，两边成比例的三角形是相似三角形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意；
B、因为，，所以，故该选项不符合题意；
C、因为，且夹角都不是，即夹角不相等，所以不相似，故该选项符合题意；
D、因为，且，即夹角相等两边成比例，所以，故该选项不符合题意；
故选：C
5．如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知的图形通过推出，利用，可得到，设，根据三角形面积关系即可得出结果．
【详解】解：如图所示，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
故选：B．
6．如图，在正方形网格中，A、B、C、D、M、N都是格点，从A、B、C、D四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：①；②．关于这两个三角形，下列判断正确的是（ ）
A．只有①是 B．只有②是
C．①和②都是 D．①和②都不是
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定；
先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定定理证明即可
【详解】如图，连接，，，，，
在中，，，，
由网格可知：，，，，，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与不相似，
故选：．
7．如图，已知等边三角形的边长是，为上一点，且，为上一点，，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质及三角形的外角可得，由比例式即可求出的值．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，解题的关键是求得．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果．
【详解】解：，
，
A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合；
B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合；
D、添加，无法判定，故本选项符合．
故选：D．
9．在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，尺规作图—作圆，尺规作图—作一个角等于已知角，尺规作图—作垂线等知识，根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：．由作图可得是的垂线，
，，
，
，
∴，故选项不符合题意；
．由作图可得，
，
∴，故选项不符合题意；
．由作图可得是圆的直径，
，
，
，
∴，故选项不符合题意；
．由作图得，其作图无法使与相似，故选项符合题意；
故选：．
10．如图，已知菱形的面积是24，E，F分别是菱形的边的中点，连结与交于点G，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】A
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确的作出辅助线，技巧性较强．
延长交延长线于点，则，证明，即可得出，根据菱形的面积，求出的面积，然后可得出的面积．
【详解】解：如图，延长交延长线于点，
∵点F是边的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点是中点，
∴，
∴，
∵菱形的面积为24，
∴的面积为6，
∴的面积为，
故选：A．
二、填空题
11．已知，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
12．如图，在中，点D在边上．若，且，则线段的长为
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定；先证明，再根据相似三角形的性质求出，即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，，，由勾股定理得，再根据可得，解之即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
14．如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ．
【答案】或
【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解．
【详解】解：当时，如图，有，连接，
由折叠可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴；
当时，如图，有，
∴，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出．
(3)①点的坐标为 ．②求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）解：①点的坐标为．
的面积为．
16．如图，和相交于点，点在上，，．
(1)求的长；
(2)已知，求的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，利用面积比得对应线段比证明线段平行，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）过作于，由，可证，可得，由，可得，可证，可得，可证，可得即可；
（2）由，可得即可．
【详解】（1）解：过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
（2）解：，
，
，
．
17．如图，在中，，点在上，于点．
(1)求证：；
(2)，且，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）根据“两角相等的两个三角形相似”即可求证；
（）由相似三角形的性质即可求解；
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵于点，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
18．有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，结合了平行线性质、相似三角形的判定和性质，注意数形结合的运用．
（1）根据题意得，，则．可证得，有化简即可；
（2）把代入，化解得，进一步求得y，经检验，x，y的取值均符合题意，利用周长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
19．如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．
（1）证即可求解；
（2）证得即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴.
∵,
∴
∴.
（2）解：∵，
∴.
∵.
∴.
又∵ ,
∴,
∴.
∵D为边的中点，，
∴.
∵，
∴.
解得.
20．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
（1）由四边形是矩形，得到，，从而有，根据得，即可求证；
（2）设，由得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：∵，
设，则
在中，由勾股定理得，
∵四边形是矩形，
，
∵点为的中点，
，
，
，
，
，且，
，
解得，
．
21．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．
甲 乙
图例
方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长） 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长
(1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？
(2)乙生的方案中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键，
（1）证明，得，代入数据求解，即可得解；
（2）如图，作于点，延长线交于点，证明，得，代入数据求解，即可得解．
【详解】（1）解：由题意知，
，
又，
，
，
由题意知，
，
解得，
即小视力表中相应“”的高是．
（2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点，
由题意知，，
，
∴，
，
，
，
，
，
由题意知，
，
，
，
∴镜长至少为．
22．如图①，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点的坐标为，连接，．
(1)请直接写出二次函数的表达式；
(2)若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标；
(3)如图②，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当的面积最大时，求此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)，，或
(3)
【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解；
（2）分别以、两点为圆心，长为半径画弧，与轴交于三个点，由的垂直平分线与轴交于一个点，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求得点的坐标；
（3）设点的坐标为，则，过点作轴于点，根据三角形相似对应边成比例求得，然后根据得出关于的二次函数，根据函数解析式求得即可．
【详解】（1）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，
，
，
二次函数的表达式为：；
（2）∵，，
，
①如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为，
②如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，，
∴
∴，
∴此时的坐标为或；
③如图所示，作的垂直平分线，交轴于，
，
，
，
，
，
的坐标为，
综上所述，若点N在轴上运动，当以点、N、为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为，，或；
（3）抛物线与轴交于，两点，
，
，，
点，
，
设点的坐标为，则，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
当时，面积最大，
点坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在钝角中，，的面积为42，求证：是“亚直角三角形”．（提示：作，垂足是点D）
【素养提升】
（3）如图2，在中，，点D在边上，连接，若是“亚直角三角形”，直接写出线段的长；
【答案】（1）和（2）见解析（3）或
【分析】（1）根据新定义结合三角形的内角和定理得到，进行求解即可；
（2）作，垂足是点D，三角形的面积公式求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，推出，证明，得到，进而推出，即可得证；
（3）分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，
∴，解得：，
∴两个锐角的度数分别为：和；
（2）作，垂足是点D，
则：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“亚直角三角形”；
（3）∵，
∴，
由题意，，且是“亚直角三角形”，分两种情况：
①当，
∵，
∴，
∴，
∴为的角平分线，
作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，即：，解得：，
∴，
在中，；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握相关知识点和新定义，以及分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
