《一次函数》精选压轴题—广东省（北师版）八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2021八上·深圳期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距千米；
②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
③乙车出发后小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距千米时，或
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是 B．，两地的距离是
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
3．（2021·姑苏模拟）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶 ，并且甲车途中休息了 ，如图是甲、乙两车行驶的距离 与时间 的函数图象，有以下结论：
① ；② ；③甲车从A地到B地共用了7小时；④当两车相距 时，乙车用时为 .其中正确结论的个数是（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地.乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
5．（2023八上·江北期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024八上·盐田期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2024八上·罗湖期末）A，B两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发 小时后与乙相遇．
9．（2024八上·潮阳开学考）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是 ．
三、解答题
10．（2020八上·平阴期末）如图，直线L1： 与 轴， 轴分别交于A，B两点，点P（ ，3）为直线AB上一点，另一直线L2： 经过点P．
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和 的值；
（3）若点C是直线L2与 轴的交点，点Q是 轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标
11．（2024八上·河源期末）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求的面积．
12．（2020八上·龙岗期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。
13．（2024八上·福田期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形．
（1）求点，的坐标；
（2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，，．
探究发现，点在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式_▲_ ；
若点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标．
14．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
15．（2024八上·化州期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点是线段上一动点，直线与轴交于点．若的面积为8，求点F的坐标．
16．（2024八上·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
（1）求直线的表达式．
（2）如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
（3）如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
17．（2024八上·福田期末）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在轴的右侧作正方形AOBC
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，.
①探究发现，点在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式
②若点是线段OB的中点，另一动点在直线BE上，且，请求出点的坐标.
四、实践探究题
18．（2023八上·高州月考）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，求一次函数的“不动点”．
（2）若一次函数的“不动点”为，求的值．
（3）若直线与x轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．
19．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③符合题意；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，故④不符合题意；
综上可知正确的有①②③共三个，
故答案为：C．
【分析】结合函数图象，对每个结论一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：点中可知，乙1小时行驶了60，可求乙的速度60
点中可知，1.5后，甲追上乙，速度差为，可求甲的速度100
点中可知，甲到地，且甲乙相差80，可求出，
点中可知，休息30分钟，可求，，
点中可知，甲乙再次相遇，
A，甲车的速度是120，故选项A错误；
B，已知甲3.5后到达B地，且甲速度为100，所以A、B两地为350，故选项B错误；
C，甲车3.5到达B地，乙车比甲车早出发1，所以是4.5，故选项C正确；
D，从上中和可知，甲出发1.5和与乙车相遇，故选项B错误.
【分析】由两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，可求乙的速度60，甲的速度100，结合图象信息，逐项判断即可．
3．【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 ，故①结论正确；
，则 ，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程 与时间 的函数关系式为 ，
由题意，得： ，
解得 ，
当 时， ，
解得： ，
甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当 时， .
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为 ，
由题意得： ，
解得 ，
.
当 时，
解得： ，
当 时，
解得： ，
， ，
所以乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距 ，故④结论错误.
正确结论的个数是3个.
故答案为：B.
【分析】由题意得m=1.5-0.5=1，a=120÷(3.5-0.5)，据此判断①②；利用待定系数法求出甲车休息之后行驶路程与时间的关系式，令y=260，求出x，据此判断③；求出乙车行驶的路程与时间的函数关系式，当1.54．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，甲车出发1.5小时就追上乙，故甲车的速度为(1+1.5)×60÷1.5=100千米/小时，故选项A不合题意；
B、甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷(100-60)=2(小时)，
甲车行全程需要2+1.5=3.5(小时)，全程为100×3.5=350千米，故选项B不合题意；
C、此时乙车出发3.5+1=4.5(小时)，故选项C符合题意；
D、甲车休息半小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5=5 (小时)，
此时乙车距B地350-60×5=50(千米)，
返回时相遇所用时间为50÷(100+60)=小时，
此时甲车行驶的时间为3.5+0.5+=4小时，故选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图象可知甲车出发时，两车距离为60千米，从而得到乙车的速度，而甲车出发1.5小时候追上了乙车，从而说明乙车2.5小时所走的路程等于甲车1.5小时所走的路程，据此可算出甲车的速度，从而可判断A选项；从图象看两车相距80千米的时候甲车到达了B地，据此可算出甲车到达B的时间，进而可算出A、B两地的距离，据此可判断B、C；找出甲车在B地休息半小时后乙车距离B地的路程，进而根据相遇问题求出返回时相遇所用时间，进而即可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16-4）x，
解得x＝80
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝30（分），
故②结论不正确；
由图可得，乙追上甲的时间为：16-4＝12（分）；
故③结论不正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60＝360（米），
故④结论不正确；
故正确的结论有①共1个.
故答案为：A.
【分析】由图象可得甲4min行驶的路程为240m，利用路程÷时间=速度可得甲的速度，据此判断①；设乙的速度为x米/分，根据甲16min的路程=乙(16-4)min的路程建立方程，求出x的值，进而判断②；由图可得乙追上甲的时间为(16-4)分，据此判断③；乙到达终点时，甲离终点距离是[2400-(4+30)×60]米，据此判断④.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC，∠DBC=90°.
∵∠DBE+∠DBC+∠CBO=180°，∠CBO+∠OCB=80°，
∴∠DBE=∠OCB.
在△DBE和△BCO中
∴△DBE≌△BCO（AAS），
∴DE=BO.
直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴DE=BO=2，
∴P（-1，1）.
故不论点C怎么移动，点D到y轴的距离固定不变都是2，即点D总在直线x=2上移动.
∴当DP垂直直线x=2时DP最小.
最小值为2+1=3.
故答案为：D.
【分析】已知P点为顶点，D点为动点，所以找到D点的运动轨迹，问题就可以解决. 过点D作DE⊥y轴于点E，就构造出一线三直角模型，又由BD=CB，可证得△DBE≌△BCO，从而DE=BO=2，为定值.所以点D的运动轨迹为直线，那么根据垂线段最短就可以解决问题.
7．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，
，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
【分析】 由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把(5，300)代入可求出t的值，从而得到y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，把(1， 0)，(4，300)代入，可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值，从而得到y乙=100t-100，联立所求的两函数解析式求解可得交点坐标，即可判断③；分乙车出发前两车相距50千米，两车行驶中两车相距50千米及乙车到达B城后两车相距50千米，三种情况考虑可判断④，综上即可得出答案.
8．【答案】2
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲出发x小时后与乙相遇，
甲减速后的速度为：km/h ，
乙的速度为：km/h ，
由题意得：，
解得：x=2，
即甲出发2小时后与乙相遇．
故答案为：2.
【分析】根据图象分别求出甲减速后的速度和乙的速度，根据题意列出方程，解方程即可.
9．【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意知：
第n次 所在位置的点的坐标
n=1
n=2
n=3
n=
n=
n=
由此可见：
小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是
第2n+1次运动对应的坐标是
当2n=2022时，n=1011
经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，
故经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．
故答案为：．
【分析】先根据规律，得出小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是，令2n=2022，解出n=1011，得出经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，因此得出：经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．
10．【答案】（1）解：如图
由题意可知，直线AB的关系式为y＝﹣x＋2，
令y＝0，
∴﹣x＋2＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）
（2）解：∵P点在直线y＝﹣x＋2上
∴－m＋2＝3
∴m＝－1
∴P点（－1，3）
∵直线y＝kx＋4经过点P．
∴－k＋4＝3
∴k＝1
（3）解：由（2）知直线L2关系式为y＝x＋4
∵点C是直线L2与x轴的交点
令y＝0，
∴x＋4＝0，
∴x＝－4，
∴C（－4，0）
S△CPQ＝ CQ yP＝ ×CQ×3＝3
∴CQ＝2
∴Q（－6，0）或者（－2，0）
【知识点】三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 x＝2， 再求出 A（2，0）， 最后计算求解即可；
（2）根据函数解析式求出 m＝－1 ，再求出点P的坐标，最后计算求解即可；
（3）先求出 x＝－4， 再求出点C的坐标，最后根据三角形的面积公式进行计算求解即可。
11．【答案】（1）解：解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴，解得：，
∴，
把和代入一次函数，得：
，解得， ，
∴ 一次函数解析式是．
（2）解：由（1）知一次函数表达式是 ，
令，则，
∴点．
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，则，解得：，
∴点，
∴，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)由已知条件可知点P在正比例函数的图像上，把P的坐标代入即可求出m的值，再把点P和B的坐标代入一次函数，列方程组求解即可知道一次函数的表达式；
(2)由(1)求得的一次函数表达式，求一次函数图象与y轴的交点，即令x=0，求出对应的y值，即可知道该交点D的坐标；
(3)结合图像，先把点C的坐标求出来，点C是一次函数图象与x轴的交点，即令y=0，求出对应的x值，即可知道点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案.
12．【答案】（1）解：设直线AC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得： ，
解得： ．
则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）解：∵C（0，6），A（4，2），
∴OC＝6，
∴S△OAC＝ ×6×4＝12；
（3）解：设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m＝ ．
则直线的解析式是：y＝ x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的 时，
∴M到y轴的距离是 ×4＝2，
∴点M的横坐标为2或﹣2；
当M的横坐标是：2，
在y＝ x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；
在y＝﹣x+6中，x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．
则M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）．
当M的横坐标是：﹣2，
在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）
综上所述：M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）或M3（﹣2，8）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据点C和点A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式，计算得到答案即可；
（3）根据题意，由三角形的面积公式计算得到M点的横坐标，代入解析式，求出M的坐标即可。
13．【答案】（1）解：把代入，得，
点的坐标为，
把代入，得，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，垂足为点，
设点的坐标为，则，，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，整理得，
点所在的直线的解析式为；
连接，由题意可知为等腰直角三角形，则，
四边形为正方形，
，
，此时点与点重合，
点是线段的中点，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入，
得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
作点关于直线的对称点，可得，
此时，所以点为直线与的交点，
直线的解析式为，
联立，解得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）分别把，代入，求得点和点的坐标；
（2）过点作轴，垂足为点，设点的坐标为，则，，证明，根据全等三角形的性质得，，由，即可得到与之间的关系式；
②连接，由题意可知为等腰直角三角形，则，可得点与点重合，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得点的坐标为，作点关于直线的对称点，得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与的解析式联立，可得到点的坐标．
14．【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
15．【答案】（1）解：分别与轴，轴交于点，，
，
解得：，
，
时，，
；
（2）解：在线段上，且，，
设点，
分两种情况：
①当在轴正半轴上时，如图：
，，，轴，
，
，
，
，
即：，
，
；
②当在轴负半轴上时，如图：
点，，，，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D的坐标即可；
（2）设点，分类讨论：①当在轴正半轴上时，②当在轴负半轴上时，再利用三角形的内角和及割补法列出方程求出m的值，从而可得点F的坐标.
16．【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；一次函数的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）由A、B两点的坐标可得OA、OB的长度，进而由勾股定理可得AB的长，由翻折性质得OC=CE，OB=BE=8，由线段和差得AC=6-OC，AE=AB-BE=2，在Rt△ACE中，用勾股定理建立方程可求出OC的长，从而得到点C的坐标；
（3）过点G作GE⊥CF于点E，过点E作EN⊥OB于点N，过点G作GM⊥EN于点M，设CF的解析式为y=k(x-2)，则设E（m，km-2k），C（0，-2k），根据两点间的距离公式表示出EN，ON，进而可表示出NF，由旋转的性质得∠CFG=45°，CF=FG，则可得△GEF是等腰直角三角形，则EG=EF，然后由同角的余角相等得∠MEG=∠NFE，由AAS证△GME≌△ENF，由全等三角形的对应边相等得NF=ME=2-m，MG=EN=km-2k，从而可得G（m+km-2k，km-2k+2-m），根据两点间的距离公式由CF=FG，建立方程可解出m的值，将点G的纵坐标减去横坐标可得y=x+2-2m，即点G一定在直线y=x+2-2m上移动，设直线y=x+2-2m与x轴相交于点Q（2m-2，0），与y轴交点坐标为P（0，2-2m），则可得△POQ是等腰直角三角形， 过B作BH⊥GP于H，则BH即为BG的最小值，则△QHB也是等腰直角三角形，进而根据等腰直角三角形的性质即可求出BH的长，从而得出答案.
17．【答案】（1）解：把x=0代入y=-x+4，得y=4，∴点A的坐标为（0，4) ，
把y=0代入y=-x+4，得x=4，∴点B的坐标为（4，0) ；
（2）解：① 点E所在的直线的解析式为；
②连接AE， 由题意可知△ADE为等腰直角三角形， 则 ，
四边形OACB为正方形，
，
， 此时点H与点E重合，
点D是线段OB的中点，
，
点E的坐标为 ，
设直线AE的解析式为y=k x+b， 把A(0，4)， E(6，2) 代入，
，
解得 ，
直线AE的解析式为 ，
当 时， ，
点M的坐标为 ，
作点M关于直线AC 的对称点N， 可得 ，
此时 ， 所以点H为直线AN与BE的交点，
直线AN的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
点H的坐标为 ，
综上所述， 点H的坐标为 或 .
【知识点】正方形的性质；一次函数中的动态几何问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）①过点E作EF⊥x 轴， 垂足为点 F，设点E的坐标为 (x， y)， 则OF=x， EF=y，
，
，
，
，
，
，整理得
点E所在的直线的解析式为；
【分析】（1）分别令直线y=-x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，从而可得点A、B的坐标；
（2）①过点E作EF⊥x 轴， 垂足为点 F，设点E的坐标为 (x， y)， 则OF=x， EF=y，由同角的余角相等得∠OAD=∠FDE，从而用AAS判断出△AOD≌△DFE，由全等三角形的对应边相等得OD=EF=y，OA=DF=4，进而根据OF=OD+DF即可求出y关于x的函数解析式，即得出点E所过的定直线；
②连接AE， 由题意可知△ADE为等腰直角三角形，可得点H与点E重合，结合中点定义及点的坐标与图形性质可得点E的坐标；利用待定系数法求出直线AE的解析式，将x=4代入所求的函数解析式算出对应的函数值可得点M的坐标，作点M关于直线AC 的对称点N，可得点N的坐标，从而求出直线AN的解析式，然后联立直线AN与AE的解析式求解即可得出点H的坐标，综上即可得出答案.
18．【答案】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即解得
一次函数的“不动点”为
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，，又
解得
（3）解：∵直线上没有“不动点”，
∴直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义，列一元二次方程组，解方程组即可求出一次函数的“不动点”；
（2）根据一次函数的性质，将点（2，n-1）代入直线y=x，即可求出n的值；将点（2，n-1）代入直线y=mx+n，可得m和n的关系，将n的值代入等式即可求出m的值；
（3）根据两直线平行，系数相等，可得k的值；根据直线与x轴和y轴的交点性质，可得点A和B的坐标；根据题目中的等量关系，列等式，即可求出点P的坐标.
19．【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
1 / 1《一次函数》精选压轴题—广东省（北师版）八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2021八上·深圳期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距千米；
②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；
③乙车出发后小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距千米时，或
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得，解得，
，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③符合题意；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，故④不符合题意；
综上可知正确的有①②③共三个，
故答案为：C．
【分析】结合函数图象，对每个结论一一判断即可。
2．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是 B．，两地的距离是
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：点中可知，乙1小时行驶了60，可求乙的速度60
点中可知，1.5后，甲追上乙，速度差为，可求甲的速度100
点中可知，甲到地，且甲乙相差80，可求出，
点中可知，休息30分钟，可求，，
点中可知，甲乙再次相遇，
A，甲车的速度是120，故选项A错误；
B，已知甲3.5后到达B地，且甲速度为100，所以A、B两地为350，故选项B错误；
C，甲车3.5到达B地，乙车比甲车早出发1，所以是4.5，故选项C正确；
D，从上中和可知，甲出发1.5和与乙车相遇，故选项B错误.
【分析】由两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，可求乙的速度60，甲的速度100，结合图象信息，逐项判断即可．
3．（2021·姑苏模拟）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶 ，并且甲车途中休息了 ，如图是甲、乙两车行驶的距离 与时间 的函数图象，有以下结论：
① ；② ；③甲车从A地到B地共用了7小时；④当两车相距 时，乙车用时为 .其中正确结论的个数是（ ）.
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得 ，故①结论正确；
，则 ，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程 与时间 的函数关系式为 ，
由题意，得： ，
解得 ，
当 时， ，
解得： ，
甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当 时， .
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为 ，
由题意得： ，
解得 ，
.
当 时，
解得： ，
当 时，
解得： ，
， ，
所以乙车行驶 小时或 小时，两车恰好相距 ，故④结论错误.
正确结论的个数是3个.
故答案为：B.
【分析】由题意得m=1.5-0.5=1，a=120÷(3.5-0.5)，据此判断①②；利用待定系数法求出甲车休息之后行驶路程与时间的关系式，令y=260，求出x，据此判断③；求出乙车行驶的路程与时间的函数关系式，当1.54．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地.乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，甲车出发1.5小时就追上乙，故甲车的速度为(1+1.5)×60÷1.5=100千米/小时，故选项A不合题意；
B、甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷(100-60)=2(小时)，
甲车行全程需要2+1.5=3.5(小时)，全程为100×3.5=350千米，故选项B不合题意；
C、此时乙车出发3.5+1=4.5(小时)，故选项C符合题意；
D、甲车休息半小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5=5 (小时)，
此时乙车距B地350-60×5=50(千米)，
返回时相遇所用时间为50÷(100+60)=小时，
此时甲车行驶的时间为3.5+0.5+=4小时，故选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图象可知甲车出发时，两车距离为60千米，从而得到乙车的速度，而甲车出发1.5小时候追上了乙车，从而说明乙车2.5小时所走的路程等于甲车1.5小时所走的路程，据此可算出甲车的速度，从而可判断A选项；从图象看两车相距80千米的时候甲车到达了B地，据此可算出甲车到达B的时间，进而可算出A、B两地的距离，据此可判断B、C；找出甲车在B地休息半小时后乙车距离B地的路程，进而根据相遇问题求出返回时相遇所用时间，进而即可判断D选项.
5．（2023八上·江北期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16-4）x，
解得x＝80
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝30（分），
故②结论不正确；
由图可得，乙追上甲的时间为：16-4＝12（分）；
故③结论不正确；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60＝360（米），
故④结论不正确；
故正确的结论有①共1个.
故答案为：A.
【分析】由图象可得甲4min行驶的路程为240m，利用路程÷时间=速度可得甲的速度，据此判断①；设乙的速度为x米/分，根据甲16min的路程=乙(16-4)min的路程建立方程，求出x的值，进而判断②；由图可得乙追上甲的时间为(16-4)分，据此判断③；乙到达终点时，甲离终点距离是[2400-(4+30)×60]米，据此判断④.
6．（2024八上·盐田期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC，∠DBC=90°.
∵∠DBE+∠DBC+∠CBO=180°，∠CBO+∠OCB=80°，
∴∠DBE=∠OCB.
在△DBE和△BCO中
∴△DBE≌△BCO（AAS），
∴DE=BO.
直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴DE=BO=2，
∴P（-1，1）.
故不论点C怎么移动，点D到y轴的距离固定不变都是2，即点D总在直线x=2上移动.
∴当DP垂直直线x=2时DP最小.
最小值为2+1=3.
故答案为：D.
【分析】已知P点为顶点，D点为动点，所以找到D点的运动轨迹，问题就可以解决. 过点D作DE⊥y轴于点E，就构造出一线三直角模型，又由BD=CB，可证得△DBE≌△BCO，从而DE=BO=2，为定值.所以点D的运动轨迹为直线，那么根据垂线段最短就可以解决问题.
7．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，
，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
【分析】 由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把(5，300)代入可求出t的值，从而得到y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，把(1， 0)，(4，300)代入，可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值，从而得到y乙=100t-100，联立所求的两函数解析式求解可得交点坐标，即可判断③；分乙车出发前两车相距50千米，两车行驶中两车相距50千米及乙车到达B城后两车相距50千米，三种情况考虑可判断④，综上即可得出答案.
二、填空题
8．（2024八上·罗湖期末）A，B两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发 小时后与乙相遇．
【答案】2
【知识点】函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设甲出发x小时后与乙相遇，
甲减速后的速度为：km/h ，
乙的速度为：km/h ，
由题意得：，
解得：x=2，
即甲出发2小时后与乙相遇．
故答案为：2.
【分析】根据图象分别求出甲减速后的速度和乙的速度，根据题意列出方程，解方程即可.
9．（2024八上·潮阳开学考）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意知：
第n次 所在位置的点的坐标
n=1
n=2
n=3
n=
n=
n=
由此可见：
小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是
第2n+1次运动对应的坐标是
当2n=2022时，n=1011
经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，
故经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．
故答案为：．
【分析】先根据规律，得出小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是，令2n=2022，解出n=1011，得出经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，因此得出：经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．
三、解答题
10．（2020八上·平阴期末）如图，直线L1： 与 轴， 轴分别交于A，B两点，点P（ ，3）为直线AB上一点，另一直线L2： 经过点P．
（1）求点A、B坐标；
（2）求点P坐标和 的值；
（3）若点C是直线L2与 轴的交点，点Q是 轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标
【答案】（1）解：如图
由题意可知，直线AB的关系式为y＝﹣x＋2，
令y＝0，
∴﹣x＋2＝0，
∴x＝2，
∴A（2，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2）
（2）解：∵P点在直线y＝﹣x＋2上
∴－m＋2＝3
∴m＝－1
∴P点（－1，3）
∵直线y＝kx＋4经过点P．
∴－k＋4＝3
∴k＝1
（3）解：由（2）知直线L2关系式为y＝x＋4
∵点C是直线L2与x轴的交点
令y＝0，
∴x＋4＝0，
∴x＝－4，
∴C（－4，0）
S△CPQ＝ CQ yP＝ ×CQ×3＝3
∴CQ＝2
∴Q（－6，0）或者（－2，0）
【知识点】三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 x＝2， 再求出 A（2，0）， 最后计算求解即可；
（2）根据函数解析式求出 m＝－1 ，再求出点P的坐标，最后计算求解即可；
（3）先求出 x＝－4， 再求出点C的坐标，最后根据三角形的面积公式进行计算求解即可。
11．（2024八上·河源期末）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图象经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，
∴，解得：，
∴，
把和代入一次函数，得：
，解得， ，
∴ 一次函数解析式是．
（2）解：由（1）知一次函数表达式是 ，
令，则，
∴点．
（3）解：由（1）知一次函数解析式是，
令，则，解得：，
∴点，
∴，
∵，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)由已知条件可知点P在正比例函数的图像上，把P的坐标代入即可求出m的值，再把点P和B的坐标代入一次函数，列方程组求解即可知道一次函数的表达式；
(2)由(1)求得的一次函数表达式，求一次函数图象与y轴的交点，即令x=0，求出对应的y值，即可知道该交点D的坐标；
(3)结合图像，先把点C的坐标求出来，点C是一次函数图象与x轴的交点，即令y=0，求出对应的x值，即可知道点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出答案.
12．（2020八上·龙岗期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的 ？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：设直线AC的解析式是y＝kx+b，
根据题意得： ，
解得： ．
则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；
（2）解：∵C（0，6），A（4，2），
∴OC＝6，
∴S△OAC＝ ×6×4＝12；
（3）解：设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：m＝ ．
则直线的解析式是：y＝ x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的 时，
∴M到y轴的距离是 ×4＝2，
∴点M的横坐标为2或﹣2；
当M的横坐标是：2，
在y＝ x中，当x＝2时，y＝1，则M的坐标是（2，1）；
在y＝﹣x+6中，x＝2则y＝4，则M的坐标是（2，4）．
则M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）．
当M的横坐标是：﹣2，
在y＝﹣x+6中，当x＝﹣2时，y＝8，则M的坐标是（﹣2，8）
综上所述：M的坐标是：M1（2，1）或M2（2，4）或M3（﹣2，8）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据点C和点A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式，计算得到答案即可；
（3）根据题意，由三角形的面积公式计算得到M点的横坐标，代入解析式，求出M的坐标即可。
13．（2024八上·福田期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形．
（1）求点，的坐标；
（2）如图，点是轴上一动点，点在的右侧，，．
探究发现，点在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式_▲_ ；
若点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把代入，得，
点的坐标为，
把代入，得，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，垂足为点，
设点的坐标为，则，，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
，整理得，
点所在的直线的解析式为；
连接，由题意可知为等腰直角三角形，则，
四边形为正方形，
，
，此时点与点重合，
点是线段的中点，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入，
得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
作点关于直线的对称点，可得，
此时，所以点为直线与的交点，
直线的解析式为，
联立，解得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）分别把，代入，求得点和点的坐标；
（2）过点作轴，垂足为点，设点的坐标为，则，，证明，根据全等三角形的性质得，，由，即可得到与之间的关系式；
②连接，由题意可知为等腰直角三角形，则，可得点与点重合，利用待定系数法求得直线的解析式为，可得点的坐标为，作点关于直线的对称点，得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与的解析式联立，可得到点的坐标．
14．（2024八上·盐田期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）待定系数法求m值；
（2）根据△AOB的面积是△BOC面积的倍以及图形关系，得到△AOB面积与△AOC面积的数量关系，分别表示出两个三角形的面积并代入，得到OB与OC的数量关系，再根据这个关系设出B，C点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式.主要两种情况都要考虑到，再根据k的取值范围进行排除；
（3）考虑角平分线OC在y轴上，作点关于轴的对称点，于是点D在直线OA'上，求出OA'的表达式，联立得方程组，求解即可.
15．（2024八上·化州期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，，过点作x轴的垂线，与直线交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点是线段上一动点，直线与轴交于点．若的面积为8，求点F的坐标．
【答案】（1）解：分别与轴，轴交于点，，
，
解得：，
，
时，，
；
（2）解：在线段上，且，，
设点，
分两种情况：
①当在轴正半轴上时，如图：
，，，轴，
，
，
，
，
即：，
，
；
②当在轴负半轴上时，如图：
点，，，，
，
，
，
，
解得：，
；
综上所述：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点D的坐标即可；
（2）设点，分类讨论：①当在轴正半轴上时，②当在轴负半轴上时，再利用三角形的内角和及割补法列出方程求出m的值，从而可得点F的坐标.
16．（2024八上·深圳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，点是轴上一点．
（1）求直线的表达式．
（2）如图1，连接，将沿翻折至，若点恰好落在直线上，求点的坐标．
（3）如图2，点在轴的正半轴上，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，请问有最小值吗？如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的表达式为，
把，代入可得
，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∵将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴；
（3）解：过作于，过作于，过作于，
∵
∴设解析式为，
∴设，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转至的位置，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
整理得：
∴，解得
∴
∵
∴令，整理得
∴在直线上移动，
∴直线与轴交点坐标，与轴交点坐标，
∴，
∴，
过作于，则即为的最小值，
∴，
∴．
∴有最小值，最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；一次函数的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）由A、B两点的坐标可得OA、OB的长度，进而由勾股定理可得AB的长，由翻折性质得OC=CE，OB=BE=8，由线段和差得AC=6-OC，AE=AB-BE=2，在Rt△ACE中，用勾股定理建立方程可求出OC的长，从而得到点C的坐标；
（3）过点G作GE⊥CF于点E，过点E作EN⊥OB于点N，过点G作GM⊥EN于点M，设CF的解析式为y=k(x-2)，则设E（m，km-2k），C（0，-2k），根据两点间的距离公式表示出EN，ON，进而可表示出NF，由旋转的性质得∠CFG=45°，CF=FG，则可得△GEF是等腰直角三角形，则EG=EF，然后由同角的余角相等得∠MEG=∠NFE，由AAS证△GME≌△ENF，由全等三角形的对应边相等得NF=ME=2-m，MG=EN=km-2k，从而可得G（m+km-2k，km-2k+2-m），根据两点间的距离公式由CF=FG，建立方程可解出m的值，将点G的纵坐标减去横坐标可得y=x+2-2m，即点G一定在直线y=x+2-2m上移动，设直线y=x+2-2m与x轴相交于点Q（2m-2，0），与y轴交点坐标为P（0，2-2m），则可得△POQ是等腰直角三角形， 过B作BH⊥GP于H，则BH即为BG的最小值，则△QHB也是等腰直角三角形，进而根据等腰直角三角形的性质即可求出BH的长，从而得出答案.
17．（2024八上·福田期末）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在轴的右侧作正方形AOBC
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，.
①探究发现，点在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式
②若点是线段OB的中点，另一动点在直线BE上，且，请求出点的坐标.
【答案】（1）解：把x=0代入y=-x+4，得y=4，∴点A的坐标为（0，4) ，
把y=0代入y=-x+4，得x=4，∴点B的坐标为（4，0) ；
（2）解：① 点E所在的直线的解析式为；
②连接AE， 由题意可知△ADE为等腰直角三角形， 则 ，
四边形OACB为正方形，
，
， 此时点H与点E重合，
点D是线段OB的中点，
，
点E的坐标为 ，
设直线AE的解析式为y=k x+b， 把A(0，4)， E(6，2) 代入，
，
解得 ，
直线AE的解析式为 ，
当 时， ，
点M的坐标为 ，
作点M关于直线AC 的对称点N， 可得 ，
此时 ， 所以点H为直线AN与BE的交点，
直线AN的解析式为 ，
联立 ，
解得 ，
点H的坐标为 ，
综上所述， 点H的坐标为 或 .
【知识点】正方形的性质；一次函数中的动态几何问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）①过点E作EF⊥x 轴， 垂足为点 F，设点E的坐标为 (x， y)， 则OF=x， EF=y，
，
，
，
，
，
，整理得
点E所在的直线的解析式为；
【分析】（1）分别令直线y=-x+4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，从而可得点A、B的坐标；
（2）①过点E作EF⊥x 轴， 垂足为点 F，设点E的坐标为 (x， y)， 则OF=x， EF=y，由同角的余角相等得∠OAD=∠FDE，从而用AAS判断出△AOD≌△DFE，由全等三角形的对应边相等得OD=EF=y，OA=DF=4，进而根据OF=OD+DF即可求出y关于x的函数解析式，即得出点E所过的定直线；
②连接AE， 由题意可知△ADE为等腰直角三角形，可得点H与点E重合，结合中点定义及点的坐标与图形性质可得点E的坐标；利用待定系数法求出直线AE的解析式，将x=4代入所求的函数解析式算出对应的函数值可得点M的坐标，作点M关于直线AC 的对称点N，可得点N的坐标，从而求出直线AN的解析式，然后联立直线AN与AE的解析式求解即可得出点H的坐标，综上即可得出答案.
四、实践探究题
18．（2023八上·高州月考）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，求一次函数的“不动点”．
（2）若一次函数的“不动点”为，求的值．
（3）若直线与x轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．
【答案】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即解得
一次函数的“不动点”为
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，，又
解得
（3）解：∵直线上没有“不动点”，
∴直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义，列一元二次方程组，解方程组即可求出一次函数的“不动点”；
（2）根据一次函数的性质，将点（2，n-1）代入直线y=x，即可求出n的值；将点（2，n-1）代入直线y=mx+n，可得m和n的关系，将n的值代入等式即可求出m的值；
（3）根据两直线平行，系数相等，可得k的值；根据直线与x轴和y轴的交点性质，可得点A和B的坐标；根据题目中的等量关系，列等式，即可求出点P的坐标.
19．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
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