【精品解析】综合与实践题—广东省（北师版）八（上）数学期末复习

综合与实践题—广东省（北师版）八（上）数学期末复习
阅卷人 一、期末实践与探究题
得分
1．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD=　 　度；
②当∠A=x°时，∠CBD=　 　度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
2．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
3．（2024八上·罗湖期末）我们学移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题.
（1）【图案设计】
如图1，在平面直角坐标系中，，，.
作出关于轴的对称图形，并标注出点，，；
（2）【拓展应用】
如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为　 　.
（3）【实际应用】
如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米 （保留整数）（，）
4．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
5．（2024八上·光明期末）通过一次函数的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质小明想应用这个方法来探究函数的性质下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）列表：
直接填空：　 　．
（2）描点并画出该函数的图象．
（3）观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
　 　；
　 　．
（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点则该函数图象与直线围成的区域内不包括边界整点的个数为　 　．
6．（2024八上·福田期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
7．（2023八上·深圳期中）小明在学习一次函数后，对形如y=k(x-m)+n(其中k，m，n为常数，且k≠0) 的一次函 数图象和性质进行了探究，过程如下：
（1）[特例探究]
如图所示，小明分别画出了函数y=(x-2)+1，y=-(x-2)+1，y=2(x-2)+1的图象(网格中每个小方格边长为1)．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现y=k(x-2)+1(k为常数，且k≠0) 的图象一定会经过的点的坐标是　 　 ；
（2）[深入探究]
归纳：函数y=k(x-m)+n (其中k、m、n为常数，且k≠0)的图象上定会经过的点的坐标是　 　 ；(用含m，n的字母表示)
（3）[实践运用]
已知一次函数y=k(x+2)+3(k为常数，且k≠0)的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若AOMN的面积为4，求k的值．
8．（2023八上·深圳期末）小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究．
（1）在自变量的取值范围内，与y的几组对应值如下表：其中　 　．
0 1 2 3 4 5 6 7 …
y 2 1 0 1 2 3 5 …
（2）在平面直角坐标系中，已知函数y的部分图象如图所示，请补全函数y的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）已知函数的图象与函数y的图像关于y轴对称．
①请在图中画出函数的图象；
②把函数与函数y的图像合称为图象，若点与点均在图象上，则a的值为 ▲ ．
9．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是　 　；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
10．（2024八上·福田期末）综合实践：
素材 如图①所示，、两地相距720千米，地位于、两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地．
素材 月日高铁时刻表 站名到时发时停留A站——09：00——C站11：0011：1010分B站12：10————
1月10日高铁G235时刻表 站名到时发时停留B站——09：00——C站10：3010：355分A站12：35————
问题解决任务1收集信息a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速度是______km/min．任务2建立一次函数模型根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式．任务3解决问题求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不超过200km的当日时刻范围．
11．（2024八上·揭阳期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知，求的值.他们是这样解答的：
即
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）　 　.
（2）化简.
（3）若，求的值.
12．（2024八上·坪山期末）如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市．
（1）请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
（2）如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交于点，
，
又， ▲ ，
②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于 ▲ （从以下四个选项中选择）．
A．左侧B．线段上C．线段上（不含点）D．右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
13．（2023八上·深圳期末）如图
（1）【问题背景】太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB、OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出．
若，则　 　；
（2）【类比发现】如图1、2、3，把呈抛物线的曲面镜改成两平面镜PA、PC，且，点O在的角平分线PQ上，从点O照射到平面镜PA上的光线OB，经过平面镜PA与PC反射若干次．某创新兴趣小组的成员发现，当光线OB和平面镜PA的夹角（记为）与反射的总次数n（n是正整数）满足某种数量关系时，反射光线可以沿着与POQ平行的方向射出．
①当光线OB经过平面镜PA与PC反射n次后，沿POQ平行的方向射出，根据反射的次数，填写下表中角的度数：
经平面镜反射的总次数n 1次 2次 3次
　 　 　 　 　 　
②当光线OB经过平面镜PA与PC反射n次后，沿POQ平行的方向射出，则与n的数量关系为　 　；
（3）【拓展延伸】若两平面镜PA、PC的夹角，其他条件不变．当光线OB经平面镜PA与PC反射n次后，沿着与POQ平行的方向射出时，请直接写出、与n之间的数量关系为　 　．
阅卷人 二、最新实践与探究题
得分
14．（2024八上·深圳期中）小明同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣2|+|x+4|进行了探究，下面是他的探究过程：
（1）已知当x＝﹣4时，|x+4|＝0；当x＝2时，|x﹣2|＝0，化简：
①当x＜﹣4时，y＝ ；
②当﹣4≤x≤2时，y＝ ；
③当x＞2时，y＝ ．
（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，根据图象写出该函数的一条性质： ．
（3）根据上面的探究解决下面问题：
已知P（a，0）是x轴上一动点，A（﹣4，6），B（2，6），则AP+BP的最小值是 ．
15．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积
（2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为.
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积.
16．（2024八上·深圳期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短 （π取3）
素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物.
若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 12+6=18cm. 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是____ cm； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线____（用“一”或“二”填空）.
素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10cm的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的.
（1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 x>y
4 10 x>y
3 a 3 b
（2）填空：表格中a的值是　 　；表格中b表示的大小关系是　 　；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h. 在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等
17．（2024八上·福田期中）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的. 随之，新能源汽车电池的充电状态和行驶过程中电量的消耗成为关注的焦点。
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，八年级某综合实践小组设计两组实验
实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1(%)与时间t(小时)的关系，数据记录如表1.
表1：电池充电状态
时间t(小时) 0.5 1 1.5 2
电量y1(%) 25 50 75 100
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2.
表 2： 汽车行驶过程
已行驶里程s(千米) 0 80 100 140
电量y2 (%) 100 60 50 30
（1）任务一：由表1 可知：每隔0.5小时电池电量增加　 　；
（2）【建立模型】
任务二：结合表1、表2的数据，实验小组发现y1关于t为正比例函数模型，y2关于s为一次函数模型，请求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
（3）【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间
18．（2024八上·深圳期中）某校八年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》项目学习．以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，请你将其补充完整．
为家人选择合适的手机资费套餐活动报告 一、收集信息收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐． 甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计； 乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计． 二、建立模型 1．发现每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为： 甲=， 乙＝　 　（x≥0）． 2．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中A点表示的实际意义是　 　． 3．解决问题根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑，当通话时间　 　时，选择甲套餐更合适；当通话时间　 　时，选择乙套餐更合适．
19．（2024八上·福田期中）某校八年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》项目学习．以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，请你将其补充完整．
为家人选择合适的手机资费套餐活动报告 一、收集信息 收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐． 甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计； 乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计． 二、建立模型 ⑴．发现每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为： ，＝ ▲ （x≥0）． ⑵．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中A点表示的实际意义是 ▲ ． ⑶．解决问题 根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑， 当通话时间 ▲ 时，选择甲套餐更合适； 当通话时间 ▲ 时，选择乙套餐更合适．
20．（2024八上·宝安期中）【项目介绍】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．
【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④．
【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直．小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为？
【驱动任务三】
根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，则成品桌子的高度为多少？
21．（2024八上·深圳期中）思考探究：
【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间折线距离：．
（1）【初步理解】
①已知点，则　 　．
②函数的图象如图1所示，是图象上一点，，则点的坐标是　 　．
（2）【深入探究】
某数学小组研究以下问题：是函数的图象上的一点，当的值最小，求点坐标．
小明同学从函数图象入手展开研究：
①绘制函数图象：
列表：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 5 1 1 3 5 7 …
表格中：　 　；
描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象；
②请写出一条函数的性质：　 　．
（3）观察图象：，已知，求的最小值，并求出取得最小值时点坐标．
22．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
2．【答案】（1）证明：如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示：
∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴
（3）证明：如图所示：
∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和可得，再结合，即可证出；
（2）设，，利用角平分线的定义可得，再利用角的运算即等量代换求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到．
3．【答案】（1）解：如图所示，即为所求
（2）
（3）解：作点关于、的对称点、
连接交、于、即为所示
，，
，
最小周长为
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作点A，B，C关于y轴的对称点D，E，F，连接DE、EF、DF，则△DEF就是所求的图形；
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，则PB＝PB'，所以PA+PB＝PA+PB'＝AB'，此时PA+PB的值最小，即可由A（3，4），B'（1，﹣2），求得AB'2，即可解答；
（3）分别作点G关于直线AB、BC的对称点G1、G2，连接G1、G2分别交AB、BC于点M，N，连接GG1、GG2、BG1、BG2、BG，则GM+GN+MN＝G2M+G1N+MN＝G1G2，此时△GMN的周长最小，可求得∠G1BG2＝∠GBG2+∠GBG1＝2（∠ABG+∠CBG）＝90°，再根据勾股定理求得G1G22028（米），则△GMN的周长最少约28米．
4．【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
5．【答案】（1）
（2）解：描点、连线画出该函数图象如图：
（3）函数有最小值为；当时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小
（4）4
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：(1)当x=1时，y=|1+2|=3，
∴k=3，
故答案为：3；
(3)写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为0，
②当x>-2时，y随着的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为0；当x>-2时，y随着x的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小；
(4)该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为4，
故答案为：4.
【分析】(1)把x =1代入函数关系式进行计算即可；
(2)描点、连线画出函数图象即可；
(3)观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
(4)观察图象即可解答.
6．【答案】解：（1）根据题意，画出图形，如图
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上
设这条直线所对应的函数表达式为
根据题意得：
解得：
∴这条直线所对应的函数表达式为
（3）当时，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米
（4）当时，，解得：
∴供水时间为15小时
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）依据表格中的供水时间和箭尺读数数据，在平面直角坐标系中准确找到对应的坐标点进行描点操作即可；
（2）利用直线函数的一般形式，通过选取两个已知点代入方程来确定k和b的值，进而得到函数表达式，并据此判断这些点是否在同一直线上；
（3）把供水时间值代入已求得的函数表达式中，计算出对应的箭尺读数；
（4）把将给定的箭尺读数代入函数表达式，反求出对应的供水时间，再结合初始时间计算出具体时刻．
7．【答案】（1）(2，1)
（2）(m，n)
（3）将x=-2代入y=k(x+2)+3得y=3，
∴点N坐标为(-2，3)，
将x=0代入y=k(+2)+3得y=2k+3，
∴点M坐标为(0，2k +3)，
∴OM =|2k+3|，
∴S△OMN=OM．|xN|=×2OM=|2k+3|=4，
当2k+3=4时，k=
当2k+3=-4时，k=
∴k的值为或
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系中图三个函数图象的交点，即可知道 y=k(x-2)+1(k为常数，且k≠0) 的图象一定会经过的点的坐标 ；
（2）依据规律可以直接写出函数y=k(x-m)+n (其中k、m、n为常数，且k≠0)的图象上定会经过的点的坐标；
（3）根据（2）中的结论可知一次函数y=k(x+2)+3(k为常数，且k≠0)的图象一定会经过点N，点N的坐标为（-2，3）；一次函数与y轴的交点可知交点M的横坐标为0，将其代入一次函数可以求出点M的坐标；根据三角形的面积公式可以求出|2k+3|=4；最后根据绝对值的性质求出k的值.
8．【答案】（1）4
（2）解：补全函数图象如下所示：
；
当时，y随x的增大而增大．
（3）解：画出函数的图象如下所示：
；
或或．
【知识点】一次函数的图象；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）解：当时，（），
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）解：补全函数图象如下所示：
根据图象分析可知：当时，随的增大而增大；
（3）画出函数的图象如下所示：
解：∵与都在图象上，
，的纵坐标相等，
则分三种情况：
①，关于y轴对称，
∴，
∴，
②，关于轴对称，
∴，
∴，
③，关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【分析】本题考查一次函数的图象，分段函数．
（1）将点代入可求出m的值；
（2）直接根据表格描点连线画出图象，观察图象可知当时，直线上升，据此可得：当时，随的增大而增大；
（3）①根据找出原图上点 关于y轴对称的对称点，连接即可；②根据与都在图象上，可知，的纵坐标相等，分三种情况讨论：①，关于y轴对称；②，关于轴对称；③，关于轴对称，分别列出三个方程，解方程可求出答案．
9．【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
10．【答案】解：任务：；；
任务：设高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为，
∵过点，，
∴，
解得，
∴
任务：设从站到站的函数解析式 ()，
∵过点，，
∴，
解得，
∴，
由，
解得，
∵出发，
∴时分秒相遇，
假设在未到达地时，两车相距千米，
∴两车相距的路程等于离开地的距离离地的距离，
∴，
解得，不符合题意；
在在车站停留时两车相距，即离开站，
，
解得，不符合题意；
设从站到站的函数解析式()，
∵过点，，
∴，
解得，
∴，
两车相距千米，甲乙两车离开地的距离之和为，
，
解得，
分小时分 ，
∴对应的时刻为：时分秒，
∴月日、两列高铁在相遇后两车之间距离不超过的当日时刻范围在时分秒到时分秒．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：任务：在站停留分钟，
∴用于行驶的时间为分，
∵两地相距千米，
∴的速度为：(千米/分)，
∵走到地用了分，
∴距地的距离为(千米)，
即，
∴离地的距离为(千米)，
即，
故答案为：【第一空】
【第二空】
【第三空】；
【分析】任务：依据素材二可知从A地到B地行驶了3小时，所以路程、时间、速度之间的关系可求出的速度，同时分析图像可知坐标系表示的高铁与C地的距离y和时间x的关系，从而得知A地走到地用了分钟，所以距地的距离为，所以离地的距离为总路程减去AC的距离，即240km；
任务：依据（1）中分析，利用待定系数法即可求解出对应函数关系式；
任务：利用待定系数法求出从站到站的函数解析式，结合（2）中所得关系式可得两车相遇时间， 再依据未到达地时，两车相距千米，在车站停留时两车相距两种情况进行分析，得出具体时间，再求出从站到站的函数解析式，计算两车相距200千米，甲乙两车离开地的距离之和为200，可得出具体时间；
11．【答案】（1）
（2）原式
（3）
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+7
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+7
＝a2×1﹣4a+7
＝a2﹣4a+7
＝1+7
＝8，
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）.故答案为：.
【分析】（1）把分子分母同乘即可；
（2）先分母有理化可得，再合并计算即可；
（3）分母有理化可得a=+2，从而得出a2﹣4a＝1，再将原式化为＝a2（a2﹣4a）﹣4a+7，然后整体代入计算即可.
12．【答案】（1）解：如图所示，
∴，
∴的长度即为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）①；
②B；
③如图所示，过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴最短路程为300米．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（2）证明：①如图4，延长交于点，，，
，
又，，
，
；
故答案为：；
②如图所示，作点A关于l的对称点，
∴，，
由①中证明的结论可得，
，
∴超市的位置应位于线段上，
故答案为：B；
【分析】（1）作点A关于l的对称点，然后连接交l于点P，即为所求，得到的长度即为的最小值，过点作交的延长线于点C，可得，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①根据三角形两边之和大于第三边求解即可；
②作点A关于l的对称点，然后根据①中证明的结论，即可得解；
③过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作，然后表示出相应线段的长度，然后利用勾股定理求解即可．
13．【答案】（1）90
（2）15°；45°；75°；
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；轴对称的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，点O在的角平分线上，
∴
如图1，
∵
∴
∴，即；
如图2，
∵
∴
∴
∴
∴；
如图3
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
故答案为：，，；
当时，
当时，
当时，
∴与n的数量关系为：，
故答案为：；
（3）由上面的结论可得，
当两平面镜的夹角时，
．
故答案为：.
【分析】本题考查角平分线的概念，平行线的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，据此可列出式子，代入数据可求出答案；
（2）先根据角平分线的概念先求出，然后结合镜面反射的特点和三角形外角的性质：三角形内角的外角等于不相邻两个内角的和，平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，结合图形进行角的运算可求出答案；分别求出当时，当时，当时，的值，进而猜想出与n的数量关系为：，
（3）根据（2）中的结论可得：，化简式子可求出答案.
14．【答案】解：（1）①﹣2﹣2x；
②6；
③2x+2；
（2）该函数的最小值为6（不唯一）；
（3）
【知识点】勾股定理；实数的绝对值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣4时|x+4|＝0，x＝2时|x﹣2|＝0，
①当x＜﹣4时，x+4<0，x－2<0，∴y＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2﹣2x；
②当﹣4≤x≤2时，x+4>0，x－2<0，∴y＝2﹣x+x+4＝6；
③当x＞2时，x+4>0，x－2>0，∴y＝x﹣2+x+4＝2x+2；
故答案为：﹣2﹣2x；6；2x+2．
（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，如图所示：
根据图象，该函数的最小值为6.
故答案为：该函数的最小值为6.
（3）作点A关于 轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于P点，如图：
此时AP+BP=A'P+BP的值最小，为A'B的长.
根据上面的探究可知：点A的坐标为（-4，6），B（2，6），则点（-4，-6），
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】（1）根据已知条件先判断出x+4和x－2的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可；
（2）画出函数图象，即可确定函数的一条性质，可以是对称性，最值，增减性等；
（3）作点A关于 轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于P点时，AP+BP有最小值．
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，
，，，
∴中最长边的长度为；
∵，，
∴，
∵，三角形的边为正数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值，
∴，，，
∴
，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入计算即可；
（2）①将x的值分别代入计算并比较大小即可；
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入计算即可.
16．【答案】（1）15；二
（2）9；x＜y
（3）解：根据题意可得 ，
即 ，
故当 时， 蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等.
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为πd＝×3×6＝9，
此时最短路程是＝15cm，
∵15＜18，
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为：15，二.
（2）a＝3＋6＝9，
∵9＜，
表格中b表示的大小关系是x＜y，
故答案为：9，x＜y.
【分析】（1）将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径即可；
（2）利用估算无理数大小的方法求解并比较大小即可；
（3）参照（1）的计算方法可得，再求出即可得到蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等.
17．【答案】（1）25%
（2）由表格可知两个函数均为一次函数， 设 ，
对于 ， 当 时， ，
当 时， ， ，
解得： ，
对于 ， 当 时， ，
当 时， ，
， 解得： ，
（3），
当 时， ；
到达目的地， 还需要 (千米)，
还需消耗电量 ，
至少需充电 65-40 ，
当 时， ，
，
即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地， 则至少要在服务区充电 0.5 小时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为；
【分析】本题考查一次函数的实际应用．
任务一：由表格（1），可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为，可得出答案；
任务二：由表格可知，两个函数均为一次函数，设 ，将点当 时， ， 当 时， 代入可列出方程组，解方程组可求出，据此可求出y1关于t的函数表达式；同理将点当 时， ， 当 时， ，代入可列出方程组，解方程组可求出，据此可求出y2关于t的函数表达式；
任务三：先求出行驶3小时，消耗的电量，再求出到达目的地所需的最小电量，再求出还需消耗电量，进而可求出至少需充电的时间，据此可求出答案．
18．【答案】；；当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．；小于190分钟，大于190分钟．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：当时，；
；
故答案为：，；
由函数图象可知，图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．
故答案为：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．
借助图象可以知道小于190分钟，选择甲套餐更合适；当通话时间大于190分钟时，选择乙套餐更合适．
故答案为：小于190分钟，大于190分钟．
【分析】本题考查一次函数的应用，建立一次函数模型．
1.根据甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；可列出式子，再进行化简可求出答案；根据乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．可列出式子.
2.观察图形可得图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．据此可得答案；
3.观察图形可得图象可以知道小于190分钟，选择甲套餐更合适；当通话时间大于190分钟时，选择乙套餐更合适．进而可得答案.
19．【答案】（1）0.25x+0.5，0.1x+29；
（2）当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
（3）小于190分钟，大于190分钟．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）根据甲套餐的描述可得：，
当x＞30时，函数关系为y＝8+0.25（x﹣30），
化简得：y＝0.25x+0.5
根据乙套餐的描述可得：y乙＝0.1x+29（x≥0）；
故答案为：0.25x+0.5，0.1x+29；
（2）由图象可知，图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
故答案为：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
（3）解决问题，利用函数图象可知，
当通话时间小于190分钟时，甲的函数图象在乙函数图象的下方，此时选择甲套餐更合适；当通话时间大于190分钟时，甲的函数图象在乙函数图象的上方，此时选择乙套餐更合适．
故答案为：小于190分钟，大于190分钟．
【分析】（1）根据题干中的收费方案分别列出函数解析式即可；
（2）结合函数图象可直接得到它的实际意义；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．【答案】解：驱动任务二：，
重新调整打孔位置后榫眼离B点距离为，
∴将榫眼外移距离为：；
驱动任务三：∵正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，
∴，
∴，
解得：．
∴成品桌子的高度为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】驱动任务二：先利用勾股定理求出BD的长和BD的长，再利用线段的和差求出将榫眼外移距离即可；
驱动任务三：利用勾股定理可得，再求出AB的长即可.
21．【答案】（1）3；（1，2）
（2）3；函数图象关于直线 x=3对称
（3）当时，函数为，设点的坐标为，
令，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，不存在最小值；
当时，，
即当x=2时，最小为；
当时，函数为，设点的坐标为，
令，则，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，
不存在最小值；
综上所述，的最小值为，这时点坐标为．
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：初步理解：
①，
故答案为：；
② 设，
∵，
，
解得
∴，
故答案为： ；
深入探究：（2）当时，；
故答案为：；
如图，在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）函数的性质：关于直线对称，
【分析】本题考查新定义，定义的运算法则，一次函数的图象和性质
初步理解：（1） ① 直接利用新定义可得：，再利用绝对值的意义进行计算可求出答案；
② 设，根据定义可得方程，解方程可求出x的值，据此可求出点B的坐标；
深入探究：（2） ① 把代入计算，可求出m值，再进行描点画图可得答案；
② 观察图形可得函数图象关于直线 x=3对称，据此可得答案；
（3）分为两种情况：时，函数解析式为和时，函数解析式为，设点的坐标为，根据题意列出方程，求出x的值，再进行分类讨论，进而可求出，再利用一次函数的性质求出最小值，据此可求出答案.
22．【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
1 / 1综合与实践题—广东省（北师版）八（上）数学期末复习
阅卷人 一、期末实践与探究题
得分
1．（2023八上·江城期中）[问题情境]
在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD=　 　度；
②当∠A=x°时，∠CBD=　 　度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
2．（2024八上·揭阳期末）
（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分，平分的外角，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示：
∵分别平分，设，，
则有，
∴，
∴
（3）证明：如图所示：
∵直线平分平分的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和可得，再结合，即可证出；
（2）设，，利用角平分线的定义可得，再利用角的运算即等量代换求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到．
3．（2024八上·罗湖期末）我们学移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题.
（1）【图案设计】
如图1，在平面直角坐标系中，，，.
作出关于轴的对称图形，并标注出点，，；
（2）【拓展应用】
如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为　 　.
（3）【实际应用】
如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米 （保留整数）（，）
【答案】（1）解：如图所示，即为所求
（2）
（3）解：作点关于、的对称点、
连接交、于、即为所示
，，
，
最小周长为
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）分别作点A，B，C关于y轴的对称点D，E，F，连接DE、EF、DF，则△DEF就是所求的图形；
（2）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，则PB＝PB'，所以PA+PB＝PA+PB'＝AB'，此时PA+PB的值最小，即可由A（3，4），B'（1，﹣2），求得AB'2，即可解答；
（3）分别作点G关于直线AB、BC的对称点G1、G2，连接G1、G2分别交AB、BC于点M，N，连接GG1、GG2、BG1、BG2、BG，则GM+GN+MN＝G2M+G1N+MN＝G1G2，此时△GMN的周长最小，可求得∠G1BG2＝∠GBG2+∠GBG1＝2（∠ABG+∠CBG）＝90°，再根据勾股定理求得G1G22028（米），则△GMN的周长最少约28米．
4．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中　 　，猜想得到与、的数量关系为　 　；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
5．（2024八上·光明期末）通过一次函数的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质小明想应用这个方法来探究函数的性质下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）列表：
直接填空：　 　．
（2）描点并画出该函数的图象．
（3）观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
　 　；
　 　．
（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点则该函数图象与直线围成的区域内不包括边界整点的个数为　 　．
【答案】（1）
（2）解：描点、连线画出该函数图象如图：
（3）函数有最小值为；当时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小
（4）4
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：(1)当x=1时，y=|1+2|=3，
∴k=3，
故答案为：3；
(3)写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为0，
②当x>-2时，y随着的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为0；当x>-2时，y随着x的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小；
(4)该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为4，
故答案为：4.
【分析】(1)把x =1代入函数关系式进行计算即可；
(2)描点、连线画出函数图象即可；
(3)观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
(4)观察图象即可解答.
6．（2024八上·福田期末）刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时） 0 1 2 3 4
箭尺读数y（厘米） 6 12 18 24 30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
【答案】解：（1）根据题意，画出图形，如图
（2）观察上述各点的分布规律，得它们在同一条直线上
设这条直线所对应的函数表达式为
根据题意得：
解得：
∴这条直线所对应的函数表达式为
（3）当时，
∴供水时间达到10小时时，箭尺的读数为66厘米
（4）当时，，解得：
∴供水时间为15小时
∵本次实验记录的开始时间是上午，
∴当箭尺读数为96厘米时是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）依据表格中的供水时间和箭尺读数数据，在平面直角坐标系中准确找到对应的坐标点进行描点操作即可；
（2）利用直线函数的一般形式，通过选取两个已知点代入方程来确定k和b的值，进而得到函数表达式，并据此判断这些点是否在同一直线上；
（3）把供水时间值代入已求得的函数表达式中，计算出对应的箭尺读数；
（4）把将给定的箭尺读数代入函数表达式，反求出对应的供水时间，再结合初始时间计算出具体时刻．
7．（2023八上·深圳期中）小明在学习一次函数后，对形如y=k(x-m)+n(其中k，m，n为常数，且k≠0) 的一次函 数图象和性质进行了探究，过程如下：
（1）[特例探究]
如图所示，小明分别画出了函数y=(x-2)+1，y=-(x-2)+1，y=2(x-2)+1的图象(网格中每个小方格边长为1)．通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现y=k(x-2)+1(k为常数，且k≠0) 的图象一定会经过的点的坐标是　 　 ；
（2）[深入探究]
归纳：函数y=k(x-m)+n (其中k、m、n为常数，且k≠0)的图象上定会经过的点的坐标是　 　 ；(用含m，n的字母表示)
（3）[实践运用]
已知一次函数y=k(x+2)+3(k为常数，且k≠0)的图象一定会经过点N，且与y轴相交于点M，点O为坐标原点，若AOMN的面积为4，求k的值．
【答案】（1）(2，1)
（2）(m，n)
（3）将x=-2代入y=k(x+2)+3得y=3，
∴点N坐标为(-2，3)，
将x=0代入y=k(+2)+3得y=2k+3，
∴点M坐标为(0，2k +3)，
∴OM =|2k+3|，
∴S△OMN=OM．|xN|=×2OM=|2k+3|=4，
当2k+3=4时，k=
当2k+3=-4时，k=
∴k的值为或
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据直角坐标系中图三个函数图象的交点，即可知道 y=k(x-2)+1(k为常数，且k≠0) 的图象一定会经过的点的坐标 ；
（2）依据规律可以直接写出函数y=k(x-m)+n (其中k、m、n为常数，且k≠0)的图象上定会经过的点的坐标；
（3）根据（2）中的结论可知一次函数y=k(x+2)+3(k为常数，且k≠0)的图象一定会经过点N，点N的坐标为（-2，3）；一次函数与y轴的交点可知交点M的横坐标为0，将其代入一次函数可以求出点M的坐标；根据三角形的面积公式可以求出|2k+3|=4；最后根据绝对值的性质求出k的值.
8．（2023八上·深圳期末）小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究．
（1）在自变量的取值范围内，与y的几组对应值如下表：其中　 　．
0 1 2 3 4 5 6 7 …
y 2 1 0 1 2 3 5 …
（2）在平面直角坐标系中，已知函数y的部分图象如图所示，请补全函数y的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ▲ ；
（3）已知函数的图象与函数y的图像关于y轴对称．
①请在图中画出函数的图象；
②把函数与函数y的图像合称为图象，若点与点均在图象上，则a的值为 ▲ ．
【答案】（1）4
（2）解：补全函数图象如下所示：
；
当时，y随x的增大而增大．
（3）解：画出函数的图象如下所示：
；
或或．
【知识点】一次函数的图象；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（1）解：当时，（），
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）解：补全函数图象如下所示：
根据图象分析可知：当时，随的增大而增大；
（3）画出函数的图象如下所示：
解：∵与都在图象上，
，的纵坐标相等，
则分三种情况：
①，关于y轴对称，
∴，
∴，
②，关于轴对称，
∴，
∴，
③，关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【分析】本题考查一次函数的图象，分段函数．
（1）将点代入可求出m的值；
（2）直接根据表格描点连线画出图象，观察图象可知当时，直线上升，据此可得：当时，随的增大而增大；
（3）①根据找出原图上点 关于y轴对称的对称点，连接即可；②根据与都在图象上，可知，的纵坐标相等，分三种情况讨论：①，关于y轴对称；②，关于轴对称；③，关于轴对称，分别列出三个方程，解方程可求出答案．
9．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是　 　；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
10．（2024八上·福田期末）综合实践：
素材 如图①所示，、两地相距720千米，地位于、两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地．
素材 月日高铁时刻表 站名到时发时停留A站——09：00——C站11：0011：1010分B站12：10————
1月10日高铁G235时刻表 站名到时发时停留B站——09：00——C站10：3010：355分A站12：35————
问题解决任务1收集信息a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速度是______km/min．任务2建立一次函数模型根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式．任务3解决问题求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不超过200km的当日时刻范围．
【答案】解：任务：；；
任务：设高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为，
∵过点，，
∴，
解得，
∴
任务：设从站到站的函数解析式 ()，
∵过点，，
∴，
解得，
∴，
由，
解得，
∵出发，
∴时分秒相遇，
假设在未到达地时，两车相距千米，
∴两车相距的路程等于离开地的距离离地的距离，
∴，
解得，不符合题意；
在在车站停留时两车相距，即离开站，
，
解得，不符合题意；
设从站到站的函数解析式()，
∵过点，，
∴，
解得，
∴，
两车相距千米，甲乙两车离开地的距离之和为，
，
解得，
分小时分 ，
∴对应的时刻为：时分秒，
∴月日、两列高铁在相遇后两车之间距离不超过的当日时刻范围在时分秒到时分秒．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：任务：在站停留分钟，
∴用于行驶的时间为分，
∵两地相距千米，
∴的速度为：(千米/分)，
∵走到地用了分，
∴距地的距离为(千米)，
即，
∴离地的距离为(千米)，
即，
故答案为：【第一空】
【第二空】
【第三空】；
【分析】任务：依据素材二可知从A地到B地行驶了3小时，所以路程、时间、速度之间的关系可求出的速度，同时分析图像可知坐标系表示的高铁与C地的距离y和时间x的关系，从而得知A地走到地用了分钟，所以距地的距离为，所以离地的距离为总路程减去AC的距离，即240km；
任务：依据（1）中分析，利用待定系数法即可求解出对应函数关系式；
任务：利用待定系数法求出从站到站的函数解析式，结合（2）中所得关系式可得两车相遇时间， 再依据未到达地时，两车相距千米，在车站停留时两车相距两种情况进行分析，得出具体时间，再求出从站到站的函数解析式，计算两车相距200千米，甲乙两车离开地的距离之和为200，可得出具体时间；
11．（2024八上·揭阳期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知，求的值.他们是这样解答的：
即
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）　 　.
（2）化简.
（3）若，求的值.
【答案】（1）
（2）原式
（3）
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+7
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+7
＝a2×1﹣4a+7
＝a2﹣4a+7
＝1+7
＝8，
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）.故答案为：.
【分析】（1）把分子分母同乘即可；
（2）先分母有理化可得，再合并计算即可；
（3）分母有理化可得a=+2，从而得出a2﹣4a＝1，再将原式化为＝a2（a2﹣4a）﹣4a+7，然后整体代入计算即可.
12．（2024八上·坪山期末）如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市．
（1）请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
（2）如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交于点，
，
又， ▲ ，
②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于 ▲ （从以下四个选项中选择）．
A．左侧B．线段上C．线段上（不含点）D．右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
【答案】（1）解：如图所示，
∴，
∴的长度即为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）①；
②B；
③如图所示，过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴最短路程为300米．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（2）证明：①如图4，延长交于点，，，
，
又，，
，
；
故答案为：；
②如图所示，作点A关于l的对称点，
∴，，
由①中证明的结论可得，
，
∴超市的位置应位于线段上，
故答案为：B；
【分析】（1）作点A关于l的对称点，然后连接交l于点P，即为所求，得到的长度即为的最小值，过点作交的延长线于点C，可得，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①根据三角形两边之和大于第三边求解即可；
②作点A关于l的对称点，然后根据①中证明的结论，即可得解；
③过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作，然后表示出相应线段的长度，然后利用勾股定理求解即可．
13．（2023八上·深圳期末）如图
（1）【问题背景】太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB、OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出．
若，则　 　；
（2）【类比发现】如图1、2、3，把呈抛物线的曲面镜改成两平面镜PA、PC，且，点O在的角平分线PQ上，从点O照射到平面镜PA上的光线OB，经过平面镜PA与PC反射若干次．某创新兴趣小组的成员发现，当光线OB和平面镜PA的夹角（记为）与反射的总次数n（n是正整数）满足某种数量关系时，反射光线可以沿着与POQ平行的方向射出．
①当光线OB经过平面镜PA与PC反射n次后，沿POQ平行的方向射出，根据反射的次数，填写下表中角的度数：
经平面镜反射的总次数n 1次 2次 3次
　 　 　 　 　 　
②当光线OB经过平面镜PA与PC反射n次后，沿POQ平行的方向射出，则与n的数量关系为　 　；
（3）【拓展延伸】若两平面镜PA、PC的夹角，其他条件不变．当光线OB经平面镜PA与PC反射n次后，沿着与POQ平行的方向射出时，请直接写出、与n之间的数量关系为　 　．
【答案】（1）90
（2）15°；45°；75°；
（3）
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；轴对称的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，点O在的角平分线上，
∴
如图1，
∵
∴
∴，即；
如图2，
∵
∴
∴
∴
∴；
如图3
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
故答案为：，，；
当时，
当时，
当时，
∴与n的数量关系为：，
故答案为：；
（3）由上面的结论可得，
当两平面镜的夹角时，
．
故答案为：.
【分析】本题考查角平分线的概念，平行线的性质，轴对称的性质，三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，据此可列出式子，代入数据可求出答案；
（2）先根据角平分线的概念先求出，然后结合镜面反射的特点和三角形外角的性质：三角形内角的外角等于不相邻两个内角的和，平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，结合图形进行角的运算可求出答案；分别求出当时，当时，当时，的值，进而猜想出与n的数量关系为：，
（3）根据（2）中的结论可得：，化简式子可求出答案.
阅卷人 二、最新实践与探究题
得分
14．（2024八上·深圳期中）小明同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣2|+|x+4|进行了探究，下面是他的探究过程：
（1）已知当x＝﹣4时，|x+4|＝0；当x＝2时，|x﹣2|＝0，化简：
①当x＜﹣4时，y＝ ；
②当﹣4≤x≤2时，y＝ ；
③当x＞2时，y＝ ．
（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，根据图象写出该函数的一条性质： ．
（3）根据上面的探究解决下面问题：
已知P（a，0）是x轴上一动点，A（﹣4，6），B（2，6），则AP+BP的最小值是 ．
【答案】解：（1）①﹣2﹣2x；
②6；
③2x+2；
（2）该函数的最小值为6（不唯一）；
（3）
【知识点】勾股定理；实数的绝对值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵x＝﹣4时|x+4|＝0，x＝2时|x﹣2|＝0，
①当x＜﹣4时，x+4<0，x－2<0，∴y＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2﹣2x；
②当﹣4≤x≤2时，x+4>0，x－2<0，∴y＝2﹣x+x+4＝6；
③当x＞2时，x+4>0，x－2>0，∴y＝x﹣2+x+4＝2x+2；
故答案为：﹣2﹣2x；6；2x+2．
（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，如图所示：
根据图象，该函数的最小值为6.
故答案为：该函数的最小值为6.
（3）作点A关于 轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于P点，如图：
此时AP+BP=A'P+BP的值最小，为A'B的长.
根据上面的探究可知：点A的坐标为（-4，6），B（2，6），则点（-4，-6），
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】（1）根据已知条件先判断出x+4和x－2的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可；
（2）画出函数图象，即可确定函数的一条性质，可以是对称性，最值，增减性等；
（3）作点A关于 轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于P点时，AP+BP有最小值．
15．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积
（2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为.
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，
，，，
∴中最长边的长度为；
∵，，
∴，
∵，三角形的边为正数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值，
∴，，，
∴
，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入计算即可；
（2）①将x的值分别代入计算并比较大小即可；
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入计算即可.
16．（2024八上·深圳期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短 （π取3）
素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物.
若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 12+6=18cm. 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是____ cm； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线____（用“一”或“二”填空）.
素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10cm的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的.
（1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 x>y
4 10 x>y
3 a 3 b
（2）填空：表格中a的值是　 　；表格中b表示的大小关系是　 　；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h. 在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等
【答案】（1）15；二
（2）9；x＜y
（3）解：根据题意可得 ，
即 ，
故当 时， 蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等.
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为πd＝×3×6＝9，
此时最短路程是＝15cm，
∵15＜18，
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为：15，二.
（2）a＝3＋6＝9，
∵9＜，
表格中b表示的大小关系是x＜y，
故答案为：9，x＜y.
【分析】（1）将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径即可；
（2）利用估算无理数大小的方法求解并比较大小即可；
（3）参照（1）的计算方法可得，再求出即可得到蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等.
17．（2024八上·福田期中）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的. 随之，新能源汽车电池的充电状态和行驶过程中电量的消耗成为关注的焦点。
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，八年级某综合实践小组设计两组实验
实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1(%)与时间t(小时)的关系，数据记录如表1.
表1：电池充电状态
时间t(小时) 0.5 1 1.5 2
电量y1(%) 25 50 75 100
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2.
表 2： 汽车行驶过程
已行驶里程s(千米) 0 80 100 140
电量y2 (%) 100 60 50 30
（1）任务一：由表1 可知：每隔0.5小时电池电量增加　 　；
（2）【建立模型】
任务二：结合表1、表2的数据，实验小组发现y1关于t为正比例函数模型，y2关于s为一次函数模型，请求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式；
（3）【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间
【答案】（1）25%
（2）由表格可知两个函数均为一次函数， 设 ，
对于 ， 当 时， ，
当 时， ， ，
解得： ，
对于 ， 当 时， ，
当 时， ，
， 解得： ，
（3），
当 时， ；
到达目的地， 还需要 (千米)，
还需消耗电量 ，
至少需充电 65-40 ，
当 时， ，
，
即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地， 则至少要在服务区充电 0.5 小时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】
解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为；
【分析】本题考查一次函数的实际应用．
任务一：由表格（1），可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为，可得出答案；
任务二：由表格可知，两个函数均为一次函数，设 ，将点当 时， ， 当 时， 代入可列出方程组，解方程组可求出，据此可求出y1关于t的函数表达式；同理将点当 时， ， 当 时， ，代入可列出方程组，解方程组可求出，据此可求出y2关于t的函数表达式；
任务三：先求出行驶3小时，消耗的电量，再求出到达目的地所需的最小电量，再求出还需消耗电量，进而可求出至少需充电的时间，据此可求出答案．
18．（2024八上·深圳期中）某校八年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》项目学习．以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，请你将其补充完整．
为家人选择合适的手机资费套餐活动报告 一、收集信息收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐． 甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计； 乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计． 二、建立模型 1．发现每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为： 甲=， 乙＝　 　（x≥0）． 2．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中A点表示的实际意义是　 　． 3．解决问题根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑，当通话时间　 　时，选择甲套餐更合适；当通话时间　 　时，选择乙套餐更合适．
【答案】；；当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．；小于190分钟，大于190分钟．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：当时，；
；
故答案为：，；
由函数图象可知，图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．
故答案为：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．
借助图象可以知道小于190分钟，选择甲套餐更合适；当通话时间大于190分钟时，选择乙套餐更合适．
故答案为：小于190分钟，大于190分钟．
【分析】本题考查一次函数的应用，建立一次函数模型．
1.根据甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；可列出式子，再进行化简可求出答案；根据乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．可列出式子.
2.观察图形可得图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元．据此可得答案；
3.观察图形可得图象可以知道小于190分钟，选择甲套餐更合适；当通话时间大于190分钟时，选择乙套餐更合适．进而可得答案.
19．（2024八上·福田期中）某校八年级开展了《为家人选择合适的手机资费套餐》项目学习．以下是小露同学帮奶奶选择手机资费套餐的活动报告，请你将其补充完整．
为家人选择合适的手机资费套餐活动报告 一、收集信息 收集并整理奶奶近六个月的话费账单，发现她使用流量和短信极少，故忽略流量和短信情况进行研究．根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机资费套餐． 甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计； 乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计． 二、建立模型 ⑴．发现每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为： ，＝ ▲ （x≥0）． ⑵．为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．图中A点表示的实际意义是 ▲ ． ⑶．解决问题 根据图象可知：如果从节省费用的角度考虑， 当通话时间 ▲ 时，选择甲套餐更合适； 当通话时间 ▲ 时，选择乙套餐更合适．
【答案】（1）0.25x+0.5，0.1x+29；
（2）当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
（3）小于190分钟，大于190分钟．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）根据甲套餐的描述可得：，
当x＞30时，函数关系为y＝8+0.25（x﹣30），
化简得：y＝0.25x+0.5
根据乙套餐的描述可得：y乙＝0.1x+29（x≥0）；
故答案为：0.25x+0.5，0.1x+29；
（2）由图象可知，图中A点表示的实际意义是：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
故答案为：当通话时间为190分钟时，两种套餐每月的缴费都是48元；
（3）解决问题，利用函数图象可知，
当通话时间小于190分钟时，甲的函数图象在乙函数图象的下方，此时选择甲套餐更合适；当通话时间大于190分钟时，甲的函数图象在乙函数图象的上方，此时选择乙套餐更合适．
故答案为：小于190分钟，大于190分钟．
【分析】（1）根据题干中的收费方案分别列出函数解析式即可；
（2）结合函数图象可直接得到它的实际意义；
（3）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
20．（2024八上·宝安期中）【项目介绍】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．
【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④．
【驱动任务二】如图⑤，若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直．小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移多少时可将凳高调整为？
【驱动任务三】
根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，则成品桌子的高度为多少？
【答案】解：驱动任务二：，
重新调整打孔位置后榫眼离B点距离为，
∴将榫眼外移距离为：；
驱动任务三：∵正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成和，
∴，
∴，
解得：．
∴成品桌子的高度为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】驱动任务二：先利用勾股定理求出BD的长和BD的长，再利用线段的和差求出将榫眼外移距离即可；
驱动任务三：利用勾股定理可得，再求出AB的长即可.
21．（2024八上·深圳期中）思考探究：
【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间折线距离：．
（1）【初步理解】
①已知点，则　 　．
②函数的图象如图1所示，是图象上一点，，则点的坐标是　 　．
（2）【深入探究】
某数学小组研究以下问题：是函数的图象上的一点，当的值最小，求点坐标．
小明同学从函数图象入手展开研究：
①绘制函数图象：
列表：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 5 1 1 3 5 7 …
表格中：　 　；
描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象；
②请写出一条函数的性质：　 　．
（3）观察图象：，已知，求的最小值，并求出取得最小值时点坐标．
【答案】（1）3；（1，2）
（2）3；函数图象关于直线 x=3对称
（3）当时，函数为，设点的坐标为，
令，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，不存在最小值；
当时，，
即当x=2时，最小为；
当时，函数为，设点的坐标为，
令，则，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，
不存在最小值；
综上所述，的最小值为，这时点坐标为．
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：初步理解：
①，
故答案为：；
② 设，
∵，
，
解得
∴，
故答案为： ；
深入探究：（2）当时，；
故答案为：；
如图，在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）函数的性质：关于直线对称，
【分析】本题考查新定义，定义的运算法则，一次函数的图象和性质
初步理解：（1） ① 直接利用新定义可得：，再利用绝对值的意义进行计算可求出答案；
② 设，根据定义可得方程，解方程可求出x的值，据此可求出点B的坐标；
深入探究：（2） ① 把代入计算，可求出m值，再进行描点画图可得答案；
② 观察图形可得函数图象关于直线 x=3对称，据此可得答案；
（3）分为两种情况：时，函数解析式为和时，函数解析式为，设点的坐标为，根据题意列出方程，求出x的值，再进行分类讨论，进而可求出，再利用一次函数的性质求出最小值，据此可求出答案.
22．（2024八上·深圳期中）根据如表素材，探索完成任务．
背景 深圳某学校在组织开展知识竞赛活动，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元：若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．则其中 B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，由题意得：
，
解得：，
答：每杯款奶茶10元，每杯款奶茶12元.
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，由题意得：，
整理得：，
、均为正整数，
∴或或，
有3种购买方案；
任务3：∵奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），
设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶共买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，故款加料的奶茶买了杯，即杯，由题意得：
，
整理得：，
、、均为正整数，
（杯），
答：款加料的奶茶买了3杯．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设每杯款奶茶元，每杯款奶茶元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
任务2：设购买种款式的奶茶杯，购买种款式的奶茶杯，根据题意列出二元一次方程，整理得，可得(m+2)是6的倍数，据此即可确定正整数m和n的值；
任务3：由题意得：奶茶加料后，每杯A款奶茶10+2=12（元），每杯B款奶茶12+2=14（元），设小华购买的奶茶中，款不加料的奶茶买了杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶买了杯，则总奶茶杯数为3a杯，款加料的奶茶买了杯，即杯，根据题意列出二元一次方程，求解即可．
1 / 1