新定义型—广东省（北师版）八（上）数学期末复习
一、填空题
1．（2024八上·深圳期中）对于两个实数a，b（其中），定义一种新运算： 如：那么 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
2．（2024八上·电白期末）我们给出定义：若三角形中一个内角是另一个内角的三分之一，我们称这个三角形是“分角三角形”，其中称为“分角”.已知一个“分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“分角三角形”中分角的度数是 .
【答案】20°或30°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得，α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，解得：α＝30°，
即分角α的度数是20°或30°，
故答案为：20°或30°．
【分析】利用“分角三角形”的定义可得α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，再求出α的值即可.
3．（2024八上·化州期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ．
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：4.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再参照题干中的定义及计算方法分析求解即可.
4．（2024八上·宝安期中）已知是的函数：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的"姐妹点".例如：直线上存在的"姐妹点".直线上的"姐妹点"的坐标是
【答案】（2，-1）
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是M（m，n）
则m＋n＝1，
∴n＝1-m，
∴M（m，1-m），
∵点M是直线上的“姐妹点”，
∴1-m＝，
∴m＝2，
∴点M（2，-1），
故答案为：（2，-1）．
【分析】先求出点M（m，1-m），再将其代入可得1-m＝，求出m的值，即可得到点M的坐标.
二、综合题
5．（2024八上·深圳期中）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图1，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于轴的直线记为直线．
（1）已知点，，
①线段的“轴距” ；
②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距” ；
（2）已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，求的值．
【答案】（1）解：①如图1，
∵线段上点B到x轴的距离最大，B（2，4），
∴；
②∵，，
∴A，B关于直线的对称点坐标为，，如图2，
∵线段上点C到x轴的距离最大，
∴；
（2）解：∵，，
∴E，F关于直线的对称点坐标为，，
当线段GH上点G到x轴的距离最大，即时，
∵，
∴，
∴m=1或m=7（舍去）；
当线段GH上点H到x轴的距离最大，即时，
∴，
∴m=5或m=-1（舍去）；
综上所述，m的值为1或5.
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）①画出图形，根据题目中“轴距”的定义求解即可；②利用轴对称的性质先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据题目中“轴距”的定义求解即可；
（2）利用轴对称的性质、中点坐标公式先求出G，H的坐标，然后进行分类讨论：当线段GH上点G到x轴的距离最大，即时；当线段GH上点H到x轴的距离最大，即时，根据题目中“轴距”定义构建方程求解即可.
（1）解：①如图1，
∵线段上点B到x轴的距离最大，
∴；
②∵，，
∴A，B关于直线的对称点，，
如图2，
∵线段上点C到x轴的距离最大，
∴；
（2）解：∵，，
∴E，F关于直线的对称点，，
当时，
∵，
∴，
∴或7（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
综上，或5．
6．（2024八上·深圳期中）已知，点是平面内任意一点(不与点重合)，若点P与中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为关于这两个点的一个“勾股点”.例如：当与点A，B的连线的夹角为直角，称点为关于A，B的“勾股点”.
（1）如图(1)，若点P是内一点，，试说明点是的一个“勾股点”；
（2）如图(2)，已知点是的一个“勾股点”，，且，若，求AB的长；
（3）如图(3)，在中，，点为外一点，，，当点是关于A，B的“勾股点”时，AB的长度是 .
【答案】（1）证明：在中，，
，
，
，
，
点是的一个“勾股点”.
（2）解：，
，
，
，
即，
，
，
在Rt中，，
在Rt中，.
（3）
【知识点】角的运算；勾股定理；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）①当∠ADB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”.
如图所示：分别过点A，B作CD的垂线，垂足分别为点E，F，
∴∠E=∠F=90°，
∴∠ADE+∠BDF=∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ADE=∠DBF，
∵AD=BD，
∴△AED≌△DFB（AAS），
∴AE=DF，DE=BF，
∵∠BCD=45°，
∴∠CBF=90°-∠BCF=45°，
∴BF=CF，
∴CF=DE，
∴DF=CE，
∴AE=CE，
∴∠ACE=（180°-∠E）=45°，
∴∠ACB=180°-∠ACE-∠BCF=90°，
∵在Rt△ACE中，AC=8，
∴AE=CE==，
∵DC=，
∴CF=CD+DF=CD+AE=，
∴BC=CF=12，
∴AB=；
②当∠CDB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”，
根据题意可得：∠BCD=45°，
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴AD=CD，
∵在△ACD中，∠ACD=90°+45°=135°，
∴AD>CD，
∴此种情况不成立；
③当∠ADC=90°时，点D是△ABC的“勾股点”，
∵在△ACD中，∠ACD=135°，
∴∠ADC是锐角，
∴此种情况不成立，
综上，点D可以是△ABC的“勾股点”，AB的长是，
故答案为：.
【分析】（1）先利用三角形的内角和求出，再结合，利用角的运算求出，可得，即可证出点是的一个“勾股点”；
（2）先利用角的运算求出，再求出CD的长，利用勾股定理求出，最后求出AB的长即可；
（3）分类讨论：当∠ADB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；②当∠CDB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；③当∠ADC=90°时，点D是△ABC的“勾股点”，再分贝利用“勾股点”的定义和角的运算求解即可.
三、阅读理解题
7．（2024八上·电白期末）阅读理解：已知实数，满足…①，…②，求和的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①＋②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算.已知，，求的值.
【答案】（1）10；8
（2）解：设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
根据题意得：，
由①×4-②得，
答：购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元；
（3）解：根据题意得：
，
由①×3-②×2可得：，
.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②，可得：x-y=10，
由（①+②）÷3，可得：x+y=8，
故答案为：10；8.
【分析】（1）利用加减消元法求出x-y=10和x+y=8即可；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元”列出方程组，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，求出，再求出即可.
8．（2024八上·南山期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以所以
所以 所以 所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）比较大小： （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）<
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的有理化因式为.
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵和都是正数，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）参照题干中有理化因式的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用分母有理数的计算方法化简，再比较大小即可；
（3）先利用分母有理化化简，再将a的值代入计算即可.
（1）因为，
所以的有理化因式为.
故答案为：；
（2）因为，
显然，
又因为和都是正数，
所以．
故答案为：．
（3）因为，
所以，
所以，
则，
即.
所以，原式．
9．（2024八上·龙岗月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形．
（1）①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形；
（2）若Rt△ABC是黑神话悟空三角形，，，求AB的长．
【答案】（1）是；是
（2）解：∵，
∴
∴
∵Rt△ABC是黑神话悟空三角形
∴当时
解得：
当时
解得：
综上所述，AB的长为或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①设等边三角形边长为a
由题意可得：
∴等边三角形一定是黑神话悟空三角形
故答案为：是
②
80+16=96=48×2
∴则该三角形是黑神话悟空三角形
故答案为：是
【分析】（1）①设等边三角形边长为a，根据黑神话悟空三角形判定定理即可求出答案.
②根据黑神话悟空三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得，再根据黑神话悟空三角形定义分情况讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
四、实践探究题
10．（2024八上·龙华期中）我们定义一种新的三角形——魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形。例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形．
（1）新知理解：
①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？ ▲ （填“是”或“不是”）
②已知某三角形三边长为2，3，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由．
（2）知识探究：
在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值．
（3）知识拓展：
在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值．
【答案】（1）解：①是
②解：，，
∵
∴该三角形是魅力三角形，
（2）解：①当为斜边时，
此时，，，
∵
∴
或
∴
②当为直角边时，
此时，，，
∵
∴
或
∴
综上所述，或7或9
（3）解：∵为直角三角形，
∴
①当时，
∴
∴
∵
∴不合题意，舍去
②当时，
∴
∴
∴
∴
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①设等腰直角三角形的直角边为a，则斜边为a，
∵a2+a2=1×2a2，
∴k=1，
∴等腰直角三角形是魅力三角形，
故答案为：是.
【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质及“魅力三角形”的定义分析判断即可；
②先分别求出三角形三边的平方，再利用“魅力三角形”的定义分析求解即可；
（2）分类讨论：①当为斜边时，；②当为直角边时，，再利用“魅力三角形”的定义列出方程求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别求出a、b、c之间的关系，最后求出的值即可．
11．（2023八上·高州月考）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，求一次函数的“不动点”．
（2）若一次函数的“不动点”为，求的值．
（3）若直线与x轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．
【答案】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即解得
一次函数的“不动点”为
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，，又
解得
（3）解：∵直线上没有“不动点”，
∴直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义，列一元二次方程组，解方程组即可求出一次函数的“不动点”；
（2）根据一次函数的性质，将点（2，n-1）代入直线y=x，即可求出n的值；将点（2，n-1）代入直线y=mx+n，可得m和n的关系，将n的值代入等式即可求出m的值；
（3）根据两直线平行，系数相等，可得k的值；根据直线与x轴和y轴的交点性质，可得点A和B的坐标；根据题目中的等量关系，列等式，即可求出点P的坐标.
12．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积
（2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为.
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，
，，，
∴中最长边的长度为；
∵，，
∴，
∵，三角形的边为正数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值，
∴，，，
∴
，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入计算即可；
（2）①将x的值分别代入计算并比较大小即可；
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入计算即可.
13．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
14．（2024八上·宝安期中）【概念呈现】
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的"等腰直角线"，把这个四边形叫做"等腰直角四边形"；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的"真等腰直角线"，把这个四边形叫做"真等腰直角四边形".
（1）【概念理解】如图（1），若，则四边形ABCD （填"是"或"不是"）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】如图（1），如果四边形ABCD是真等 直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当时，求BC的长
（3）【深度理解】如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且，，对角线BD，AD分别是这两个四边形的等胺直角线，试说明AC与BE的数量关系；
（4）【拓展提高】如图③，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线.若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=1，AB=2，CBAD=45°，直接写出AC的长.
【答案】（1）是
（2）解：∵对角线 BD 是这个四边形的真等腰直角线，
∴△ABD 是等腰三角形，
当 AD＝BD＝4 时，
在 Rt△BDC 中，由勾股定理得
当 时，
在 Rt 中， 由勾股定理得：
综上： 或 .
（3）解：由题意知：△BDC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，AD＝DE，∠BDC＝∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE.
（4）解：由题意知：△BDC 是等腰直角三角形，
当∠BDC＝90°时，如图 3.1，作 DE⊥AD，DE＝AD，连接 AE，
由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE，
∵AD＝1，△ADE 是等腰直角三角形，
，
，
， 由勾股定理得 ，
当 时， 如图 3.2， 同理可得， ，
综上：AC=或3.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AD＝1，AD＝DB＝DC，
∴DB＝DC＝1，AD＝1，BC＝，
∵BD2＋CD2＝2，BC2＝()2＝2，
∴BD2＋CD2＝BC2，
∴△BDC 是等腰直角三角形，
∵△ABD是等腰三角形，
∴四边形ABCD是真等腰直角四边形，
故答案为：是.
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出△BDC 是等腰直角三角形，再结合△ABD是等腰三角形，即可证出四边形ABCD是真等腰直角四边形；
（2）分类讨论：①当 AD＝BD＝4 时， ②当 时，再利用勾股定理求出BC的长即可；
（3）先利用“SAS”证出△ADC≌△EDB，再利用全等三角形的性质可得AC＝BE；
（4）分类讨论：① 当∠BDC＝90°时，②当 时， 再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出BE的长，再求出AC的长即可.
15．（2024八上·深圳期中）思考探究：
【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间折线距离：．
（1）【初步理解】
①已知点，则 ．
②函数的图象如图1所示，是图象上一点，，则点的坐标是 ．
（2）【深入探究】
某数学小组研究以下问题：是函数的图象上的一点，当的值最小，求点坐标．
小明同学从函数图象入手展开研究：
①绘制函数图象：
列表：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 5 1 1 3 5 7 …
表格中： ；
描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象；
②请写出一条函数的性质： ．
（3）观察图象：，已知，求的最小值，并求出取得最小值时点坐标．
【答案】（1）3；（1，2）
（2）3；函数图象关于直线 x=3对称
（3）当时，函数为，设点的坐标为，
令，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，不存在最小值；
当时，，
即当x=2时，最小为；
当时，函数为，设点的坐标为，
令，则，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，
不存在最小值；
综上所述，的最小值为，这时点坐标为．
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：初步理解：
①，
故答案为：；
② 设，
∵，
，
解得
∴，
故答案为： ；
深入探究：（2）当时，；
故答案为：；
如图，在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）函数的性质：关于直线对称，
【分析】本题考查新定义，定义的运算法则，一次函数的图象和性质
初步理解：（1） ① 直接利用新定义可得：，再利用绝对值的意义进行计算可求出答案；
② 设，根据定义可得方程，解方程可求出x的值，据此可求出点B的坐标；
深入探究：（2） ① 把代入计算，可求出m值，再进行描点画图可得答案；
② 观察图形可得函数图象关于直线 x=3对称，据此可得答案；
（3）分为两种情况：时，函数解析式为和时，函数解析式为，设点的坐标为，根据题意列出方程，求出x的值，再进行分类讨论，进而可求出，再利用一次函数的性质求出最小值，据此可求出答案.
16．（2024八上·南山期中）综合与实践
【问题情境】
在平面直角经标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段AB的长度为若，则轴，且线段AB的长度为。
【知识应用】
（1）若点，则轴，AB的长度为 ：
（2）【拓展延伸】
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距商为.
例如：图1中，点与点之间的折线距离为.
【问题解决】
如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）=3，则t的值为 .
（3）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若d（E，P）=，请直接写出点P的坐标
【答案】（1）3
（2）2或 2
（3）（0，-2）或（2-，）
【知识点】点的坐标；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：AB的长度为| 1 2|＝3．
故答案为：3．
（2）∵E（2，0），G（1，t），d（E，G）＝3，
∴|2 1|＋|0 t|＝3，
解得：t＝±2．
故答案为：2或 2．
（3）①点P在OE边上，可设点P的坐标为（x，0），
∵d（E，P）=，
∴|x-2|+0=，
∴x=2+（舍去）或x=2-（舍去）；
②点P在OH边上，可设点P大坐标为（0，y），
∵d（E，P）=，
∴|2-0|+|y|=，
∴y=-2；
∴点P的坐标为（0，-2）；
③点P在HE边上，可设点P大坐标为（m，-m+2），
∵d（E，P）=，
∴|m-2|+|-m+2|=，
∴m=2-，
∴点P的坐标为（2-，），
综上，点P的坐标为：（0，-2）或（2-，），
故答案为：（0，-2）或（2-，）.
【分析】（1）利用两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法可得|2 1|＋|0 t|＝3，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①点P在OE边上，②点P在OH边上，③点P在HE边上，再结合题干中的定义及计算方法分别列出方程求解即可.
1 / 1新定义型—广东省（北师版）八（上）数学期末复习
一、填空题
1．（2024八上·深圳期中）对于两个实数a，b（其中），定义一种新运算： 如：那么 ．
2．（2024八上·电白期末）我们给出定义：若三角形中一个内角是另一个内角的三分之一，我们称这个三角形是“分角三角形”，其中称为“分角”.已知一个“分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“分角三角形”中分角的度数是 .
3．（2024八上·化州期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ．
4．（2024八上·宝安期中）已知是的函数：若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的"姐妹点".例如：直线上存在的"姐妹点".直线上的"姐妹点"的坐标是
二、综合题
5．（2024八上·深圳期中）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图1，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于轴的直线记为直线．
（1）已知点，，
①线段的“轴距” ；
②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距” ；
（2）已知点，，线段关于直线的对称线段为．若，求的值．
6．（2024八上·深圳期中）已知，点是平面内任意一点(不与点重合)，若点P与中的某两点的连线的夹角为直角，则称点为关于这两个点的一个“勾股点”.例如：当与点A，B的连线的夹角为直角，称点为关于A，B的“勾股点”.
（1）如图(1)，若点P是内一点，，试说明点是的一个“勾股点”；
（2）如图(2)，已知点是的一个“勾股点”，，且，若，求AB的长；
（3）如图(3)，在中，，点为外一点，，，当点是关于A，B的“勾股点”时，AB的长度是 .
三、阅读理解题
7．（2024八上·电白期末）阅读理解：已知实数，满足…①，…②，求和的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①＋②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算.已知，，求的值.
8．（2024八上·南山期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以
所以所以
所以 所以 所以
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）比较大小： （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）；
（3）若，求的值．
9．（2024八上·龙岗月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形．
（1）①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形；
（2）若Rt△ABC是黑神话悟空三角形，，，求AB的长．
四、实践探究题
10．（2024八上·龙华期中）我们定义一种新的三角形——魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形。例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形．
（1）新知理解：
①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？ ▲ （填“是”或“不是”）
②已知某三角形三边长为2，3，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由．
（2）知识探究：
在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值．
（3）知识拓展：
在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值．
11．（2023八上·高州月考）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．
（1）由定义可知，求一次函数的“不动点”．
（2）若一次函数的“不动点”为，求的值．
（3）若直线与x轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的点坐标．
12．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积
（2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为.
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积.
13．（2024八上·深圳期末）【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若，且，则称点与是线段的等垂对称点。
（1）【理解】如图2，在正方形网格中，点均在格点上，连接，则下列各组点是线段的等垂对称点的是 ；（填序号）
①点与点②点与点③点与点④点与点
（2）如图3，在四边形中，是边上一点，点与是线段的等垂对称点，
①求证：；
②若平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由。
（3）【拓展】如图4，已知直线与坐标轴交于点，直线与坐标轴交于点，当点中恰有两点是线段的等垂对称点，且时，请直接写出线段的长。
14．（2024八上·宝安期中）【概念呈现】
当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的"等腰直角线"，把这个四边形叫做"等腰直角四边形"；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的"真等腰直角线"，把这个四边形叫做"真等腰直角四边形".
（1）【概念理解】如图（1），若，则四边形ABCD （填"是"或"不是"）真等腰直角四边形；
（2）【性质应用】如图（1），如果四边形ABCD是真等 直角四边形，且，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当时，求BC的长
（3）【深度理解】如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且，，对角线BD，AD分别是这两个四边形的等胺直角线，试说明AC与BE的数量关系；
（4）【拓展提高】如图③，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线.若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=1，AB=2，CBAD=45°，直接写出AC的长.
15．（2024八上·深圳期中）思考探究：
【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间折线距离：．
（1）【初步理解】
①已知点，则 ．
②函数的图象如图1所示，是图象上一点，，则点的坐标是 ．
（2）【深入探究】
某数学小组研究以下问题：是函数的图象上的一点，当的值最小，求点坐标．
小明同学从函数图象入手展开研究：
①绘制函数图象：
列表：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 5 1 1 3 5 7 …
表格中： ；
描点、连线：在平面直角坐标系（图2）中画出该函数图象；
②请写出一条函数的性质： ．
（3）观察图象：，已知，求的最小值，并求出取得最小值时点坐标．
16．（2024八上·南山期中）综合与实践
【问题情境】
在平面直角经标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段AB的长度为若，则轴，且线段AB的长度为。
【知识应用】
（1）若点，则轴，AB的长度为 ：
（2）【拓展延伸】
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距商为.
例如：图1中，点与点之间的折线距离为.
【问题解决】
如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）=3，则t的值为 .
（3）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若d（E，P）=，请直接写出点P的坐标
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
2．【答案】20°或30°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得，α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，解得：α＝30°，
即分角α的度数是20°或30°，
故答案为：20°或30°．
【分析】利用“分角三角形”的定义可得α=×60°＝20°，或α＋3α＋60°＝180°，再求出α的值即可.
3．【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：4.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再参照题干中的定义及计算方法分析求解即可.
4．【答案】（2，-1）
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是M（m，n）
则m＋n＝1，
∴n＝1-m，
∴M（m，1-m），
∵点M是直线上的“姐妹点”，
∴1-m＝，
∴m＝2，
∴点M（2，-1），
故答案为：（2，-1）．
【分析】先求出点M（m，1-m），再将其代入可得1-m＝，求出m的值，即可得到点M的坐标.
5．【答案】（1）解：①如图1，
∵线段上点B到x轴的距离最大，B（2，4），
∴；
②∵，，
∴A，B关于直线的对称点坐标为，，如图2，
∵线段上点C到x轴的距离最大，
∴；
（2）解：∵，，
∴E，F关于直线的对称点坐标为，，
当线段GH上点G到x轴的距离最大，即时，
∵，
∴，
∴m=1或m=7（舍去）；
当线段GH上点H到x轴的距离最大，即时，
∴，
∴m=5或m=-1（舍去）；
综上所述，m的值为1或5.
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】（1）①画出图形，根据题目中“轴距”的定义求解即可；②利用轴对称的性质先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据题目中“轴距”的定义求解即可；
（2）利用轴对称的性质、中点坐标公式先求出G，H的坐标，然后进行分类讨论：当线段GH上点G到x轴的距离最大，即时；当线段GH上点H到x轴的距离最大，即时，根据题目中“轴距”定义构建方程求解即可.
（1）解：①如图1，
∵线段上点B到x轴的距离最大，
∴；
②∵，，
∴A，B关于直线的对称点，，
如图2，
∵线段上点C到x轴的距离最大，
∴；
（2）解：∵，，
∴E，F关于直线的对称点，，
当时，
∵，
∴，
∴或7（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
综上，或5．
6．【答案】（1）证明：在中，，
，
，
，
，
点是的一个“勾股点”.
（2）解：，
，
，
，
即，
，
，
在Rt中，，
在Rt中，.
（3）
【知识点】角的运算；勾股定理；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）①当∠ADB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”.
如图所示：分别过点A，B作CD的垂线，垂足分别为点E，F，
∴∠E=∠F=90°，
∴∠ADE+∠BDF=∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ADE=∠DBF，
∵AD=BD，
∴△AED≌△DFB（AAS），
∴AE=DF，DE=BF，
∵∠BCD=45°，
∴∠CBF=90°-∠BCF=45°，
∴BF=CF，
∴CF=DE，
∴DF=CE，
∴AE=CE，
∴∠ACE=（180°-∠E）=45°，
∴∠ACB=180°-∠ACE-∠BCF=90°，
∵在Rt△ACE中，AC=8，
∴AE=CE==，
∵DC=，
∴CF=CD+DF=CD+AE=，
∴BC=CF=12，
∴AB=；
②当∠CDB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”，
根据题意可得：∠BCD=45°，
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴AD=CD，
∵在△ACD中，∠ACD=90°+45°=135°，
∴AD>CD，
∴此种情况不成立；
③当∠ADC=90°时，点D是△ABC的“勾股点”，
∵在△ACD中，∠ACD=135°，
∴∠ADC是锐角，
∴此种情况不成立，
综上，点D可以是△ABC的“勾股点”，AB的长是，
故答案为：.
【分析】（1）先利用三角形的内角和求出，再结合，利用角的运算求出，可得，即可证出点是的一个“勾股点”；
（2）先利用角的运算求出，再求出CD的长，利用勾股定理求出，最后求出AB的长即可；
（3）分类讨论：当∠ADB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；②当∠CDB=90°时，点D是△ABC的“勾股点”；③当∠ADC=90°时，点D是△ABC的“勾股点”，再分贝利用“勾股点”的定义和角的运算求解即可.
7．【答案】（1）10；8
（2）解：设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
根据题意得：，
由①×4-②得，
答：购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元；
（3）解：根据题意得：
，
由①×3-②×2可得：，
.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：（1），
由①-②，可得：x-y=10，
由（①+②）÷3，可得：x+y=8，
故答案为：10；8.
【分析】（1）利用加减消元法求出x-y=10和x+y=8即可；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元”列出方程组，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，求出，再求出即可.
8．【答案】（1）
（2）<
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的有理化因式为.
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵和都是正数，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）参照题干中有理化因式的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用分母有理数的计算方法化简，再比较大小即可；
（3）先利用分母有理化化简，再将a的值代入计算即可.
（1）因为，
所以的有理化因式为.
故答案为：；
（2）因为，
显然，
又因为和都是正数，
所以．
故答案为：．
（3）因为，
所以，
所以，
则，
即.
所以，原式．
9．【答案】（1）是；是
（2）解：∵，
∴
∴
∵Rt△ABC是黑神话悟空三角形
∴当时
解得：
当时
解得：
综上所述，AB的长为或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：（1）①设等边三角形边长为a
由题意可得：
∴等边三角形一定是黑神话悟空三角形
故答案为：是
②
80+16=96=48×2
∴则该三角形是黑神话悟空三角形
故答案为：是
【分析】（1）①设等边三角形边长为a，根据黑神话悟空三角形判定定理即可求出答案.
②根据黑神话悟空三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得，再根据黑神话悟空三角形定义分情况讨论，建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】（1）解：①是
②解：，，
∵
∴该三角形是魅力三角形，
（2）解：①当为斜边时，
此时，，，
∵
∴
或
∴
②当为直角边时，
此时，，，
∵
∴
或
∴
综上所述，或7或9
（3）解：∵为直角三角形，
∴
①当时，
∴
∴
∵
∴不合题意，舍去
②当时，
∴
∴
∴
∴
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①设等腰直角三角形的直角边为a，则斜边为a，
∵a2+a2=1×2a2，
∴k=1，
∴等腰直角三角形是魅力三角形，
故答案为：是.
【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质及“魅力三角形”的定义分析判断即可；
②先分别求出三角形三边的平方，再利用“魅力三角形”的定义分析求解即可；
（2）分类讨论：①当为斜边时，；②当为直角边时，，再利用“魅力三角形”的定义列出方程求解即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，再分别求出a、b、c之间的关系，最后求出的值即可．
11．【答案】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即解得
一次函数的“不动点”为
（2）解：根据定义可得，点在上，
解得
点又在上，，又
解得
（3）解：∵直线上没有“不动点”，
∴直线与平行
，令，
令，则
设
即或
解得或
或
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据新定义，列一元二次方程组，解方程组即可求出一次函数的“不动点”；
（2）根据一次函数的性质，将点（2，n-1）代入直线y=x，即可求出n的值；将点（2，n-1）代入直线y=mx+n，可得m和n的关系，将n的值代入等式即可求出m的值；
（3）根据两直线平行，系数相等，可得k的值；根据直线与x轴和y轴的交点性质，可得点A和B的坐标；根据题目中的等量关系，列等式，即可求出点P的坐标.
12．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，
，，，
∴中最长边的长度为；
∵，，
∴，
∵，三角形的边为正数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值，
∴，，，
∴
，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入计算即可；
（2）①将x的值分别代入计算并比较大小即可；
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入计算即可.
13．【答案】（1）②③
（2）解：①证明：∵点与是线段的等垂对称点，
，且
∴在与中
.
②解：当平分时，，理由如下：
∵由（1）可知
.
平分
∵又由（1）可知
.
∴
（3）解：或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行线的性质；三角形全等的判定；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）如图，观察可发现，点C和F是等垂对称点，点D和点E是等垂对称点；
故答案为：②③
（3）由直线y=x+4和直线y=x-2，可得A (0，4)，B(－4，0) ，C (0，－2)，D (2，0)，
∵点A、B、C、D中恰有两点是线段EF的等垂对称点，且EF//AB，
∴线段EF所在的直线l到直线AB与到直线CD的距离相等，
可设直线EF的表达式为l：y=x+k，与y轴交点G（0，k），
∴AG=GC.
则4－k=k-(-2），解得k=1，
∴直线l表达式：y=x+1，G（0，1）.
∴AG=GC=3.
①如图，若点A， C是线段EF的等垂对称点，分别过点A、C作AE、CF垂直于l，垂足为E、F.
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵AB//EF， AE⊥EF，
∴∠AEG=90°，∠AGE=∠OAB=45°，
∴△GAE是等腰直角三角形.
∵AG=3，
∴.
∵点A， C是线段EF的等垂对称点，
∴AE=CF，∠AEG=∠CFG=90°，
又∵AG=CG，
∴△AGE≌△CGF ( HL )，
∴.
∴.
②如图，若点A， D是线段EF的等垂对称点，分别过点A作AE⊥l于点E，DF⊥l于点F，交y轴于点P.
∴EF=EG-FG.
∵△GAE是等腰直角三角形，AG=3，
∴.
∵OD=OC=2，∠DOC=90°，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴∠OCD=∠ODC=45°.
又∵PD⊥CD，CD//l，
∴△PCD是是等腰直角三角形，PD⊥l，
∴OP=OC=2，∠OPD=45°.
∴△PFG是是等腰直角三角形.
∵OG=1，OP=2，
∴PG=1
∴，
∴.
③如图，若点B， D是线段EF的等垂对称点，分别过点B、D作BE、DF垂直于l，垂足为E、F.
∴BE=DF，∠HEB=∠HFD=90°.
又∵∠BHE=∠DHF，
△HEB≌△HFD（AAS）.
∴EH=FH，BH=DH.
∵BD=OB+OD=6，
∴DH=3.
∵∠ODC=45°，FD⊥CD，
∴∠FDO=45°，
∴△HDF是等腰直角三角形.
∴，
∴.
④ 如图，若点B， C是线段EF的等垂对称点，分别过点B、C作BE、CF垂直于l，垂足为E、F.
类似于情况②，同理可求得.
综上：EF的长为或.
故答案为：或.
【分析】（1）根据等垂对称点的定义判断即可；
（2）①利用等垂对称点的定义可得AB=ED，∠BAE=∠DEA=90°，于是可得△ABE和△EDA全等，从而有∠DAE=∠AEB，结论得证；
②由AD//BC可得∠BCD+∠CDA=180°，又由△ABE和△EDA全等得到∠B=∠ADE，再结合DE平分∠CDA，结论可证.
（3）分情况讨论，分A和C，A和D，B和C，B和D分别是等垂对称点时构造全等三角形，计算EF的值.
14．【答案】（1）是
（2）解：∵对角线 BD 是这个四边形的真等腰直角线，
∴△ABD 是等腰三角形，
当 AD＝BD＝4 时，
在 Rt△BDC 中，由勾股定理得
当 时，
在 Rt 中， 由勾股定理得：
综上： 或 .
（3）解：由题意知：△BDC 和△ADE 都是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，AD＝DE，∠BDC＝∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE.
（4）解：由题意知：△BDC 是等腰直角三角形，
当∠BDC＝90°时，如图 3.1，作 DE⊥AD，DE＝AD，连接 AE，
由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE，
∵AD＝1，△ADE 是等腰直角三角形，
，
，
， 由勾股定理得 ，
当 时， 如图 3.2， 同理可得， ，
综上：AC=或3.
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AD＝1，AD＝DB＝DC，
∴DB＝DC＝1，AD＝1，BC＝，
∵BD2＋CD2＝2，BC2＝()2＝2，
∴BD2＋CD2＝BC2，
∴△BDC 是等腰直角三角形，
∵△ABD是等腰三角形，
∴四边形ABCD是真等腰直角四边形，
故答案为：是.
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出△BDC 是等腰直角三角形，再结合△ABD是等腰三角形，即可证出四边形ABCD是真等腰直角四边形；
（2）分类讨论：①当 AD＝BD＝4 时， ②当 时，再利用勾股定理求出BC的长即可；
（3）先利用“SAS”证出△ADC≌△EDB，再利用全等三角形的性质可得AC＝BE；
（4）分类讨论：① 当∠BDC＝90°时，②当 时， 再利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出BE的长，再求出AC的长即可.
15．【答案】（1）3；（1，2）
（2）3；函数图象关于直线 x=3对称
（3）当时，函数为，设点的坐标为，
令，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，不存在最小值；
当时，，
即当x=2时，最小为；
当时，函数为，设点的坐标为，
令，则，解得，
当时，，
即当时，最小为；
当时，，
不存在最小值；
综上所述，的最小值为，这时点坐标为．
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：初步理解：
①，
故答案为：；
② 设，
∵，
，
解得
∴，
故答案为： ；
深入探究：（2）当时，；
故答案为：；
如图，在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）函数的性质：关于直线对称，
【分析】本题考查新定义，定义的运算法则，一次函数的图象和性质
初步理解：（1） ① 直接利用新定义可得：，再利用绝对值的意义进行计算可求出答案；
② 设，根据定义可得方程，解方程可求出x的值，据此可求出点B的坐标；
深入探究：（2） ① 把代入计算，可求出m值，再进行描点画图可得答案；
② 观察图形可得函数图象关于直线 x=3对称，据此可得答案；
（3）分为两种情况：时，函数解析式为和时，函数解析式为，设点的坐标为，根据题意列出方程，求出x的值，再进行分类讨论，进而可求出，再利用一次函数的性质求出最小值，据此可求出答案.
16．【答案】（1）3
（2）2或 2
（3）（0，-2）或（2-，）
【知识点】点的坐标；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：AB的长度为| 1 2|＝3．
故答案为：3．
（2）∵E（2，0），G（1，t），d（E，G）＝3，
∴|2 1|＋|0 t|＝3，
解得：t＝±2．
故答案为：2或 2．
（3）①点P在OE边上，可设点P的坐标为（x，0），
∵d（E，P）=，
∴|x-2|+0=，
∴x=2+（舍去）或x=2-（舍去）；
②点P在OH边上，可设点P大坐标为（0，y），
∵d（E，P）=，
∴|2-0|+|y|=，
∴y=-2；
∴点P的坐标为（0，-2）；
③点P在HE边上，可设点P大坐标为（m，-m+2），
∵d（E，P）=，
∴|m-2|+|-m+2|=，
∴m=2-，
∴点P的坐标为（2-，），
综上，点P的坐标为：（0，-2）或（2-，），
故答案为：（0，-2）或（2-，）.
【分析】（1）利用两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法可得|2 1|＋|0 t|＝3，再求出t的值即可；
（3）分类讨论：①点P在OE边上，②点P在OH边上，③点P在HE边上，再结合题干中的定义及计算方法分别列出方程求解即可.
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