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【期末臻选】2024-2025学年七年级沪科版数学上学期期末卷（第3章一次方程与方程组）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列变形中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了化简绝对值以及等式的性质，根据绝对值的性质判断A选项，根据等式的性质逐个进行判断B，C，D选项，即可作答．
【详解】解：A、若，则，故该选项是不符合题意；
B、若，则，故该选项是不符合题意；
C、若，则，故该选项是不符合题意；
D、若，则（两边同时乘上c，等式仍成立），故该选项是符合题意；
故选：D
2．小明在做拍照打印出来的作业时，发现方程中的一个常数被黑点遮住了，他翻开书后的答案，发现方程的解是，那么这个被黑点遮住的常数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，设被黑点遮住的常数为，将代入，得到关于的方程求解即可．
【详解】设被黑点遮住的常数为，将代入中，得
解得：
故选：D．
3．已知是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程中，即可求得结果，准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
解得，
故选：B．
4．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断．
【详解】A、等式两边同时减去得：，原变形正确，故选项不符合题意；
B、等式两边同时加上得：，原变形正确，故选项不符合题意；
C、等式两边同时乘以得：，原变形错误，故选项符合题意；
D、等式两边同时除以得：，原变形正确，故选项不符合题意；
故选：C．
5．一位同学在解方程时，把“（ ）”处的数字看错了，解得，则这位同学把“（ ）”处的数字看成了（ ）
A．3 B． C． D．8
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，把括号处看作未知数y，把代入方程求未知数y．
【详解】解：设括号处未知数为y，
则将代入方程得：，
移项，整理得，．
故选：D．
6．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
【详解】解：由题知，
因为每3人乘一车，最终剩余2辆车，
所以总人数可表示为：，
因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
所以总人数可表示为：，
则可建立方程：．
故选：B．
7．现用木料制做桌子和椅子，已知1张桌子配4把椅子，木料可做3把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套，设用的木料做桌子，则依题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设用的木料做桌子，则用的木料做椅子，根据制作的椅子数为桌子数的倍，即可得出关于x的一元一次方程，可得答案．
【详解】解：设用的木料做桌子，则用的木料做椅子，根据题意得，
故选：C．
8．对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程，根据运算规律列出方程是解题关键．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，求得的值．
【详解】解：由题意得：将可化为：，
去括号得：，
移项，得：，
合并得：，，
系数化为1得：．
故选：C．
9．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解
【答案】D
【分析】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程．首先解方程，可得：，再根据方程有两个解的条件可得到a，b的值，然后代入方程中即可知道其解的情况．
【详解】解：解方程，
可得：，
∵有至少两个不同的解，
∴，，
即，，
把，代入中得：
，
∴方程无解．
故选：D．
10．闹闹遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为23，则满足条件的x值最多有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次方程的解法，根据题意，列出相应的方程并掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
根据题意可知，若输入x，则输出，又分两种情况考虑，大于20，输出答案；否则重新输入，根据题意可建立方程求得结果．
【详解】解：根据题意知，输入x，则直接输出，则
当时，；
当时，；
当时，．
∵x为正整数，因此符合条件的一共有2个数，分别是3，8．
故选：B．
二、填空题
11．当 时，关于的方程是一元一次方程
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为一次的整式方程叫一元一次方程，即可得到，解得即可得到答案．
【详解】解：关于的方程是一元一次方程，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程定义及解一元一次方程，熟记含有一个未知数，且未知数的最高次数为一次的整式方程叫一元一次方程是解决问题的关键．
12．若的值与的值互为相反数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查相反数的定义及一元一次方程的应用．先根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，然后解关于m的一元一次方程即可求出m的值．
【详解】解：根据题意得：，即，
解得：，
故答案为：．
13．明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了两本书共花费元，丽丽买了本书共花费，则B书比C书贵 元；若又知两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则三本书的总价钱为 ．
【答案】
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数，正确解读题意，找出等量关系列出方程组．设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得：
；可求问题一；得：；将③代入④可得，据此即可求解问题二；
【详解】解：设A、B、C书的单钱分别是元，根据题意可得：
∴得：
∴B书比C书贵元；
得：；
将③代入④得：，
解得：；
∴
∴三本书的总价钱为元，
故答案为：①②
14．如图，是由四个相同的直角三角形拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形的面积为．若，且，则 ．
【答案】3
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，首先根据得到，然后题意得到，然后结合列方程求解即可．
【详解】解：∵
∴
∵小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形的面积为
∴
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案为：3．
三、解答题
15．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是解题的关键．
（1）分别去括号、移项并合并同类项即可；
（2）分别去分母、去括号、移项并合并同类项即可．
【详解】（1）去括号得：，
移项合并得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
16．解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
应用加减消元法，求出两个方程组的解即可．
【详解】（1）解：，
①+②，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
方程组的解为；
（2），
①×2，得：③，
②③，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
方程组的解为．
17．一家服装店将某种衣服按成本价提高后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？
【答案】这种衣服每件的标价是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这种衣服每件的成本价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设这种衣服每件的成本价是元，根据题意得，
．
解得：．
答：这种衣服每件的标价是元．
18．小亮学习完《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下．
(1)求的值；
(2)若的值与的值相等，求m的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【答案】(1)
(2)
(3)不具有交换律，理由见解析
【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程；
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）分别利用题中的新定义化简已知两式，使其相等列出方程，求出方程的解即可得的值；
（3）不具有交换律，举例说明即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；
（2）解：，，
，
解得：；
（3）解：不具有交换律，理由如下：
举例：
，，
．
不具有交换律．
19．某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元） 2
零售价（元）
(1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？
(2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？
【答案】(1)此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克；
(2)卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
（1）设他购进黄瓜千克，茄子千克，根据黄瓜的批发价是元，茄子批发价是2元，共花了180元，列出方程，求出的值，即可求出答案；
（2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数．
【详解】（1）解：设当天批发了黄瓜千克，茄子千克．根据题意，
得，
解得．
答：此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克；
（2）解：（元）．
卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元．
20．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
【答案】(1)一个水瓶元，一个水杯元；
(2)在乙商场购买更合算．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．
首先设一个水瓶元，一个水杯元，根据图片中两次购买水瓶和水杯的数量与所花费用列二元一次方程组，解方程组求出一个水瓶和一个水杯的单价；
分别计算出在两家商场买个水瓶和个水杯所需费用，通过比较确定哪家商场更合算．
【详解】（1）解：设一个水瓶元，一个水杯元，
根据题意可得：，
得：，
得：，
把代入得：，
解得：，
方程组的解为，
答：一个水瓶元，一个水杯元；
（2）在乙商场购买更合算，
理由如下：
解：甲商场：(元)，
乙商场：(元)，
，
在乙商场购买更合算．
21．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．
(1)数对， 是“同心有理数对”的是 ．
(2)若是“同心有理数对”，求a的值；
(3)若是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
【答案】(1)；
(2) ；
(3)是；理由见解析
【分析】此题主要考查了对新定义“同心有理数对”的理解、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算等知识，熟练运用有理数的混合运算、并熟练求解一元一次方程是解答此题的关键．
（1）根据题中所给的“同心有理数对”的定义去验证即可得解；
（2）根据题中所给的“同心有理数对”的定义列一元一次方程求解即可；
（3）根据题中所给的“同心有理数对”的定义去判断即可．
【详解】（1）解：，，
数对不是“同心有理数对”；
，，
，
是“同心有理数对”；
故答案为：；
（2）解：是“同心有理数对”．
，
；
（3）是“同心有理数对”，
，
，
是“同心有理数对”．
故答案为：是；
22．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．
(1)若点M，N分别是线段的中点，求线段的长；
(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点同时出发，问点运动多少秒时，与相距5个单位长度？
【答案】(1)
(2)点运动3秒或秒时，与相距5个单位长度
【分析】本题考查了数轴及数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）．一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离公式的运用，关键是熟练掌握行程问题中的路程=速度×时间的运用．
（1）根据点表示的数为8，且，得出B点表示的数，再利用中点的定义和求出；
（2）设秒时，与相距5个单位长度，根据等量关系，列出方程求解即可．
【详解】（1）解： 点表示的数为8，且，
B点表示的数是．
点分别是线段的中点，
表示的数是，
．
（2）解：设秒时，与相距5个单位长度．
第一种情况：P与Q在相遇前相距5个单位长度．
，解得，
第二种情况：与在相遇后相距5个单位长度．
，解得，
答：点运动3秒或秒时，与相距5个单位长度．
23．2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）．
(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）．
(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；
(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．
【答案】(1)，
(2)方案A
(3)双
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式．
（1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可；
（2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可；
（3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答．
【详解】（1）解：按方案A购买，需付款：元，
按方案B购买，需付款：元，
故答案为：，；
（2）解：当时，
方案A： （元）．
方案B：（元）．
∵，
∴按方案A购买较为合算；
（3）解：根据题意，得．
解得．
答：当购买运动棉袜双时，两种方案付款相同．
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【期末臻选】2024-2025学年七年级沪科版数学上学期期末卷（第3章一次方程与方程组）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列变形中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．小明在做拍照打印出来的作业时，发现方程中的一个常数被黑点遮住了，他翻开书后的答案，发现方程的解是，那么这个被黑点遮住的常数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一位同学在解方程时，把“（ ）”处的数字看错了，解得，则这位同学把“（ ）”处的数字看成了（ ）
A．3 B． C． D．8
6．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
7．现用木料制做桌子和椅子，已知1张桌子配4把椅子，木料可做3把椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套，设用的木料做桌子，则依题意可列方程为( )
A． B．
C． D．
8．对于任意四个有理数，，，，定义新运算：．已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
9．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解
10．闹闹遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为23，则满足条件的x值最多有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．当 时，关于的方程是一元一次方程
12．若的值与的值互为相反数，则m的值为 ．
13．明明和丽丽去书店买书，若已知明明买了两本书共花费元，丽丽买了本书共花费，则B书比C书贵 元；若又知两本书的总价钱恰好等于A书的价钱，则三本书的总价钱为 ．
14．如图，是由四个相同的直角三角形拼成的一个大正方形和一小正方形，设小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形的面积为．若，且，则 ．
三、解答题
15．解方程
(1)
(2)
16．解方程组：
(1)；
(2)．
17．一家服装店将某种衣服按成本价提高后标价，为了吸引顾客，商家又以标价的9折出售，结果每件仍可获利12元，求这种衣服每件的标价是多少元？
18．小亮学习完《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下．
(1)求的值；
(2)若的值与的值相等，求m的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
19．某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元） 2
零售价（元）
(1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？
(2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？
20．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
(2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
21．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．
(1)数对， 是“同心有理数对”的是 ．
(2)若是“同心有理数对”，求a的值；
(3)若是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”），说明理由．
22．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．
(1)若点M，N分别是线段的中点，求线段的长；
(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点同时出发，问点运动多少秒时，与相距5个单位长度？
23．2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）．
(1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）．
(2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；
(3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．
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