山东省日照市2024-2025学年高一（上）12月选科指导联合测试数学试题（PDF版，含答案）

山东省日照市 2024-2025 学年高一（上）12 月选科指导联合测试数学
试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题 : ∈ ，使得 ，则 为( )
A. ，都有 B. ，使得 ∈
C. ∈ ，都有 ∈ D. ∈ ，使得 ∈
1
2.函数 ( ) = + 3的零点所在区间为( )
A. ( 3, 2) B. ( 2, 1) C. ( 1,0) D. (0,1)
3.若不等式 2 + + 2 > 0的解集为{ ∣ 2 < < 1}，则 =( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2
4.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形 ，
其中∠ = 135 , = 3 = 3，则扇面(曲边四边形 )的面积是( )
4 8
A. B. C. 3 D. 6
3 3
1 1 1 2 1 1 1 2
2 2 2 2 3 2 1 5 1 5 1 5 2 5 1 5
5.下列大小关系正确的是( ) ① ( ) > ( ) ② ( ) < ( ) ③ ( ) > ( ) ④ ( ) > ( )
5 5 5 2 2 3 5 3
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③
2
6.已知函数 ( ) = 2 2 的最大值为 ，最小值为 ，则 + 的值等于( ) +1
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
1
1 2 ( ) + 1, < 1 ( ) ( )
7.“ ∈ ( , )”是“ ( ) = { 3 满足对任意 1 ≠ 2都有
1 2 < 0成立”的( )
3 3 , ≥ 1 1 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.定义：对于 ( )定义域内的任意一个自变量的值 1，都存在唯一一个 2使得 ( 1) ( 2) = 4成立，则称函
数 ( )为“联盟函数”.下列函数是“联盟函数”的是( )
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4
A. ( ) = ln B. ( ) = 2 + 1 C. ( ) = D. ( ) = +

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合 = { ∈ ∣ 2 8 + 15 = 0}, = { ∈ ∣ + 1 = 0}，若满足 ，则实数 可以是( )
1 1
A. 0 B. C. D. 3
3 5
10.下列选项中正确的是( )
4
A. 若 > 0，则 + 的最小值为4


B. 若 < 0，则 + 的最大值为 2

2+5
C. 若 ∈ ，则 的最小值为2
√ 2+4
1 1 2 9
D. 已知 > 0, > 0，且2 + = ，则 ( + )的最大值是
2 16
11.已知函数 ( ) = ln( 2 1)，下列说法正确的有( )
A. 不存在实数 ，使 ( )的定义域为
B. 函数 ( )一定有最小值
C. 对任意正实数 ， ( )的值域为
D. 若函数 ( )在区间[2, +∞)上单调递增，则实数 的取值范围是( ∞, 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ( > 0，且 ≠ 1)过点(9,2)，若 1 ≤ ( ) ≤ 2, ( )的反函数为 ( )，则 ( )的
值域为 ．
, ≥
13.定义max{ , } = { ，如max{1, 2} = 1，则函数 ( ) = max{ 3, 2 2 3}的最小值为 ．
, <
14.若正实数 0是关于 的方程2
+ = + 2( )的根，则2
0 0 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 4 + 4) +2在(0, +∞)上单调递减．
(1)求 的值；
(2)若(2 + 1) < ( + 3) ，求 的取值范围；
4+
(3)设 ( ) = 2 ，求 ( 3) + (5 )的最大值．
16.(本小题15分)
已知定义域为[ 2 , 4 2]的偶函数 ( )，当0 ≤ ≤ 4 2时， ( ) = + √ 3 ．
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(1)求实数 的值及 ( )的解析式；
(2)解关于 的不等式 ( + 1) < (1 2 )．
17.(本小题15分)
美国政府一边嘴上说着“一个中国”，一边源源不断地向台湾输出武器，中国的抗议早已习以为常.是的，
抗议过，反对过，但最后总被无视.既然如此，那就来点“硬核”的. 2024年11月，中国商务部出手，《两
用物项出口管制清单》横空出世，对稀土金属和核心民用科技和军用科技关键金属进行全面出口管制.镓是
一种具有重要应用价值的金属元素，被广泛应用于制造各种电子元件，应用于计算机 通讯 自动化等领域，
用于医学诊断和治疗，用于制作精密仪器零部件等.镓金属不是多么贵重的金属，世界上并不存在所谓的镓
矿石，镓是伴生矿，而且含量很低，一般常见于铝矿石中.所以要想提炼镓金属，就得大搞特搞氧化铝工厂.
某地有一处可提炼金属镓的铝矿石基地，探明的铝矿石储存量为 吨，计划每年开采一些铝矿石，且每年的
开采率(即当年开采量占该年年初储存量的比率)保持不变，到今年底为止，该矿已经开采了12年，在此期
√ 5
间铝矿石开采的总量为(1 ) 吨.
5
(1)求该铝矿石基地每年的矿石开采率；

(2)为了避免破坏当地的生态环境，也为子孙后代留下足够的矿产资源，铝矿石基地的矿石至少要保留 吨
25
不进行开采，则该矿今后最多还能开采多少年？
18.(本小题17分)
已知定义在 上的函数 ( ) = + (2 1) ( > 0，且 ≠ 1)是奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ( )满足 (1) > 0，且存在 ≥ 4，不等式 ( 2 + 2) + ( 2 2) < 0有解，求实数 的取值
范围．
19.(本小题17分)
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成
一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔( . . . )，简单的
讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数 ( )，存在点 0，使 ( 0) = 0，那么我们称该函数为“不动
点函数”， 0为函数的不动点．
(1)若定义在 上仅有一个不动点的函数 ( )满足 ( ( ) 2 2 + ) = ( ) 2 2 + ，试求函数 ( )的解析
式；
(2)若对任意的实数 ，若函数 ( ) = 2
1
(3 1) 2 + ( ≠ 0)恒有两个不动点，且满足如下条件：
3
① = ( )图象上两个不同点 , 的横坐标是函数 ( )的不动点；
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②点 , 关于函数 ( ) = + 2 的图象对称． 3 +4 +2
+ +
试求 的取值范围. (注：两个点 ( 1, 1), ( 2, 2)的中点 的坐标公式为 (
1 2 , 1 2))
2 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】[ , 9]
3
13.【答案】 3
14.【答案】0
15.【答案】解：(1)
由 ( ) = ( 2 + 4 + 4) +2是幂函数，得 2 + 4 + 4 = 1，解得 = 1或 = 3，
当 = 1时， ( ) = ，在(0, +∞)上单调递增，不合题意；
当时， ( ) = 1，在(0, +∞)上单调递减，符合题意，
所以 = 3．
(2)
若(2 + 1) < ( + 3) ，即(2 + 1)3 < ( + 3)3，
∵函数 = 3在 上单调递增，
∴ 2 + 1 < + 3，解得 < 2．
(3)
1
( ) = 2 = √ ，则 ( 3) + (5 ) = √ 3 + √ 5 ，3 ≤ ≤ 5，
2 2
√ 3+√ 5 √ (√ 3) +(√ 5 )∵ ≤ = 1，
2 2
∴ √ 3 + √ 5 ≤ 2，当且仅当 = 4取等号，
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∴ ( 3) + (5 )的最大值为2．
16.【答案】解：(1)
因为定义域为[ 2 , 4 2]的偶函数 ( )，
所以 2 + 4 2 = 0，解得 = 1，
则函数 ( )的定义域为[ 2,2]，
又当0 ≤ ≤ 4 2时， ( ) = + √ 3 ，
即当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = + √ 3 ，
令 2 ≤ < 0，则0 < ≤ 2， ( ) = + √ 3 + ，
∵ ( )是偶函数，∴ ( ) = ( ) = + √ 3 + ，
+ √ 3 , 0 ≤ ≤ 2
∴ ( )的解析式为 ( ) = { ．
+ √ 3 + , 2 ≤ < 0
(2)
当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = + √ 3 ，
因为函数 = , = √ 3 在[0,2]上都是减函数，
所以函数 ( )在[0,2]上是减函数，
又函数 ( )是定义在[ 2,2]上的偶函数，则 ( ) = ( ) = (| |)，
所以 ( + 1) < (1 2 )，即 (| + 1|) < (|1 2 |)，
2 ≤ + 1 ≤ 2 3 ≤ ≤ 1 3 ≤ ≤ 1
1 3 1 3
所以{ 2 ≤ 1 2 ≤ 2 ，即{ ≤ ≤ ≤ ≤2 2 ，即{ , 2 2
| + 1| > |1 2 | ( + 1)2 > (1 2 )2 2 2 < 0
3 ≤ ≤ 1
1 3
即{ ≤ ≤ ，解得0 < ≤ 1，
2 2
0 < < 2
所以关于 的不等式 ( + 1) < (1 2 )的解集为(0,1]．
17.【答案】解：(1)
设该铝矿每年的开采率为 (0 < < 1)，
√ 5 √ 5
铝矿石开采的总量为(1 ) 吨，则剩余的铝矿石为 吨，
5 5
√ 5 √ 5
所以 (1 )12 = ，即(1 )12 = ，
5 5
1
1 24
解得 = 1 ( ) ，
5
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1
1 24
故该铝矿每年的开采率为1 ( ) ；
5
(2)
√ 5
该铝矿今后继续开采 年后，剩余的铝矿石为 (1 ) 吨，
5
√ 5 √ 5 1
由题意知， (1 ) ≥ ，即 (1 ) ≥ ，
5 25 5 25
3 3
1 2 1 24 1 2
得(1 ) ≥ ( ) ，即( ) ≥ ( ) ，
5 5 5
1 3
因为 = ( ) 是减函数，所以 ≤ ，得 ≤ 36，
5 24 2
所以该铝矿今后最多还能开采36年.
18.【答案】解：(1)
∵定义在 上的函数 ( ) = + (2 1) ( > 0，且 ≠ 1)是奇函数，
∴ (0) = 0 + (2 1) 0 = 0，解得 = 0，
∴ ( ) = ，
∵ ( ) = = ( )，∴ ( )是奇函数，
综上， = 0．
(2)
( 1)( +1)
∵ (1) > 0，即 1 > 0，即 > 0，

又 > 0，且 ≠ 1，解得 > 1，

∴ ( ) =
1
= ( ) 在 上单调递增．

∴不等式 ( 2 + 2) + ( 2 2) < 0可化为 ( 2 + 2) < ( 2 2)，
2
即 ( 2 + 2) < (2 2 )，则 2 + 2 < 2 2 ，即 2 + 2 < ， 2
令 2 = ，∵ ≥ 4，∴ ≥ 2，
2 2
∴ + 2 < ，即 < 2，当 ≥ 2时有解，

2
∵当 ≥ 2时 = 2是减函数，

2
∴当 = 2时， = 2取最大值 3，

∴实数 的取值范围是 < 3．
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19.【答案】解：(1)
设函数 ( )的唯一不动点为 ，即 ( ) = ，
∵ ( ( ) 2 2 + ) = ( ) 2 2 + ，
∴ ( ) 2 2 + = ，
1
∴ ( ) 2 2 + = ，得 2 2 + = ，解得 = 0或 = ，
2
当 = 0时， ( ) = 2 2 ，
由 ( ) = ，得2 2 = ，解得 = 0或 = 1，
此时 ( )有两个不动点，不合题意；
1
当 = 时， ( ) = 2 2
1
+ ，
2 2
1 1
由 ( ) = ，得2 2 + = ，解得 = ，
2 2
此时 ( )只有一个不动点，符合题意，
1
综上，函数 ( )的解析式为 ( ) = 2 2 + ．
2
(2)
1
由 ( ) = ，得 2 3 2 + = 0，
3
∵对任意的实数 ，函数 ( )恒有两个不动点，
4
∴对任意的实数 ， = 9 2 + 8 > 0恒成立，
3
于是 = (8 )2
4 3
1 4 × 9 × ( ) < 0，即4
2 + 3 < 0，又 ≠ 0，解得 < < 0，
3 4
3
设函数 ( )的两个不动点为 1, 2，则 ( 1, 1), ( 2, 2)，又 1 + 2 = ，
+ + 3 3
于是线段 的中点 ( 1 2 , 1 2)，即 ( , )，
2 2 2 2
3 3 1 2
由题意，点 在函数 ( ) = + 2 的图象上，得 + 2 = ，整理得 = ， 3 +4 +2 2 3 +4 +2 2 3 3 2+4 +2
1 1 1 1
∴ =
3 1 2
=
4 3 1 2
，
2( ) + +3 2( +1) +1

3 1 4 1 1
∵ < < 0，∴ < ， + 1 < ，
4 3 3
1 2 1 1 2 11 1 9
∴ ( + 1) > ，2 ( + 1) + 1 > ，0 < < ，
9 9 1 2 11
2( +1) +1

3
∴ 0 < < ．
11
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