安徽省宿州市砀山县七校2024-2025学年高一（上）期中数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省宿州市砀山县七校 2024-2025 学年高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {9,3 }， = { 2 ,9}，且 ，则实数 =( )
A. 0 B. 3 C. ±3 D. 3或0
2.下列四个函数中，与 = 2 表示同一个函数的是( )
| | 2
2 3
A. = 2 B. = √ 4 2 C. = D. = √8 3

3.设 ∈ ，则“ > 0”是“ 2 + > 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
+ 2, ≥ 0,
4.已知函数 ( ) = { 则 ( 4) =( )
( + 2), < 0,
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
5.下列函数中，满足对任意0 < 1 < 2，都有 ( 1) > ( 2)的是( )
1 1
A. ( ) = | | B. ( ) = 3 C. ( ) = 2 + 2 D. ( ) = 3 +

6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的
学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. 63% B. 47% C. 55% D. 42%
7.对于任意的 ， ∈ ，定义运算： ⊙ = ( + 2).若不等式 ⊙ ( + ) + 4 > 0对任意实数 恒成立，
则 的取值范围是( )
A. ( 2,6) B. ( 6,2) C. ( 6,6) D. ( 2,2)
8.已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，且在( ∞, 0]上单调递减，则不等式 ( + 1) > (2 )的解集为( )
( 1 1 1 1A. , 0) B. ( , +∞) C. ( 1, ) D. ( , 1)
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的有( )
A. 2 B. √ 3 ∈
C. { ∣ 2 < 0} {0} D.
10.下列说法错误的是( )
A. 函数 = √ + 1 √ 1的定义域为[1, +∞)
B. 若 ( )是一次函数，且 ( ( )) = 16 + 5，则 ( ) = 4 1
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C. 函数 ( )的图象与 轴最多有一个交点
1
D. 函数 = 在( ∞, 1) ∪ ( 1, +∞)上单调递减
+1
2
1 1
11.已知 > 0， > 0，且(2 ) = 2 + 2 + ，则( )
2 4
9
A. ≥ 1 B. 2 + 2 ≥ 4 C. + ≥ 2 D. + 4 ≥
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题“ ∈ ，使 2 2 = 0”的否定为 ．
13.已知幂函数 ( ) = ( 2 2 2) 2 1的图象经过原点，则 的值是 ．
14.已知关于 的不等式 2 ( + 4) + 2 + 5 ≥ 0在( ∞, 2)上恒成立，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集 = { ∣ ≤ 4}，集合 = { ∣ 2 < < 3}， = { ∣ 3 ≤ ≤ 2}，求：
(1) ∩ ；
(2)( ) ∪ ；
(3) ∩ ( )．
16.(本小题15分)
1
已知集合 = { | < < + 1}， = { |2 2 + 3 > 0}．
2
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围；
(2)若集合 ∩ ( )中只含有两个整数元素且这两个元素非负，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知二次函数 ( )的图象关于直线 = 1对称，且经过点 (2,0), ( 2, 4)：
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若函数 ( )在[ , ]上的值域为[2 , 2 ]，求 , 的值．
18.(本小题17分)
小颖同学在一家广告设计公司参加暑期社会实践活动，要设计一个相邻两边长分别为 米、 米的矩形广告
牌，使其面积与一个相邻两边长分别为( + 10)米、1米的矩形的面积相等．
(1)求 关于 的函数 ( )，并求出 ( )的值域；
(2)如何设计广告牌，使其周长最小？
19.(本小题17分)
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( ) ( )
已知 ( )是定义在[

2,2]上的奇函数，满足 ( 2) = 4，且当 , ∈ [ 2,2], ≠ 时，有 < 0．

(1)判断函数 ( )的单调性；
(2)解不等式： (5 1) > ( + 1)；
(3)若 ( ) ≤ 2 3 + 4对所有 ∈ [ 2,2], ∈[ 2,2]恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ∈ ， 2 2 ≠ 0
13.【答案】3
14.【答案】 2
15.【答案】解：(1)
因为 = { ∣ 2 < < 3}， = { ∣ 3 ≤ ≤ 2}
所以 ∩ = { ∣ 2 < ≤ 2}．
(2)
因为 = { ∣ 2 < < 3}， = { ∣ ≤ 4}，
所以 = { ∣ ≤ 2或3 ≤ ≤ 4}，
所以( ) ∪ = { ∣ ≤ 2或3 ≤ ≤ 4}．
(3)
因为 = { ∣ 3 ≤ ≤ 2}， = { ∣ ≤ 4}，
因为 = { ∣ < 3或2 < ≤ 4}，
所以 ∩ ( ) = { ∣ 2 < < 3}
16.【答案】解：(1)
3
= { ∣ 2 2 + 3 > 0} = { | < 或 > 1}
2
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根据充分不必要条件的 定义可知 ，
3 1
所以 + 1 ≤ 或 ≥ 1，
2 2
5 3
解得 ≤ 或 ≥ ，
2 2
( 5 3故实数 的取值范围为 ∞, ] ∪ [ , +∞)．
2 2
(2)
3
由(1)可知， = { | ≤ ≤ 1}，则集合 中含有整数元素 1，0，1， 2
1
1 ≤ < 0,
由集合 ∩ ( )中只含有两个整数元素且这两个元素非负可知{ 2
+ 1 > 1,
1
解得0 < < ，
2
1
故实数 的取值范围为(0, )．
2
17.【答案】(1)解：因为二次函数 ( )的图象关于直线 = 1对称，设 ( ) = ( 1)2 + ，
+ = 0 1 1
把点 (2,0), ( 2, 4)代入可得{ ，解得 = , = ，
9 + = 4 2 2
所以 ( )
1 1 1 1
= ( 1)2 + = 2 + ，即二次函数的解析式为 ( ) = 2 + ．
2 2 2 2
1 1 1
(2)解：因为 ( ) = ( 1)2 + ≤ ，且 ( )在[ , ]上的值域为[2 , 2 ]，
2 2 2
1 1
所以2 ≤ ，可得 ≤ < 1，
2 4
由二次函数的性质可知， ( )在( ∞, 1)上单调递增，所以 ( )在[ , ]上单调递增，
1 2
( ) = 2 = 0
因为 ( )在[ , ]上的值域为[2 , 2 ]，所以{ ，即{ 2 ,
( ) = 2 1 2 = 0
2
1
即 , 是方程 2 = 0的两个根，
2
又因为 < ，解得 = 2, = 0．
18.【答案】解：(1)
由题意可知 = + 10，
+10
则 = ，
+1
+10
所以 ( ) = ( > 0)，
+1
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又 ( )
+10 9
= = 1 + ，
+1 +1
根据反比例型函数的单调性可知， ( )在(0, +∞)上单调递减，
所以1 < ( ) < (0)，即 1 < ( ) < 10，
故 ( )的值域为(1,10)．
(2)
设矩形广告牌的周长为 ，因为 > 0，所以 + 1 > 0，
+10 9 9
则 = 2( + ) = 2 ( + ) = 2 [( + 1) + ] ≥ 2 × 2√ ( + 1) = 12，
+1 +1 +1
9
当且仅当 + 1 = ，即 = 2时取得等号，
+1
2+10
此时 = = 4，
2+1
故设计的广告牌的宽为2米，长为4米时，其周长最小．
19.【答案】解：(1)
( )为奇函数，所以 ( ) = ( ), ( ) = ( )，
( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )
则由 < 0，得 < 0，得 > 0，

当 > 时， ( ) > ( )，函数 ( )在[ 2,2]上单调递增，
当 > 时， ( ) > ( )，函数 ( )在[ 2,2]上单调递增，
综上，函数 ( )在[ 2,2]上单调递增
(2)
由(1)知函数 ( )为[ 2,2]上的增函数，
5 1 > + 1
则{ 2 ≤ 5 1 ≤ 2
2 ≤ + 1 ≤ 2
1 3 1 3
解得 < ≤ ，故不等式的解集为( , ]．
2 5 2 5
(3)
因为 ( 2) = 4，所以 (2) = 4．
若 ( ) ≤ 2 3 + 4对所有 ∈ [ 2,2]恒成立，
则 ( ) 3max ≤ 2 + 4成立，且 ( )max = (2) = 4，
所以4 ≤ 2 3 + 4对 ∈ [ 2,2]恒成立，即2 3 ≥ 0对 ∈ [ 2,2]恒成立．
令 ( ) = 2 3 = 2 3 ，
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( 2) ≥ 0 3
则{ 即{ 4 ≥ 0 4
3
得{ + ≤ 0,
(2) ≥ 0 4 3 ≥ 0 4 3 ≥ 0
(4 2 + 1) ≤ 0 1
即{ ，解得 ≤ ≤ 0，
(2 + 1)(2 1) ≥ 0 2
1
故实数 的取值范围是[ , 0]．
2
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