高数人教A版（2019）选择必修第二册 5.3.1 函数的单调性 (第1课时)课件（27页ppt）

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选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数的在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解导数与函数的单调性的关系． 1.数学抽象素养.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法． 2.数学运算素养.
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 3.逻辑推理素养.
温故知新
1.基本初等函数的导数公式
①若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
③若f (x)＝,
则f '(x)＝；
④若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
温故知新
2.导数的四则运算法则：
导数的运算法则1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
导数的运算法则2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
导数的运算法则3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
温故知新
3.复合函数的导数法则
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y′x＝y′u·u′x.
写成：
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
温故知新
4.函数的单调性
一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D I：
⑴如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上单调递增；
⑵如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上单调递减.
x
y
o
m
n
f(x1)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x1
x2
f(x2)
O
x
y
m
n
新知探究
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更精确地研究函数的性质？本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的跳水问题.
新知探究
图⑴是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+2.8t+11的图象，图⑵是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+2.8的图象.a= ,b是函数h(t)的零点.
运动员从起跳到最高点，以及最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
t
h
a
O
b
(1)
t
h′(t)
a
O
b
(2)
新知探究
⑴从起点到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增，v(t)=h′(t)>0;
观察图象可以发现：
⑵从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递增，v(t)=h′(t)<0.
t
h
a
O
b
(1)
t
h′(t)
a
O
b
(2)
我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系.那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
在区间(0,a)上， h′(t)>0
在区间(0,a)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(0,a)上， h′(t)>0 在区间(0,a)上， h(t)单调递增；
在区间(a,b)上， h′(t)<0 在区间(a,b)上， h(t)单调递减.
这种情况是否具有一般性呢？
新知探究
观察下面一些函数图象(如图)，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
⑴
x
y
O
⑵
x
y
O
⑶
x
y
O
⑷
知新探究
函数
函数图象
单调区间
导函数
导数符号
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y′＝1
y′＝3x2
在R上单调递增
在(-∞, +∞)上，
y′ >0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上，f ′ (x)<0
知新探究
如图，导数f ′(x0)函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率.可以发现：
在x=x0处f ′(x0)>0
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
切线“左上右下”下降
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
在区间上， f ′(x)>0
在区间上，f (x) 单调递增
在x=x0处f ′(x0)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
切线“左上右下”下降
在区间上， f ′(x)<0
在区间上，f (x) 单调递减
知新探究
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
知新探究
探究1 对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？
在区间(a，b)上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
可导函数f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．
问题2 在区间(a，b)上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在区间(a，b)上为增(减)函数的充要条件吗？
不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f′(x)≥0成立的条件是f′(x)＝0，那么该函数无单调递增区间，不是增函数．
知新探究
【例1】利用导数判断下列函数的单调性：
⑴f (x)＝x3+3x; ⑵f (x)＝sin x－x，x∈(0，π) ;
⑶f (x).
解：
⑴∵f (x)＝x3＋3x，
⑵∵f (x)＝sin x－x，x∈(0，π)，
∴f ′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0．
∴函数f (x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图(1)所示．
∴f ′(x)＝0.
∴f ′(x)＝cos x－1＜0．
∴函数f (x)＝sin x－x在(0，π)内单调递减，如(2)所示．
⑶∵f (x)＝1－,x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴函数f (x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，如图(3)所示．
知新探究
注意：
⑴确定函数y＝f(x)的定义域；
⑵求导数y′＝f′(x)；
⑶解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
①如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，那么这些区间中间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接；
②在对函数划分单调区间时，除了注意使导数等于零的点，还要注意在定义域内的间断点；
③区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响；
④有时候为了简便而省去列表这一步骤，而是直接解不等式f′(x)>0得到单调递增区间，解不等式f′(x)<0得到单调递减区间．
初试身手
⑴∵f (x)＝x3－x2＋2x－5,
1.求下列函数的导数:
⑴f (x)＝x3－x2＋2x－5; ⑵f (x)＝x－－ln x;
⑶f(x)=.
解：
⑵∵f (x)＝x－－ln x,x∈(0，＋∞)，
∴f ′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，
∴函数f (x)＝x3－x2＋2x－5在R上单调递增.
∴f ′(x)＝＝＞0,
∴f (x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上单调递增.
初试身手
⑶∵f (x)＝的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),
1.求下列函数的导数:
⑴f (x)＝x3－x2＋2x－5; ⑵f (x)＝x－－ln x;
⑶f(x)=.
解：
∵x∈(-∞,2)∪(2,+∞)时，,
而f ′(x)＝，
令f ′(x)>0,得x>3,
∴f (x)＝在(3，＋∞)上单调递增.
令f ′(x)<0,得x<3,且x≠2,
∴f (x)＝在(-∞，2)和(2,3)上单调递减.
知新探究
【例2】已知导函数f′(x)的下列信息:
当1 0；
当x<1，或x >4时，f′(x) < 0；
当x = 1，或x = 4时，f′(x) = 0.
试画出函数f (x)图象的大致形状.
解：
当1 0，可知f (x)在区间(1,4)内单调递增；
当x<1，或x >4时，f′(x) < 0，可知f (x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)内单调递减；
当x = 1，或x = 4时，f′(x) = 0,这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.
综上，函数f (x)图象的大致形状如图所示.
x
y
O
1
4
初试身手
⑴当0 0，可知f (x)在区间(0,2)内单调递增；
2.⑴已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有
可能是图中的(　　)
解：
当x<0，或x >2时，f′(x) < 0，可知f (x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)内单调递减；
当x = 0，或x = 2时，f′(x) = 0,这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”.
∴综上，函数f (x)图象的大致形状如图D所示.故选D.
初试身手
⑵∵f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，
2.⑵已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则
不等式f′(x)>0的解集为(　　)
A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－2，－1)∪(1，2)
解：
∴在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.故选C.
新知探究
在区间(a,b)内，任取A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两点,则函数f(x)的平均变化率,其几何意义为直线AB的斜率.
若f(x)在区间(a,b)内单调递增，则直线AB的斜率为正，f(x)的导数为正(f′(x) > 0)；
若f(x)在区间(a,b)内单调递减，则直线AB的斜率为负，f(x)的导数为负(f′(x) > 0)．
如果一个函数在某个区间M上单调递增或单调递减，那么就说这个函数在区间M上具有单调性.
请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数f(x)的平均变化率的几何意义与f′(x)的正负的关系？
课堂小结
1.函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
⑴确定函数y＝f(x)的定义域；
⑵求导数y′＝f′(x)；
⑶解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.
2.求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
作业布置
作业： P87 练习 第1,2,3题
P97-98 习题5.3 第1,3题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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