2026届高二年级第三次月考数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ）
A． B． C． D．
2．设复数，则的虚部为（ ）
A．2i B． C．2 D．
3．已知直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）
A． B．0 C．5 D．
6.若圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段的垂直平分线的方程为
C．公共弦的长为
D．P为圆上一动点，则点P到直线的距离的最大值为
7.如图.一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D.E.F.经测量知SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1.这个容器最多可盛原来水的( )
A. B. C. D.
8．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平面内,下列说法错误的有（ ）
A．若两直线斜率相等，则两直线平行；
B．若，则；
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行.
10．已知复数z不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．复平面内，z与所对应的点关于实轴对称
C．，与都是实数
D．若，则z在复平面内所对应的点的轨迹为圆
11．如图，点，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上段圆弧，是以OA为直径的圆上段圆弧，三段弧构成曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线与x轴围成的图形的周长等于
B．过点的直线l与所在圆相交所得弦长为，则l的直线方程为
C．所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为
D．过点B的直线l在两坐标轴上截距相等，则l的直线方程为
三、填空题
12．已知复数满足，则__________.
13．已知三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm和8cm的直角三角形,各侧面与底面的夹角均为60度，则该三棱锥的高是__________cm
14．已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6m,在一场暴雨后水面上涨了1m，宽变为4m(如图).根据以上数据，计算暴雨后圆拱顶距水面的距离是_____________米。
四、解答题
15（13分）
（1）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.
（2）求与椭圆离心率相同，且经过点的椭圆的标准方程.
16．（15分）．已知直线，圆.
(1)若直线m过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线m的方程；
(2)若直线与圆相离，求的取值范围；
(3)若直线与圆交于，两点，是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
17．（15分）在四棱柱中，底面ABCD是菱形，且.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求棱 AA1 与平面ABCD的夹角的大小
.求二面角的大小.
18．（17分）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的中点的横坐标为，求直线的方程；
(3)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程.
19．（17分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点．
(1)若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；
(2)若AC＝2，，求二面角的余弦值．
2026届高二年级第三次月考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C D B A ABD BD
题号 11
答案 AC
12．/ 13．2 14．-3
15.（1）5分 (2)8分
16. 【详解】
（1）当直线m过原点时，直线的方程是，即.------ --------2分
当直线m不过原点时，设直线m的方程为，
把点代入方程得，则直线m的方程是.--------3分
综上，所求直线m的方程为或
（2）圆的标准方程为.
其圆心为，半径为.
直线的一般方程为.
∵直线与圆相离，
∴圆心到直线的距离，
化简得，解得或.
∴的取值范围为.-----------5分
（3）若存在过点的直线垂直平分弦，则直线'必过圆心，
∴直线的斜率，即直线的斜率，，
∵直线垂直于弦，
∴弦所在直线，即直线的斜率，
由第（1）问，当时，直线与圆相离，与题设矛盾.
故不存在过点的直线垂直平分弦.-----------------5分
17．（1）详见解析；（2）.（3）.
【分析】（1）设AC与BD的交点为O，由题可得，AC⊥BD，然后利用线面垂直及面面垂直的判定定理即得；
（2）建立空间直角坐标系，分别得到两个平面的法向量，根据向量夹角公式即得.
【详解】（1）因为，
所以和均为正三角形，于是，
设AC与BD的交点为O，则，
又ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
而，平面，平面，
所以BD⊥平面，平面，
故平面平面.-----------------5分
（（2）.-----------------------5分
（3）因为，
∴，，
∴，，
于是，，
从而，
又，，平面ABCD，平面ABCD，
所以底面ABCD，
如图，建立空间直角坐标系，则，
∴，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，
平面的一个法向量为，
则，
故二面角的大小为.------ ----------------5分
18．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据椭圆的定义以及之间的关系求出，可得椭圆方程；
（2）假设直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出直线斜率，进而求出直线方程；
（3）利用圆的直径对应的圆周角为，利用向量运算求出直线斜率，进而求出直线方程.
【详解】（1）由已知得，所以.
因为，所以.
所以.
所以椭圆的标准方程为------------5分
（2）因为直线过，
当斜率不存在时，直线的方程为，与无交点.
当斜率存在时，设，即.
联立直线的方程与椭圆的方程得方程组，
消去，整理得，
由已知，即，
设，，由韦达定理可知，，
因为线段的中点横坐标为，所以，得.
于是---------------6分，方程为 或者.
（3）因为，，
所以.
将，代入上式可得
，
由题意可知，所以，
即，
解得，即.------6分
方程为或者.
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.
（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
【详解】（1）因为D，H分别是PA，PC的中点，所以．
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，
综上，，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF．
由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，
所以，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF．-----------7分
由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG．
（2）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，
所以，又，则．
因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，
又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，
所以平面ABC，面ABC，故．
综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
有，，，，则，，．
设平面BPC的法向量为，则，令，则．
设平面PCA的法向量为，则，令，则．
所以．由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．---------------------10分2026届高二年级第三次月考数学试题答题卡
姓名： 班级： 考场/座位号：
准考证号填涂区
一、单选题（1-8）（每题5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
多选题（共18分）（每题6分，共18分）
填空题（共15分）
注意事项
1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。
3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。
正确填涂 缺考标记
9 10 11
12.
13.
14.
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15.（13分）
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16. （15分）
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17.（15分）
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18.（17分）
19.（17分）
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