浙江省杭州市2024-2025学年高考一模数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省杭州市 2024-2025 学年高考一模数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，共 46 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = { | = √ 1 2}，则 ∩ =( )
A. {1} B. {0,1} C. { 1,1} D. { 1,0,1}
1, ≥ 0
2.函数 ( ) = { 是( )
1, < 0
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数
2 2
3.已知直线 = 2 是双曲线 ： 2 = 1( > 0)的一条渐近线，则 的离心率等于( ) 4
√ 5 √ 3 √ 5
A. B. C. √ 5 D. 或√ 5
2 2 2
4.将函数 = 的图像向左平移 (0 < < 2 )个单位，得到函数 = ( )的图像，则“ = ( )是偶函

数”是“ = ”的( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量 = (1, 1), = (2,1)，若( + ) ⊥ ( 2 + )，则 =( )
1 1
A. 1或 B. 2或 C. 1或2 D. 2或1
2 2
6.设 ( ) = + ，满足 ( ) ( ) ( ) < 0(0 < < < ).若函数 ( )存在零点 0，则( )
A. 0 < B. 0 > C. 0 < D. 0 >
1
7.已知 = 4，则 =( )
10 10
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
8.对 ∈ [1,+∞)，不等式(( )2 1)( ) ≥ 0恒成立，则( )
1 1
A. 若 ∈ (0, )，则 ≤ B. 若 ∈ (0, )，则 >

1 1
C. 若 ∈ [ , )，则 = D. 若 ∈ [ , )，则 =

9.如图，在正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ， 为正方体的顶点.则满足 ⊥ 的是( )
第 1 页，共 9 页
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知函数 ( ) = 3 2 ( ≥ 0)，则( )
A. 若 ( ) = (1)，则 = 1
1
B. 若 ( ) = (1)，则 = 3
C. 若 = 1，则 ( )在(0,1)上单调递减
1
D. 若 = ，则 ( )在(1,3)上单调递增
3
11.已知函数 ( )的定义域为 ，若 ( ( ) + ) = + ( ) ( )，则( )
A. (1) = 0 B. ( ( )) =
C. ( ) = ( ) ( ) D. ( + ) = ( ) ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = 在点 ( , 1)处切线的方程为______．

13.已知复数 1， 2的实部和虚部都不为0，满足①|
1 | = 2；②| 1 2| = 2，则 1 = ______， 2 = ______. ( 2
写出满足条件的一组 1和 2)
14.已知双曲线 1， 2都经过点(1,1)，离心率分别记为 1， 2，设双曲线 1， 2的渐近线分别为 = ± 1 和

= ± 2 .若
1
1 2 = 1，则 = ______． 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知在△ 中，sin2 sin2 = sin2 √ 3 , 2 = ．
(1)判断△ 的形状，并说明理由；
(2)若点 在 边上，且 = 2 .若 = 2，求△ 的面积．
第 2 页，共 9 页
16.(本小题12分)
在直角坐标系 中，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 在抛物线 上，若△ 的外接圆与抛
9
物线 的准线相切，且该圆的面积为 ．
64
(1)求 的方程；
(2)若点( 1,1)关于直线 = 对称的点在 上，求 的值．
17.(本小题12分)
一设随机变量 所有可能的取值为 1， 2， ， ， ( = ) = > 0( = 1,2, , )，且 1 + 2 + = 1.
定义事件 = 的信息量为 = ，称 的平均信息量 ( ) = ( 1 1 + 2 2 + + )为信息
熵．
(1)若 = 3， +1 = 2 ( = 1,2)，求此时的信息熵；
(2)最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状
态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小(最合理)的决定.证明： ( ) ≤ ，并解释
等号成立时的实际意义．
(参考不等式：若 ( ) = ，则∑ =1 (

) ≤ (∑ =1 ))
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 3 1．
(1)若 = 1，求 ( )的单调区间；
(2)若0 ≤ ≤ 3，求证： ( ) < 0；
( )+ 3+1
(3)若 ( ) = , 1 ≠ 2使得 ( 1) = ( 2) = ，求证： + 1 < | 1 2| < + 1．
19.(本小题12分)

已知正项有穷数列 ： 1， 2， ， ( ≥ 3)，设 = { | = , 1 ≤ < ≤ }，记 的元素个数为 ( )．
(1)若数列 ：1，2，4，16，求集合 ，并写出 ( )的值；
(2)若 是递增数列或递减数列，求证：“ ( ) = 1”的充要条件是“ 为等比数列”；
(3)若 = 2 + 1，数列 由2，4，8， ，2 ，4 这 + 1个数组成，且这 + 1个数在数列 中每个至少出
现一次，求 ( )的取值个数．
第 3 页，共 9 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 = 0
√ 2 √ 2
13.【答案】√ 2 + √ 2 +
2 2
14.【答案】1
15.【答案】解：(1) △ 为直角三角形，理由如下：
由sin2 sin2 = sin2 √ 3 及正弦定理，
可得 2 2 = 2 √ 3 ，故√ 3 = 2 + 2 2，
2 2 2
由余弦定理，可得 + √ 3 √ 3 = = = ，
2 2 2

由于 ∈ (0, )，故 = ，
6
又2 = ， + = ，
则 √ 3 12 = sin( + ) = sin( + ) = + ，
6 2 2
化简可得 = √ 3 ，故 = √ 3，

由于 ∈ (0, )，故 = ，
3

进而 = = ，
2
故三角形 为直角三角形；

(2)由(1)知： = ， = ，且△ 为直角三角形，
3 6
第 4 页，共 9 页
1 2
设 = 2 ，则 = √ 3 , = , = = ，
3 3
故在△ 中，由余弦定理，
可得 2 = 2 + 2 2 ，
即 2 2 √ 34 = ( )2 + (√ 3 )2 2 ( ) (√ 3 ) ，
3 3 2
36
解得 2 = ，
13
1 √ 3 √ 3 36 6√ 3
故 △ = =
2 = × = ．
2 6 6 13 13
16.【答案】解：(1)在直角坐标系 中，抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，
9
点 在抛物线 上，若△ 的外接圆与抛物线 的准线相切，且该圆的面积为 ．
64
3
则其半径为 ，
8
且△ 外接圆的圆心一定在 的垂直平分线上，

其中焦点 ( , 0)，准线方程为 = ，
2 2
3 3
所以圆心的横坐标为 ，则圆心到准线的距离为 + = = ，
4 2 4 4 8
1
即 = ，
2
所以 的方程为 2 = ．
(2)设点( 1,1)关于直线 = 对称的点为( , )，
1 +1
则两点连线的中点坐标( , )在直线 = 上，
2 2
+1 1
即 = ，
2 2
化简可得 = ( 1) 1①，
由对称性又可知，( 1,1)和( , )所在直线与 = 垂直，
1
则 = 1②，
+1
( 1) 1 1
联立①②可得， = 1，
+1
2
+2 1
解得 = ， 2
+1
2
2 1
所以 = ， 2
+1
又因为( , )在抛物线 2 = 上，
则 2 = ，
第 5 页，共 9 页
2 2 2
( 2 1) +2 1
即 2 2 = 2 ，
( +1) +1
即 4 + 4 2 4 3 + 1 2( 2 2 ) = ( 2 + 1)( 2 + 2 1)，
即3 3 2 1 = 0，
所以(3 2 + 2 + 1)( 1) = 0，
所以 1 = 0，
即 = 1．
17.【答案】解：(1)当 = 3时， 1 + 2 + 3 = 1，且 2 = 2 1， 3 = 2 2，
1 2 4
∴ 1 = , = , 7 2 7 3
= ，
7
1 1 2 2 4 4 1 210 10
∴ ( ) = ( 1 1 + 2 2 + 3 3) = ( ln + ln + ln ) = ln = 7 2； 7 7 7 7 7 7 7 77 7
(2)证明：令 ( ) = ，则 = ( )，
∴ ( ) = ( 1 1 + 2 2+. . . +

) = ∑ =1 ( ) ≤ (∑
2
=1 )，
1
由题意可知当 = 时，风险最小(最合理)的决定，
1
∴ ( ) ≤ ( ) = ，

当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最
复杂的，也是最合理的．
18.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 3 1， ∈ (0,+∞)，
则 ′( ) = + 1 3 2，令 ( ) = ′( )，
1
则 ′( ) = 6 ，

√ 6
令 ′( ) > 0，解得0 < < ，
6
√ 6
令 ′( ) < 0，解得 > ，
6
√ 6 √ 6
∴ ′( )在区间(0, )上单调递增，在区间( , +∞)上单调递减，
6 6
√ 6 √ 6 1 1 1
∴ ′( ) ≤ ′( ) = ln + = (ln + 1) < 0，
6 6 2 2 6
∴ ( )的单调递减区间是(0,+∞)，无增区间．
(2)证明：∵ ∈ (0,+∞)，
当 ∈ (0,1)时， ( ) < 0显然成立，
当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) = ( + 1) 3 2，令 ( ) = ′( )，
第 6 页，共 9 页
6
∴ ′( ) = < 0，

∴ ′( )在区间(1,+∞)上单调递减，∴ ′( ) < ′(1) = 3 ≤ 0，
∴ ( )在区间(1,+∞)上单调递减，∴ ( ) < (1) = 2 < 0，
综上所述，当0 ≤ ≤ 3时， ( ) < 0．
(3)证明： ( ) = ，
1
∴ ′( ) = + 1，令 ′( ) < 0，则0 < < ，

1 1
∴ ( )在区间(0, )上单调递减，在区间( , +∞)上单调递增，

1 1
∵ ( ) = ，

1
∴ ∈ ( , 0)．

1 1
不妨设 1 < 2，则 1 ∈ (0, )， 2 ∈ ( , 1)，
1 1
先证： 2 1 > + 1，设 ( , )， (1,0)，
1
易知直线 方程为 = ，直线 方程为 = ( 1)，
1
则直线 ， 与直线 = 交点的横坐标为 4 = ， 5 = ( 1) + 1，
∴ 5 4 = + 1，
∵ 4 = = 1 1 > 1，同理可证： 4 < 2，
∴ 1 < 4 < 2，类似的可以证明 1 < 5 < 2，
∴ 5 4 < 2 1，即 + 1 < 2 1；
再证： 2 1 < + 1，
易知 ( )在 = 1处的切线方程为 = 1，该切线与直线 = 的交点的横坐标为 3 = + 1，
令 ( ) = ( ) ( 1) = + 1，则 ′( ) = ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，此时 ( ) > (1) = 0，
∴当 ∈ (0,1)时， = 1图像在 ( )下方．
∴ 3 > 2 1，
∴ 2 1 < 3 < + 1；
综上， + 1 < | 1 2| < + 1，即得证．
19.【答案】解：(1)因为 1 = 1， 2 = 2， 3 = 4， 4 = 16，
2 3 故 = 2, = 4, 4 = 16, 3 = 2, 4 = 8, 4 = 4，
1 1 1 2 2 3
第 7 页，共 9 页
所以 = {2,4,8,16}， ( ) = 4；
(2)证明：充分性：
若 是等比数列，设公比为 ．
不妨考虑数列 是递增数列，所以 > 1．

则当 > 时， = ．

所以 = { , 2, 3, , 1}，
故 ( ) = 1，得证；
必要性：若 ( ) = 1．
因为 是递增数列，

所以 2

< 3 < < ，
1 1 1

所以 2 , 3 , … , ∈ 且互不相等，
1 1 1
又 ( ) = 1，
2 3 所以 = { , , … , }，
1 1 1

又 3 < 4 < < 1 < < ，
2 2 2 2 1
3 所以 , 4 , … , 1

, , ∈ ，且互不相等．
2 2 2 2 1

所以 3

= 2

， 4 = 3

，…， = 1．
2 1 2 1 2 1

所以 2

= 3

= 4 = = ，
1 2 3 1
所以 为等比数列；
若 为单调递减数列，同理可证．
(3)因为数列 由2，4，8， ，2 ，4 这 + 1个数组成，任意两个不同的数作商(可相等)，
1 1 1 1 1
比值只可能为1,2, 22, , 2 1, 2 , , 22 1, , ( )2, , ( ) 1, ( ) , , ( )2 1，
2 2 2 2 2
共2 + 2 1 = 4 1个不同的值；
又因为2，4，8， ，2 ，4 这 + 1个数在数列 中共出现 = 2 + 1次，
所以数列 中存在 = ( ≠ )，所以1 ∈ ．
综上， ( ) ≤ 4 1，且 ( ) ≥ 2 ．
设数列 2 1 2 10：2，2 ， ，2 ，2 ，2 ，2 ，2 ，
第 8 页，共 9 页
1 1 1 1 1
此时 = {1,2, 22, , 2 1, 2 , , 22 1, , ( )2, , ( ) 1, ( ) , , ( )2 1}，共2 + 2 1 = 4 1个元素，
2 2 2 2 2
所以 ( ) = 4 1．
现对数列 0分别作如下变换：
把前面的2 移动到22 和后面的2 之间，得到数列：2，22， ，2 1，22 ，2 ，2 ，21，
1 1 1 1 1
此时 = {1,2, 22, , 2 1, 2 +1, , 22 1, , ( )2, , ( ) 1, ( ) , , ( )2 1}，共2 1 + 2 1 = 4 2个
2 2 2 2 2
元素，
所以 ( ) = 4 2．
再把前面的2 1移动到2 1和2 之间，得到数列：2，22， ，2 2，22 ，2 ，2 ，2 1，2 1， ，21，
此时 = {1,2, 22, , 2 1, 2 +2, , 22 1
1 1 1
, , ( )2, , ( ) 1
1
, ( )
1
, , ( )2 1}，共2 2 + 2 1 = 4 3个
2 2 2 2 2
元素，
所以 ( ) = 4 3．
……
依次类推，最后把前面的2移动到最后一项，得到数列： ：22 , 2
, 2 , 2 1, 2 1, 2,2，
1 1 1 1
此时 = {1, , ( )2, , ( ) , , ( )2 1}，共2 1 + 1 = 2 个元素，
2 2 2 2
所以 ( ) = 2 ，
综上， ( )可以取到从2 到4 1的所有2 个整数值，所以 ( )的取值个数为2 ．
第 9 页，共 9 页