四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试 数学（PDF版，含答案）

成都七中高二上期 12月考试数学试题
2024.12.24
一.单项选择题：本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.一个班级有男生 28 人,女生 24 人,按照性别进行分层,用分层随机抽样的方法从该班抽取了
男生 7 人,则女生被抽取的人数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C : x2 + y22.已知圆 和圆 2 21 +8x 20 = 0 C2 : x + y 6y = 0 ,则两圆公共弦所在直线方程为
( )
A.8x +3y 20 = 0 B. 4x +3y 10 = 0 C. 4x 3y +10 = 0 D. 2x +3y +5 = 0
3.设 x R ,向量a = (x,1,1) ,b = (1, 2,1) ,且a ⊥ b ,则 (a +b)2 等于( )
A.3 B.9 C. 5 D.5
4.甲、乙两人在一座 7 层大楼的第一层进入电梯,假设每个人从第 2 层开始在每一层离开电
梯的可能性是相等的,则甲、乙两人离开电梯时的楼层数之和为 9 的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
18 9 6 9
5.已知点 A(1,2)在抛物线C : y = ax2 上,则抛物线C 的准线方程为( )
1 1 1 1
A. x = B. y = C. x = D. y =
2 2 8 8
6.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率
x2 y2
π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C : + =1(a b 0)的面积为
a2 b2
6 2π ,焦距为2 6 ,则C 的离心率为( )
2 1 2 3
A. B. C. D.
4 2 2 2
π
7.如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1中, ACB = , AC = 2 , BC =1 ,
2
AA1 = 2 ,点D 是棱 AC 的中点,点E 在棱BB1 上运动,则点D 到直线
C1E 的距离的最小值为( )
3 5 4 5 5 5
A. B. C. 5 D.
5 5 4
2 2
8.已知点P1(0, 4), P2 (0,2), 圆C : x + y +12x 14y + 36 = 0 ,若点Q在圆C 上,
且 P1Q + P2Q = ,则实数 的最小值是( )
A.3 B.6 C.9 D.36
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四.解答题：本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)对某次考试成绩(单位：分)进行分析,随机抽取100名学生,将分数按照 30,50) ,
50, 70) , 70,90) , 90,110) , 110,130) , 130,150 分成6 组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)估计这次考试成绩的平均分；
(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在 70,90)和[130,150]
的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 4 名学生,再从这 4 名学生中随机抽取2
名学生进行问卷调查,求抽取的这2 名学生成绩都在 70,90)内的概率.
2
16.(15 分)已知抛物线C : y = 2px ( p 0)的焦点为F ,点 A(3, y0 )在抛物线C 上,且 AF = 4 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点T (2,0)的直线 l 与抛物线C 交于M 、N 两点,若点B ( 1, 1)满足BM BN =1,
求直线 l 的方程.
17.(15 分)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1中, AA1 与 BB1 的距离为 3 , AB = AC = A1B = 2 ,
AC = BC = 2 2 . 1
(1)证明：平面 A1ABB1 ⊥平面 ABC ；
(2)若点 N是棱 A1C1的中点,求直线 AN与平面 A1B1C 所成角的正弦值.
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x2 y2
18.(17 分)已知双曲线C : =1(a 0,b 0)过点 (2,3) ,双曲线C 的一条渐近线方程
a2 b2
为 3x y = 0 .
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)若点 P 为双曲线C 右支上一点, A(3, 0) ,求 PA 的最小值；
1 1
(3)过点F (2,0)的直线 l 与双曲线C 的右支交于M , N 两点,求证: + 为定值.
| MF | | NF |
2 p
19.(17 分)已知焦点为F 的抛物线C1 : y = 2px( p 0)与焦点分别为F 、1(0, )
2
p y2
F (0, ) 2的椭圆C2 : x + =1交于P2 2 1, P2 两点. 2 a
2p
(1)求 的取值范围；
a2
(2)若 P1, F , P2 三点共线,求椭圆C2 的方程；
S
(3)记 F1F2P1的面积为 S ,求 的最大值.
a2
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成都七中高二上期 12月考试数学试题参考答案
一.单项选择题：本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.C 2. B 3. B 4.C 5. D 6. C 7. A 8. B
2
8. = P1Q + P2Q = 2 | QT |, 其中T (0, 1).
2
于是点Q的轨迹 x + (y +1)2 = ,再考虑圆圆
4

位置关系即可得 3.
2
二.多项选择题：本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项是符
合题目要求的.全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. ACD 10. ABD 11. CD
1 1 1
11.注意O在曲线C 上,且曲线C : (x2 )2 + (y2 )2 = .事实上曲线C 是对称的.
2 2 2
三.填空题：本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
3 65
12. 13. 6 4 2 14.
5 5
14.设 | CF2 |= 2m,| AF2 |= 3m,| BF1 |= n, 用 A, B两点的第一定义即可表示其它线段长度.
4an 2a(2a n)
再利用垂直条件得3m = ,利用cos CAF1得3m = .于是m,n 都可以用a
2a n 5n 2a
表示即可.
四.解答题：本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：(1)由0.005 20+0.005 20+0.0075 20+0.02 20+ a 20+0.0025 20 =1 ,
得 a = 0.01 . 3分
数学成绩在： 30,50)频率0.0050 20 = 0.1 , 50,70)频率0.0050 20 = 0.1 ,
70,90)频率0.0075 20 = 0.15 , 90,110)频率0.0200 20 = 0.4 ,
110,130)频率0.0100 20 = 0.2 , 130,150 频率0.0025 20 = 0.05 ,
样本平均数为40 0.1+ 60 0.1+80 0.15+100 0.4+120 0.2+140 0.05 = 93 .
据此可以估计这次考试成绩的平均分为 93 分. 7分
(2)由题意可知, 70, 90)分数段的人数为100 0.15 =15 (人).
[130,150]分数段的人数为100 0.05 = 5 (人),
则在 70,90)分数段内抽 3 人,分别记为 A1 , A2 , A3 ,在[130,150]分数段内抽 1 人,分别记为B .
设“从样本中任取2 人,都在分数段 70,90)内”为事件 A ,
则样本空间 = A A , A A , A B, A A , A B, A B1 2 1 3 1 2 3 2 3 共包含 6 个样本点,
3 1
而事件 A = A A , A A , A A1 2 1 3 2 3 包含 3 个样本点.所以 P (A) = = ,
6 2
1
所以抽取的这 2 名学生成绩都在 70,90)内的概率为 . 13分
2
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AN n 3 3 3 105
则可得 sin = cos AN , n = = = .
AN n 5 7 35
3 105
即直线 AN与平面 A1B1C 所成角的正弦值为 . 15分
35
4 9
=1 a2 b2 a =1
18.解：(1)依题意有 ,解得 .
b b = 3= 3
a
y2
故双曲线C 的标准方程为 x2 =1. 4分
3
(2)点 P 为双曲线C 右支上一点,设P (x0 , y0 ) , x0 1,
2 2 2 2 2 3 2 15则 PA = (x0 3) + y 0 = (x0 3) + 3x0 3 = 4x0 6x0 + 6 = 4(x0 ) +
4 4
注意到 x0 1 ,所以当 x0 =1时, PA 取到最小值 2. 9分
(3)当过点F (2,0)的直线 l 的斜率不存在时,方程为 x = 2 .
1 1 1 1 2
此时不妨取M (2,3), N ( 2,3) ,则 + = + = .
| MF | | NF | 3 3 3
当过点F (2,0)的直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y = k(x 2),M (x1, y1 ) , N (x2 , y2 )，
y = k(x 2)

不妨令 x1 2,1 x2 2 2 3 k
2 x2 + 4k 2, 联立 得 x 4k
2 3 = 0，
x2
y ( )
=1
3
由于直线 l 过双曲线的右焦点,必有 0 .
直线 l 与双曲线C 的右支交于M , N 两点,需满足 k 3或 k 3 ,
4k 2 4k 2 3
则 x , 1 + x2 = , x1x2 =
3 k 2 3 k 2
1 1 1 1 1 1 1
则 + = + = +
MF NF 2 2 21+ k x 2 1+ k x 2 1+ k x 2 2 x
1 2 1 2
1 x x 1 x x 2
1 2 = 1 2 1 (x1 + x2 ) 4x1x= 2=
2
1+ k ( x 2)(2 x ) 21+ k 2( x + x1 2 ) x x 41 2 1 2 1+ k 2 2(x1 + x2 ) x1x2 4
2
2 2
2 4k 4k 3 6 k +1
2 4 2 2
1 3 k 3 k 1 (3 k ) 21 6 k +1 2
= = = = .
2 2
2
1+ k 4k 4k 3 2 2
2 4 1+ k
9 1+ k 9 3
2 2 2
3 k 3 k 3 k
1 1 2
综合以上可知 + 为定值 . 17分
| MF | | NF | 3
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p p p2
19.解：(1)因为椭圆C2 的焦点F (0, ) 、 F (0, ) 在 y
2
轴上,所以a =1+ . 1 2
2 2 4
2 p 2 p 8p 8 4
于是 = = = ,因为 p 0 ,所以 p + 4 ,当且仅当 p = 2 取等,
2 p2a p2 + 4 4 p
1+ p +
4 p
2 p 8 2p
从而 = (0,2].所以 的取值范围为 (0,2] . 5分
a2 4 a2
p +
p
p
(2)因为P1, P2 关于 x 轴对称,所以 x = x = , P1 P2 2
y2
又 P 21, P2 是抛物线C1 : y = 2px( p 0)与椭圆C2 : x
2 + =1的交点.
a2
2 2
2 2 2 2 2 2 p 2 2 p
所以 yP = yP = p , y1 2 P = yP = a (1 ) .于是 p = a (1 ) . 1 2 4 4
p2
又 = a2 1 2,所以4(a 1) = a2 (2 a2 )
2
,于是a = 5 1.
4
2
2 y
所以椭圆C2 的方程是C2 : x + =1. 10分
5 1
y2 = 2 px,

y x2
2p
(3)联立 y2 消 得 + x 1= 0(x 0) , 2 2
x + =1, a2
a
2 p
记m = ,由(1)知m (0,2].
a2
2 m+ m
2 + 4
即 x +mx 1= 0(x 0) ,从而 xP = xP = . 1 2 2
1 1 1 m + m2 + 4
| F1F2 | xP pxP p S 2 1 1 1 2 p= = 2 = 2 2 = ( m+ m2 + 4)
a2 a2 a2 a2 8 a2
1 1 4 1 m
= m ( m+ m2 + 4) = m =
8 8 m+ m2 + 4 2 m+ m2 + 4
1 1 1 1 2 1
= = , 当且仅当m = 2 取等.
2 4 2 4 2
1+ 1+ 1+ 1+
m2 22
由(1)知m = 2 时相应的 p = 2 .
S 2 1
所以 的最大值为 . 17分
a2 2
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