三角形三线的相关证明与计算 期末复习（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

三角形三线的相关证明与计算
1.下列图形中AD 是的高的是 ( )
2.如图,BD是的角平分线,ED⊥BC,∠BAC =90°,若∠C =30°,AD=3,则AC的长为 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.如图,△ABC的三条中线AD,BE,CF 交于点 G.若AG:GD =2:1,S△ABC=12,!，则图中阴影部分的面积和为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.如图，BD,CE分别是等边三角形 ABC 中AC,AB 边上的中线，且交于点 F，则∠EFD 的度数为______.
5.如图,的周长为21, BD为的中线，且的周长比的周长大6,求AB,BC的长.
6.如图,AD 是的角平分线， AF 是的中线.若求△ADF的 面积.
7.如图,在△ABC 和 中， AD平分∠BAC交BC 于点 D.
(1)在△A'B'C'中,作出 的平分线 并交B'C'于点 D'.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
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(2)在(1)的条件下,若AD =A'D',求证:BD=B'D'.
8.如图,在△ABC 中,BA =BC,AE 是△ABC 的角平分线,BF 是△ABC的中线,AE,BF相交于点 M,∠AMF=54°.
(1)求∠C的度数;
(2)若AB=10,求AC+CE的值.
9.如图,在△ABC中,∠C=60°,AD 是边BC上的高,两条角平分线AE 和BF相交于点 O.
(1)求∠EOF的度数.
(2)若∠ABC=α(α>60°),请用含α的式子表示∠EAD 的度数.
10.在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,D为BC边上一点,连接AD,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点 F.
(1)如图(1),若AD为△ABC的角平分线,则∠1 和∠2 相等吗 请说明理由.
(2)如图(2),若AD为△ABC的高,求∠1和∠2的度数.
参考答案
1. D
2. C ∵BD 是△ABC的角平分线,ED⊥BC,∠BAC=角千分线的性质90°,∴DE=AD=3.∵∠C=30°,∴CD=2DE=6,∴AC=6+3=9.
3. B ∵△ABC的三条中线AD,BE,CF交于点 G,
4.120° ∵ BD,CE 均是等边三角形 ABC 的中线 等边三角形“三线合一”
∴∠EFD=∠ABD+∠BEC=120°.
由题意可得,∠A=60°,∠AEF=∠ADF=90°,∴∠EFD=
5.∵ BD是△ABC的中线,
∵△ABD的周长比△BCD的周长大6,
∴(AB+AD+BD)-(BD+CD+BC)=AB-BC=6.
∵△ABC的周长是21,AB=AC,
∴2AB+BC=21.
整理得解得
6.过点 D作DM⊥AB于点 M.
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,
∴DM=DE=5,
∵AF是△ABC的中线,
【技巧】面积作差法
7.(1)如图所示.
(2)证明:∵∠B=∠B',∠C=∠C',
∴∠BAC=∠B'A'C'.
∵AD平分∠BAC,A'D'平分∠B'A'C',
∴∠BAD=∠B'A'D'.
∵AD=A'D',
∴△BAD≌△B'A'D'(AAS),
∴BD=B'D'.
8.(1)∵BA=BC,BF是△ABC的中线,∴∠AFM=90°.
等腰三角形“三线合一”
∵∠AMF=54°,∴∠CAE=90°-54°=36°.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠BAC=2∠CAE=72°.
∵BA=BC,∴∠C=∠BAC=72°.
(2)∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠BAE=∠CAE=36°,
∴∠CEA=180°-36°-72°=72°=∠C,
∴AE=AC.
∵∠CBA=180°-72°-72°=36°,
∴∠BAE=∠CBA,
∴BE=AE,∴AE=AC=EB,
∴AC+CE=BE+CE=BC=AB=10.
9.(1)在△ABC中,∵∠C=60°,
∵AE平分∠BAC,BF平分∠ABC,
∴∠EOF=∠AOB=120°.
(2)∵∠C=60°,∠ABC=α,
∵AE平分∠BAC,
∵AD 是边 BC上的高,∴∠DAB=90°=α,
10.(1)∠1=∠2.
理由:∵DE⊥AB,DF⊥AC,且∠BAC=90°,
∴DE∥AC,DF∥AB,
∴∠1=∠DAC,∠2=∠DAB.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB,
∴∠1=∠2.
(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°,
∴DE∥AC,∴∠BDE=∠C=30°,
∴∠1=∠ADB-∠BDE=60°.
∵∠FDC=180°-∠DFC-∠C=60°,
∴∠2=∠ADC-∠FDC=30°.
(2)由题意得,∠AFD=∠AED=∠BAC=∠ADC=90°.
∵∠C=30°,∴∠DAC=60°.
∵∠AFD=90°,∴∠2=30°,
∴∠1=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD-∠2=60°.