整式乘法与因式分解在探究题中的应用 期末复习（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

整式乘法与因式分解在探究题中的应用
1.观察下列各式：
根据上面各式的规律解答下列问题：
(n是正整数)；
(2)请求出 的值；
(3)请求出 的值的个位数字.
2.“回文联”是我国对联中的一种，既可顺着读，又可倒着读，文字一样，韵味无穷.数学中也有像“回文联”一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
(1)下列选项中能构成“回文等式”的是 .
与
与
与
(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律，并用整式乘法相关知识证明.
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3.(1)图(1)是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形[如图(2)所示].请写出 ab之间的等量关系： .
(2)若m+n=6, mn=5,则 m﹣n= .
(3)如图(3),正方形ABCD 的边长为x , 长方形 EFGD的面积是300,四边形 NGDH 和四边形 MEDQ 都是正方形，四边形 PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.
4.我们把多项式 及 叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变.这可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.例如，分解因式：
求代数式 的最小值：
对于代数式 无论x取何值， 都大于或等于0，再加上-8，则 有最小值-8.
根据材料解决下列问题.
(1)分解因式：
(2)多项式 是否有最大值 若有，请求出这个最大值.
(3)已知 求a,b 的值.
答案
1.
(2)原式
(3)原式
因为 64,…,
所以2的整数次幂的个位数字依次是2，4，8，6,2,…,呈周期性循环.
因为2023÷4=505……3,
所以的个位数字是8，
所以 的个位数字是7.
2.(1)C
解法提示:18×31=558,13×81=1053,558≠1053,故A选项不符合题意;46×32 和63×24不能构成“回文等式”，故B 选项不符合题意;46×96=4416,69×64=4416,故C选项符合题意.
(2)“回文等式”左边的两个两位数中十位数的乘积等于个位数的乘积，右边也是如此.
证明：设“回文等式”左边的两个两位数分别为10a+b,10c+d,其中a,b,c,d均为小于10的正整数.
依题意,得(10a+b)(10c+d)=(10d+c)·(10b+a),
∴100ac+10ad +10bc+ bd=100bd +10ad +10bc+ ac,
∴99ac=99bd,∴ac= bd.
3.
(2)±4
解法提示：由(1)得， 将m+n=6, mn=5代入,得
∴m-n=±4.
正数的平方根有两个
(3)∵正方形ABCD的边长为x,
∴DE=x-5,DG=x-15.
由题意可得(x-5)(x-15)=300.
设p=x-5,q=x-15,∴pq=300,p-q=10.
∵由题图(3)得,MF=p+q=FN,
=1300,
∴题图中阴影部分的面积为1 300.
4.(1)(x+1)(x-5)
解法提示：
3)(x-2-3)=(x+1)(x-5).
∴多项式 有最大值，最大值是5.
即
∴a-2b=0,b-1=0,
∴a=2,b=1.