等腰三角形中的分类讨论思想 期末复习（含答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册

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等腰三角形中的分类讨论思想
1.等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角度数为 ( )
A.100° B.40°或100°
C.70° D.40°
2.用一条长为36 cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长为8cm ，则这个等腰三角形的腰长为 ( )
A. 8cm B.12 cm
C.8cm 或14 cm D.14 cm
3.已知方程组 的解a，b分别是等腰三角形的两边长，则第三边长等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.5或7
4.若等腰三角形的一个外角等于110°，则它的底角的度数为 ( )
A.70°或55° B.50°或70°
C.40°或70° D.40°或50°
5.如图,已知在△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内有一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中一个为一边长是3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
6.如图，△ABC 是等腰三角形，AB= AC,∠A = 20°, BP 平分∠ABC. 点 D 是射线 BP 上一点,如果点 D 满足△BCD 是等腰三角形，那么∠BDC 的度数是( )
A.20°或70° B.20°,70°或100°
C.40°或100° D.40°,70°或100°
7.如图，是由边长为1 的小正方形组成的3×3 网格，点A，B均在格点上.
(1)在图(1)中,找出格点线段 CD,使得CD⊥AB(找出一条即可)；
(2)在图(2)中,找出格点 P,使△PAB 为等腰三角形(标记出一个点 P 即可).
8.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=30°,点O 在BC边上运动(点O不与点B,C重合),连接AO.作∠AOD=∠B,OD交AB 于点 D.
(1) 当 OD∥AC 时,判断△AOB 的形状并证明.
(2)在点O 的运动过程中，△AOD 的形状可以是等腰三角形吗 若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由.
9.
(1)等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15 和12 两部分，求该等腰三角形各边的长.
(2)已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-1,x+1,3x-2,求这个等腰三角形的周长.
10.数学课上，张老师举了下面的例题.
例1:等腰三角形ABC中,∠A =110°,求∠B的度数.(答案:35°)
例2:等腰三角形 ABC 中,∠A =40°,求∠B的度数.(答案:40°,70°或100°)
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题.
变式:等腰三角形ABC 中,∠A =80°,求∠B的度数.
(1)请你解答小敏编的变式题.
(2)小敏发现，∠A 的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中,设∠A =x°,那么当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围.
11.在直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC.如图,将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边BC上的点 D 处,设折痕与边 AB,AC 分别交于点 E,F.
(1)若∠AFE=65°,求∠CDF 的度数;
(2)若折叠后，△CDF 为等腰三角形，连接AD,求∠ADC的度数;
(3)在(2)的条件下，若△BDE也为等腰三角形，求∠B 的度数.
答案
1. B 当40°为等腰三角形的底角时，顶角为 当40°为等腰三角形的顶角时，则顶角为40°，所以该等腰三角形的顶角度数为40°或100°.
2. D 分两种情况讨论.①若8cm 长的边为底边，则腰长为 ②若8cm长的边为腰,则底边为36-8-8 =20(cm).因为8+8<20,不符合三角形两边的
和大于第三边，所以不能围成腰长为 8cm 的等腰三角形.综上可知，这个等腰三角形的腰长为14 cm.
3. D 解方程组得 当等腰三角形的腰长为5时，第三边长是5；当等腰三角形的腰长为7时，第三边长是7.
4. A
5. C
6. D
7.(1)如图(1)所示.(找出一条即可)
(2)如图(2)所示.(标记出一个即可)
8.(1)△AOB 为直角三角形.
证明:∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°,
∵OD∥AC,
∴∠OAC=∠AOD=∠B=30°,
∴ △AOB 是直角三角形.
(2)△AOD 的形状可以是等腰三角形.
分三种情况讨论：
①当DA=DO时,∠OAD=∠AOD=30°,
∴∠BDO=∠OAD+∠AOD=60°.
②当OA=OD时, 30°)=75°,
③当AD=AO时,∠ADO=∠AOD=30°,此时∠OAD =120°=∠BAC,点 O 与点 C 重合，不合题意.
综上所述,∠BDO的度数为60°或105°.
9.根据题意构造△ABC,AB=AC,BD 是AC边上的中线,设AB=x,BC=y.
当AB+AD=12时 解得
∵8+8>11,
∴等腰三角形三边的长为8，8，11.
当AB+AD=15时 解得
∵7+10>10,
∴等腰三角形三边的长为10，10，7.
综上，该等腰三角形的三边长分别为8，8，11或10,10,7.
(2)①当2x-1=x+1时,解得x=2,此时三边长分别为3，3，4，能构成三角形，
∴三角形的周长为3+3+4=10.
②当2x-1=3x-2时,解得x=1,此时三边长分别为1，2，1，不能构成三角形.
③当x+1=3x-2时,解得 此时三边长分别为2， ，能构成三角形，
∴三角形的周长为
综上，这个等腰三角形的周长为10或7.
10.(1)(分类讨论思想)当∠A为顶角时，∠B为底角， 当∠A为底角,∠B 为顶角时,∠B =180°=
当∠A为底角,∠B为底角时,∠B=∠A=80°.综上所述,∠B的度数为50°,20°或80°.
(2)分两种情况：
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,此时∠B的度数只有一个，不符合题意.
②当0若∠A为顶角，则
若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=∠A=x°.要想使∠B有三个不同的度数，则必须满足 且 解得x≠60.
综上所述,当011.(1)由折叠可知∠DFE =∠AFE=65°,
∵∠C=90°,
(2)∵△CDF为等腰三角形,∠FCD=90°,∴∠CFD=∠CDF=45°.
∠DFC=∠C和∠FDC=∠C这两种情况不符合题意由折叠可知AF=DF,
∴∠ADC=∠CDF+∠FDA=67.5°.
(3)∵∠ADC=∠B+∠DAB,
∴∠DAB=67.5°=∠B.
由折叠可知AE=DE,
∴∠ADE=∠DAB=67.5°-∠B,
∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B.
要使△BDE为等腰三角形，可分以下三种情况讨论.
当∠DEB=∠B时,135°-2∠B=∠B,解得∠B=45°.
当∠DEB=∠EDB时,
∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°,
∴135°-2∠B+135°-2∠B+∠B=180°,解得∠B=30°.
当∠EDB=∠B时,
∵∠DEB+∠B+∠EDB=180°,
∴135°=2∠B+∠B+∠B=135°≠180°(不合题意，舍去).
综上,∠B的度数为30°或45°.